Dieser Kurstext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs: MA1 – Grundlagen der Mathematik
In dieser Lerneinheit behandeln wir Binomische Formeln.
Binomische Formeln – Grundlagen
Binomische Formeln werden als Merkformel verwendet, um das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken zu erleichtern sowie zur Faktorisierung von Termen, also zur Umformung von bestimmten Summen/Differenzen in Produkte.
Innerhalb der Mathematik werden dir die binomischen Formeln häufig begegnen, wenn du zum Beispiel Gleichungen umformen oder zusammenfassen sollst, bei der Überführung einer quadratischen Gleichung in die Scheitelform und umgekehrt sowie beim Vereinfachen von Bruchtermen. Dies sind nur einige Beispiele, für welche du die binomischen Formeln benötigst.
Betrachten wir nun die drei binomischen Formeln.
Erste Binomische Formel
Die erste Binomische Formel lautet:
Ist eine quadratische Klammer gegeben, so kannst du diese auch in der folgenden Form schreiben:
Anstelle nun aber jeden Wert der ersten Klammern mit jedem Wert der zweiten Klammer zu multiplizieren, kannst du hier die 1. Binomische Formel anwenden.
Betrachten wir hierzu mal ein Beispiel:
Gegeben sei die Klammer:
Löse die Klammer auf!
Du kannst hier die erste Binomische Formel anwenden:
Du quadrierst hierzu das erste Glied , danach multipliziert du 2 mal das erste und das zweite Glied miteinander
und im letzten Schritt quadrierst du das zweite Glied
.
Es ergibt sich:
Betrachten wir als nächstes die zweite Binomische Formel.
Zweite Binomische Formel
Die zweite Binomische Formel lautet:
Der Unterschied zur ersten Binomischen Formel ist das Minuszeichen. Beim Auflösen der Klammer musst du dieses dann beim mittleren Glied berücksichtigen.
Betrachten wir hierzu mal ein Beispiel:
Gegeben sei die Klammer:
Löse die Klammer auf!
Du kannst hier die zweite Binomische Formel anwenden:
Es ergibt sich:
Betrachten wir als nächstes die dritte Binomische Formel.
Dritte Binomische Formel
Die dritte Binomische Formel lautet:
Bei der dritten binomischen Formel sind zwei Klammern gegeben, die miteinander multipliziert werden. Um die dritte binomische Formel anwenden zu können müssen das erste und zweite Glied innerhalb beider Klammern den selben Wert aufweisen, jedoch mit dem Unterschied, dass in der ersten Klammer eine Addition und in der zweiten Klammer eine Subtraktion erfolgt.
Betrachten wir dazu ein Beispiel:
Gegeben seien die beiden Klammern:
Löse die Klammern auf!
Wir können hier die dritte Binomische Formel anwenden, da beide Glieder in den Klammer gleich sind. In der ersten Klammer ist eine Addition der beiden Glieder gegeben, in der 2. Klammer eine Subtraktion:
Du gehst nun wie folgt vor: Du quadrierst das erste Glied und ziehst das zweite quadrierte Glied davon ab.
Es resultiert:
Videoclips: Binomische Formeln
Die folgenden beiden Videos zeigen dir, wie du binomische Formeln anwendest, um die Klammern aufzulösen:
Videoclip 1: Binomische Formeln
Videoclip 2: Binomische Formeln
Wir wollen uns mal einige Beispiele anschauen, in denen wir binomische Formeln anwenden.
Beispiele: Binomische Formeln
Versuche zunächst die nachfolgenden Aufgaben selbstständig zu lösen, bevor du dir die Lösungen anschaust. Binomische Formeln sind auch für weitere Berechnungen relevant. Du solltest diese also Üben, damit du die Anwendung dieser erlernst. Nur regelmäßiges Üben führt zu einem sicheren Umgang und hilft dir auch innerhalb einer Prüfung, schnell das Ergebnis zu erhalten und auch sofort zu erkennen, wann du die binomischen Formeln anwenden kannst.
Beispiel 1: Binomische Formeln
Gegeben sei die folgende Summe:
Führe die Addition durch!
2. Binomische Formel:
1.Binomische Formel
Danach können wir die Addition vornehmen:
Beispiel 2: Binomische Formeln
Gib das Ergebnis an!
1. Binomische Formel
2. Binomische Formel
3. Binomische Formel
Wir setzen jetzt die Klammer:
Den Faktor 3 dürfen wir hier nicht vergessen, welcher vor der ersten Klammer gegeben ist. Wir müssen nun jeden Wert in der Klammer mit dem Faktor 3 multiplizieren:
Wir können nun gleiche Terme zusammenfassen. Dabei orientieren wir uns an den gegebenen Variablen:
Daraus folgt:
Beispiel 3: In Klammer umformen mittels binomischer Formel
Forme in ein Produkt um!
1. Binomische Formel:
Zur Anwendung der binomischen Formel gehst du wie folgt vor: Du betrachtest zunächst den ersten Term a² bzw. x². Hier ziehst du die Wurzel. Dann hast du a bzw. x gegeben.
Danach betrachtest du den dritten Term b² bzw. 9. Auch hier ziehst du die Wurzel. Dann hast du b bzw. 3 gegeben.
Beispiel 4: In Klammer umformen mittels binomischer Formel
Forme in ein Produkt um!
2. Binomische Formel:
Zur Anwendung der binomischen Formel gehst du wie folgt vor: Du betrachtest zunächst den ersten Term 49x². Hier ziehst du die Wurzel:
Danach betrachtest du den dritten Term 9y² und ziehst auch hier die Wurzel:
Damit hast du mittels der binomischen Formel die Summe/Differenz in ein Produkt überführt. Du solltest immer noch die Gegenrechnung zur Überprüfung durchführen: