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[INFO3] PH1 – Satz des Pythagoras (inkl. Video)

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Dieser Kurstext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs: PH1 – Geometrische & physikalische Grundlagen

In dieser Lerneinheit behandeln wir den Satz des Pythagoras zur Berechnung von Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck.

Der Satz des Pythagoras besagt, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Katheten genauso groß ist wie das Quadrat der Hypotenuse!

Der Satz des Pythagoras – Grundlagen

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke und ermöglicht es aus zwei gegebenen Seiten die dritte Seite zu berechnen.

Die Hypotenuse c ist die Seite gegenüber vom rechten Winkel. Die anderen beiden Seiten sind die Katheten a und b. Wir quadrieren jede Kathetenseite und addieren beide miteinander. Das Ergebnis ist die quadrierte Hypotenuse.

Der Satz des Pythagoras in Formeldarstellung lautet also:

$c^2 = a^2 + b^2$ Satz des Pythagoras

Ist also die Seitenlänge a (Kathete) und die Seitenlänge b (Kathete) gegeben, so können wir die Seitenlänge c (=Hypotenuse) berechnen. Dazu muss aber noch die Wurzel gezogen werden:

$c= \sqrt{a^2 + b^2}$ Hypotenuse berechnen

Merk’s dir!

Die Katheten sind je nach betrachtetem Winkel die Ankathete und Gegenkathete eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Definition wird aber für den Satz des Pythagoras nicht benötigt, da der Winkel nicht mit in die Formel einfließt.

In der Grafik ist nochmal veranschaulicht, was genau der Satz des Pythagoras eigentlich aussagt. Wir sehen dort drei Quadrate. Das grüne Kathetenquadrat und das blaue Kathetenquadrat sind von der Fläche zusammen genau so groß, wie das rote Quadrat der Hypotenuse.

You need it!…

Der Satz des Pythagoras wird innerhalb der technischen Mechanik dazu genutzt, um eine Seitenlänge aus zwei gegebenen Seitenlängen bei rechtwinkligen Flächen zu berechnen.

Kathetenseite berechnen

Es ist natürlich ebenfalls möglich die Gleichung so umzustellen, dass aus einer gegebenen Kathetenseite und der Hypotenuse die andere Kathetenseite berechnet werden kann.

Berechnung von a:

$c^2 = a^2 + b^2$ | $-b^2$

Es ergibt sich also:

$a^2 = c^2 - b^2$

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$ Kathetenseite a berechnen

Analog Berechnung von b:

$c^2 = a^2 + b^2$ | $-a^2$

Es ergibt sich also:

$b^2 = c^2 - a^2$

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$ Kathetenseite b berechnen

Merk’s dir!

Hier müsst ihr euch einfach merken: Wenn die Hypotenuse und eine Kathetenseite gegeben ist, dann zieht ihr die quadrierte Kathetenseite von der quadrierten Hypotenuse ab.

Videoclip: Satz des Pythagoras

In dem folgenden Video erkläre ich dir den Satz des Pythagoras und zeige dir anhand eines Beispiels, wie du die Seite eines rechtwinkligen Dreieck berechnest:

Und nun kannst du dich selbst überprüfen, indem du das folgende Beispiel berechnest.

Beispiele: Satz des Pythagoras

In den nachfolgenden Beispielen sollst du lernen, wann du den Satz des Pythagoras anwenden kannst.

Beispiel 1: Rampe

Deine Freunde und du schauen sich bei dir ein paar Actionclips der X-Games bei Youtube an. Nach dem 8. Bier denkt ihr euch, hey das können wir doch auch. Fest entschlossen wollt auch ihr eine kleine Rampe anfertigen und geht in die Werkstatt deines Vaters.

Die Rampe soll eine Höhe von 1m haben. Ihr habt außerdem noch ein Brett mit der Länge von 3 m gegeben. Dieses wollt ihr als horizontale Unterlagen verwenden.

Wie lang muss das befahrbare Brett sein, damit ihr die Rampe fertig stellen könnt?

