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Lektion 1, Thema 1
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(PH4-5-4) Prüfungsaufgabe: Hubarbeit

 


Prüfungsaufgabe: Hubarbeit


Aufgabenstellung

Hubarbeit: Schiefe Ebene

 

Eine 50 kg schwere Kiste soll in ein 5 m höheres Stockwerk transportiert werden.

  • Berechne die Arbeit W1, die verrichtet wird, wenn man die Kiste gegen die Gewichtskraft FG senkrecht nach oben zieht und
  • die Arbeit W2, wenn man die Kiste auf einer reibungsfreien schiefen Ebene mit 12° Steigung gegen die Hangabtriebskraft FH um die Länge s der schiefen Ebene hochzieht!

 

Lösung

Ihr solltet aus dem obigen Text wissen, dass in beiden Situationen dieselbe Arbeit geleistet wird (sofern Reibung vernachlässigt wird). Denn das Anheben der Kiste entgegen der Gewichtskraft kostet mehr Kraft, dafür ist der Weg geringer. Das Hochziehen der Kiste entlang der schiefen Ebene kostet nicht so viel Kraft, weil nur ein Teil der Gewichtskraft aufgebracht werden muss, dafür ist der Weg länger. Am Ende resultiert dieselbe verrichtete Arbeit sofern die Reibung vernachlässigt wird.

Schauen wir uns das ganze mal rechnerisch an. Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Kiste entgegen der Gewichtskraft über 5m senkrecht nach oben gehoben wird:

 

W = m \cdot g \cdot h = 50 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 5m = 2.452 Nm

 

Jetzt schauen wir uns an, welche Arbeit verrichtet wird, wenn die Kiste die schiefe Ebene hochgezogen wird:

 

W = F \cdot s

 

Hierbei ist F die Hangabtriebskraft. Wir müssen die Kiste dazu gegen die Hangabtriebskraft die schiefe Ebene hinaufziehen. Die Hangabtriebskraft ist ein Teil der Gewichtskraft und wird wie folgt berechnet:

 

F_H = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = 50 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot \sin(12^\circ) = 101,98 N

 

Es fehlt außerdem noch der Weg s, welcher in der Aufgabenstellung nicht angegeben ist. Wir können diesen aber berechnen, da wir aus der obigen schiefen Ebene ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren können:

Hubarbeit: Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

 

Wir können den Sinus anwenden, um die Strecke s zu berechnen:

 

\sin(12^\circ) = \dfrac{5m}{s}

 

Auflösen nach der gesuchten Strecke s:

 

s = \dfrac{5m}{\sin(12^\circ)} = 24,05 m

 

Die Strecke s beträgt 24m. Wir können nun die Arbeit berechnen, welche gegen die Hangabtriebskraft entlang der Strecke s verrichtet wird:

 

W = 101,98 N \cdot 24,05 m = 2.452,62 Nm

 

Beide Arbeiten weisen einen identischen Wert auf. Es ist also für die Arbeit im physikalischen Sinn unerheblich, ob du die Kiste entgegen der Gewichtskraft über eine kurze Strecke anhebst oder ob du diese entgegen der Hangabtriebskraft über eine längere Strecke die schiefe Ebene hochziehst. Dieser Fall ist nur dann gegeben, wenn Reibungskräfte vernachlässigt werden.

 

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