[INFO3] Probekurs – Einblick in unser Lernsystem [INFO3] PH2 – Prüfungsaufgabe: Lagerkräfte bestimmen (inkl. Video)

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[INFO3] PH2 – Prüfungsaufgabe: Lagerkräfte bestimmen (inkl. Video)

deine_dozentin_jessica

Dieser Kurstext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs: PH2 – Einführung in die Statik

Nachdem du nun weißt, wie Lagerkräfte berechnet werden, starten wir mit der ersten Prüfungsaufgabe zur Bestimmung der Lagerkräfte. Schau dir die Aufgabenstellung genau an und löse die Aufgabe. Wende dabei die folgenden drei Schritte an:

Freischnitt
Kräftezerlegung durchführen
Gleichgewichtsbedingungen aufstellen

Diese und die nachfolgenden Aufgaben sind klausurrelevant bzw. sind bereits Teil der staatlichen Physikprüfung für Techniker gewesen.

Aufgabe: Lagerkräfte berechnen

Gegeben sei der obige Balken, auf welchen eine vertikale Kraft mit 200 N wirkt. Der Balken ist auf einem Festlager (rechts) und einem Loslager (links) gelagert.

Bestimme alle Auflagerkräfte!

Schritt 1 – Freischnitt

Zunächst müssen wir den Balken von den Auflagern freischneiden, d.h. wir tragen stattdessen die Auflagerkräfte an. Ein Festlager überträgt zwei Kräfte (vertikal und horizontal zur Unterlage) und ein Loslager eine Kraft vertikal zur Unterlage.

Wir bezeichnen das linke Lager mit A und geben die Lagerkräfte jeweils mit $A_x$ (horizontale Lagerkraft) und $A_y$ (vertikale Lagerkraft) an. Das rechte Lager bezeichnen wir als B mit der vertikalen Lagerkraft $B_y$ .

Schritt: 2 – Kräftezerlegung

Da keine Kraft mit Winkel gegeben ist, muss hier auch keine Kräftezerlegung durchgeführt werden.

Schritt 3 – Gleichgewichtsbedingungen aufstellen

Zur Bestimmung der unbekannten Lagerkräfte benötigen wir die drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene:

I. $\sum F_x = 0$ Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

II. $\sum F_y = 0$ Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

III. $\sum M^{X} = 0$ Momentengleichgewichtsbedingung

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

Wir beginnen mit der Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung. Alle Kräfte die in x-Richtung zeigen werden hier berücksichtigt. Kräfte in negative x-Richtung werden mit einem Minuszeichen versehen:

I. $A_x = 0$

Es wirken keine äußeren horizontalen Kräfte auf den Balken. Demnach tritt auch keine horizontale Lagerkraft auf.

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

Als nächstes betrachten wir die Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung. Alle Kräfte die in y-Richtung zeigen werden hier berücksichtigt. Kräfte in negative y-Richtung werden mit einem Minuszeichen versehen:

II. $A_y + B_y - F = 0$

Die Kraft F wird negativ berücksichtigt, weil diese nach unten in negative y-Richtung zeigt. Wir können hier noch keine Lagerkraft berechnen, da wir zwei unbekannte Lagerkräfte $A_y$ und $B_y$ gegeben haben.

Momentengleichgewichtsbedingung

Bei der Anwendung der Momentengleichgewichtsbedingung müssen wir zunächst einen geeigneten Bezugspunkt festlegen. Bei der Berechnung von Auflagerkräften legt man den Bezugspunkt dort hin, wo die meisten unbekannten Kräfte gegeben sind. Bis jetzt sind die Auflagerkräfte $A_y$ und $B$ unbekannt, weshalb wir den Bezugspunkt entweder in das Lager B oder in das Lager A legen können. Wir legen den Bezugspunkt in das Lager A.

Wir müssen nun alle Momenten auf diesen Bezugspunkt berechnen. Solltest du dir unsicher sein wie das genau funktioniert, schau dir nochmal das folgende Video an.

Video: Drehmoment und Drehsinn

Schauen wir uns nochmal den Freischnitt an:

Wir berechnen nun alle Momente auf den Bezugspunkt im Lager A und erhalten:

III. $-F \cdot 2 m + B_y \cdot 6 m = 0$

$A_x$ fällt aus der Berechnung raus, da die Wirkungslinie den Bezugspunkt schneidet, dasselbe gilt für $A_y$ . Die Kraft $F$ weist den senkrechten Abstand von 2m auf, die Kraft $B_y$ den Abstand von 6m. Es stellt sich nur noch die Frage, welches davon ein rechts- und welches ein linksdrehendes Moment darstellt.

Dazu stellt man sich den Balken im Bezugspunkt fixiert vor. Wir starten mit der Kraft $F$ und der Drehwirkung dieser Kraft auf den gewählten Bezugspunkt. Die Kraft $F$ drückt den Balken nach unten, es würde sich dann eine Drehung im Uhrzeigersinn ergeben (rechtsdrehendes Moment = negativ).

Danach betrachten wir die Lagerkraft $B_y$ und die Drehwirkung auf den gewählten Bezugspunkt. Die Lagerkraft $B$ drückt den Balken nach oben und es ergibt sich eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn (linksdrehendes Moment = positiv).

Da die äußere Kraft $F = 200 N$ gegeben ist, können wir aus der III. Gleichung die Auflagerkraft $B$ berechnen:

Aus III)

$-F \cdot 2 m + B_y \cdot 6 m = 0$

Dazu lösen wir die Gleichung nach $B_y$ auf:

$-F \cdot 2 m + B_y \cdot 6 m = 0$ | $+F \cdot 2m$

$B_y \cdot 6m = F \cdot 2m$ | $:6m$

$B_y = \frac{F \cdot 2m}{6m}$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$B_y = \frac{200 N \cdot 2m}{6m} = 66,67 N$

Da wir nun die Auflagerkraft $B_y$ gegeben haben, können wir aus der II. Gleichung $A_y$ berechnen:

Aus II)

$A_y + B_y - F = 0$

Auflösen nach $A_y$ :

$A_y = F - B_y$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$A_y = 200N - 66,67 N = 133,33 N$

Damit sich der Balken im Gleichgewicht befindet, sich also infolge der Kraft $F$ nicht in y-Richtung bewegt bzw. in der x,y-Ebene rotiert, muss das Lager B eine Lagerkraft von $B_y = 66,67 N$ und das Lager A eine Lagerkraft von $A_y = 133,33 N$ aufbringen. Da keine horizontalen Kräfte auf den Balken wirken, wird die Auflagerkraft $A_x = 0$ .

In der nachfolgenden Lerneinheit schauen wir uns eine weitere klausurrelevante Aufgabe zur Berechnung der Lagerkräfte an und berücksichtigen hier auch Kräfte mit Winkel, so dass eine Kräftezerlegung durchgeführt werden muss.

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Physik 1 (PH1) - Grundlagen der Physik