In dem obigen Beispiel sind die beiden Kathetenseiten gegeben. Die befahrbare Seite ist also die Hypotenuse gegenüber vom rechten Winkel. Der Satz des Pythagoras lautet:

$c^2 = a^2 + b^2$

Hierbei ist c die Seite gegenüber vom rechten Winkel (=Hypotenuse) und damit genau die Seite, die wir suchen. Die anderen beiden Seiten sind die Kathetenseiten, die wir als nächstes quadrieren:

$(3m)^2 = 9m^2$

$(1m)^2 = 1m^2$

Wir addieren beide Kathetenquadrate miteinander:

$c^2 = 9m^2 + 1m^2$

Danach müssen wir die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, damit wir die Seitenlänge c erhalten:

$c = \sqrt{9m^2 + 1m^2}$

Auf der linken Seite verbleibt die Seitenlänge c, weil die Wurzel aus einer quadrierten Zahl die quadrierte Zahl selbst ergibt. Wir erhalten also:

$c = \sqrt{9m^2 + 1m^2} =3,16 m$

Die befahrbare Brett muss eine Länge von 3,16 m aufweisen.

Beispiel 2: Trapez

Gegeben ist ein gleichschenkliges Trapez ABCD, d.h. es ist $\overline{AD} = \overline{BC}$

Berechne die Länge eines Schenkels, wenn a = 9 m, c = 4 m und h = 7 m ist.

Zunächst einmal musst du im obigen Trapez ein rechtwinkliges Dreieck so konstruieren, dass die gesuchte Seite (der linke oder rechte Schenkel) in diesem rechtwinkligen Dreieck enthalten ist:

In der obigen Grafik haben wir die gegebene Höhe $h = 7cm$ so eingezeichnet, dass sich rechts davon ein rechtwinkliges Dreieck ergibt. Wir suchen den Schenkel, welcher gegenüber vom rechten Winkel liegt und damit die Hypotenuse darstellt.

Dazu benötigen wir die Längen der beiden Kathetenseiten. Die Höhe haben wir mit 7m gegeben. Es fehlt noch die waagerechte untere Seite. Diese können wir aber aus den gegebenen waagerechten Seiten des Trapezes bestimmen. Wir wissen, dass es sich um ein gleichschenkliges Trapez handelt (siehe Aufgabenstellung). Beide Schenkel weisen also die selbe Länge auf. Wir können nun die obere kleinere Seite von der unteren größeren Seite abziehen:

$9m - 4m = 5m$

Wir wissen nun, dass die unteren waagerechten Seiten zusammen 5m lang sein müssen:

Da es sich um ein gleichschenkliges Trapez handelt, sind die beiden waagerechten Seite gleich lang, d.h. wir teilen die 5m einfach durch zwei:

$5m : 2 = 2,5m$

Die waagerechte Seite ist also gegeben mit 2,5m. Wir können nun den Satz des Pythagoras anwenden, um die Hypotenuse, also den Schenkel zu berechnen:

$c = \sqrt{(2,5m)^2 + (7m)^2}$

$c = 7,43 m$

Die Länge der Schenkel beträgt 7,43 m.

Beispiel 3 : Dachschräge berechnen

Gegeben seien zwei 1m breite Mauern, die in einem Abstand von 5m auseinander stehen. Die linke Mauer ist 6m hoch, die rechte Mauer 4m hoch. Beide Mauern sollen durch ein Schrägdach verbunden werden.

Wie lang ist die Dachschräge?

Du kannst die Dachschräge mittels des grau hinterlegten Dreiecks in der obigen Grafik berechnen:

Wir haben die beiden Kathetenseiten mit 5m und mit 2m gegeben und können nun die Länge der Dachschrägen bestimmen:

$\sqrt{(2m)^2 + (5m)^2 } = 5,39 m$

Die Dachschräge hat eine Länge von 5,39 m.

Hinweis: Den Winkel α haben wir bereits in der Lerneinheit zum den Trigonometrischen Funktionen bestimmt.

Nachdem du jetzt fit in der Berechnung von Seiten und Winkel mittels Sinus, Kosinus und Tangens sowie dem Satz des Pythagoras bist, betrachten wir in der folgenden Lerneinheiten den Kosinussatz und Sinussatz, welche bei allgemeinen Dreiecken angewendet werden, um eine unbekannte Seite oder einen unbekannten Winkel zu berechnen.

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Physik 1 (PH1) - Grundlagen der Physik