[INFO3] Probekurs – Einblick in unser Lernsystem [INFO3] MA1 – Vereinigungsmenge

Kapitel 28 von 44

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[INFO3] MA1 – Vereinigungsmenge

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Dieser Kurstext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs: MA1 – Grundlagen der Mathematik

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Vereinigung von Mengen, auch als Vereinigungsmenge bezeichnet.

Definition: Vereinigung von Mengen

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen ist die Zusammenfassung aller Elemente, die in der Menge A oder in der Menge B oder in beiden enthalten sind.

Das Zeichen für die Angabe der Vereinigungsmenge ist: $\cup$

Werden also die beiden Menge A und B miteinander vereinigt, so schreiben wir:

$A \cup B$ A vereinigt mit B

Wir können das ganze aber auch in beschreibender Mengenschreibweise wie folgt angeben:

$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B \}$

Gelesen: A vereinigt mit B ist gleich die Menge aller x für die gilt: x ist Element von A oder ( $\vee$ ) Element von B (oder von beiden).

Merk’s dir!

Hier ist das $\vee$ das logische ODER. Bei einem logischen Oder muss mindestens eine der Bedingungen erfüllt sein, damit der Ausdruck erfüllt wird.

Wir vereinigen hier also zwei Mengen indem wir alle Elemente berücksichtigen die entweder in A oder in B oder in beiden vorkommen.

In der nachfolgenden Grafik siehst du die Vereinigung von Mengen als Venn-Diagramm und darunter in beschreibenden Mengenschreibweise angegeben:

Bei der Vereinigung von Mengen, werden alle Elemente der Menge A und alle Elemente der Menge B und alle Elemente beider Mengen zu einer Menge zusammengefasst. Das logische ODER bedeutet hier also, dass

Videoclip: Vereinigung von Mengen

Im folgenden Video zeigen wir dir anhand eines Beispiels, wie du die Vereinigungsmenge zweier Mengen bildest.

Lernclip

Vereinigung zweier Mengen

Schauen wir uns im folgenden mal einige Beispiele zur Vereinigung von Mengen an.

Beispiele zur Vereinigungsmenge

Beispiel 1 : Vereinigung von Mengen

Gegeben seien die beiden Mengen A = {-4, -2, 0} und B = {-1, -2, 0, 8, 9 }.

Bestimme $A \cup B$ !

Die Vereinigung zweier Mengen A und B sind alle Elemente, die in der Menge A oder in der Menge B oder in beiden enthalten sind. Wir fassen also alle Elemente zu einer Gesamtmenge zusammen. Doppelt vorkommende Elemente werden nur einmal berücksichtigt:

$A \cup B = \{-4, -2, -1, 0, 8, 9 \}$

Die Vereinigung der beiden Mengen enthält sechs Elemente.

Beispiel 2: Vereinigung von Mengen

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \{-3, -2\}$ und $B = \{x \in \mathbb{Z} | -1 \le x \le 4 \}$ .

Bestimme $B \cup A$ !

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B sind alle Elemente, die in der Menge A oder in der Menge B oder in beiden enthalten sind. Die Menge B ist als beschreibende Mengenschreibweise angegeben. Da es sich hierbei um die ganzen Zahlen handelt, können wir diese auch in aufzählender Mengenschreibweise angeben:

$B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4 \}$

Wir können nun die Vereinigung der beiden Mengen bilden:

$A \cup B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}$

Beispiel 3: Vereinigung von Mengen

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \{x \in \mathbb{R} | -1 \le x < 5 \}$ und $B = \{x \in \mathbb{R} | -6 \le x \le 4 \}$ .

Bestimme $A \cup B$ !

Wir haben hier beide Mengen in beschreibender Mengenschreibweise angegeben. Für beide Mengen ist x Element der reellen Zahlen. Wir können dies Mengen nun nicht in aufzählender Mengenschreibweise angegeben, aber da sie den gleichen Zahlenbereich aufweisen miteinander vergleichen.

Menge A startet bei -1. Menge B startet bei -6.

Menge A endet bei <5. Menge B endet bei 4.

Wir müssen nun alle Zahlen miteinander vereinigen, also von -6 bis <5:

$A \cup B = \{x \in \mathbb{R} | -6 \le x < 5\}$

Die kleinste Zahl ist also die -6 (einschließlich), die größte Zahl die 5 (ausschließlich). Die beiden Zahlen sowie alle Zahlen dazwischen bilden die Vereinigungsmenge.

Beispiel 4: Vereinigung von drei Mengen

Gegeben seien die drei Mengen A = {4,6,12}, B = {a, k, y, z} und C = {6, 7, a, b}

Bestimme $A \cup B \cup C$ !

In diesem Fall sollen wir drei Mengen miteinander vereinigen. Wir können hier nun zum Beispiel damit starten zunächst die Mengen A und B miteinander zu vereinigen und das Ergebnis dann mit C:

$(A \cup B) \cup C$