Mathe-Basics: Vereinfachen mittels Binomischer Formeln

Hallo zusammen, 👋

bald stehen die Zwischenprüfungen in Mathe an, und es wird Zeit, alle notwendigen Themen zu wiederholen!

📚 Dazu gehören vor allem die Basics, die beim Vereinfachen von Termen relevant sind.

Heute bin ich auf die folgende Aufgabe gestoßen:

$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$

Hier haben wir einen Bruch, der vereinfacht werden soll. Gehe am besten wie folgt vor:

Zähler und Nenner getrennt betrachten: Erkennst du hier etwas? 👀

Das geschulte Auge erkennt sofort, dass im Zähler und Nenner jeweils eine binomische Formel gegeben ist.

Binomische Formeln

Im Zähler haben wir die 1. binomische Formel und im Nenner die 3. binomische Formel:

1. Binomische Formel:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2. Binomische Formel:

$(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$

3. Binomische Formel:

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

1. Binomische Formel

Wir wenden die binomische Formel nun rückwärts an. Wir starten mit dem Zähler:

$x^2 + 2x + 1$

Hier ist es sinnvoll, sich nur das 1. und letzte Glied anzusehen, also x² und . Wir ziehen hier einfach die Wurzel:

$\sqrt{x^2} = x$

$\sqrt{1} = 1$

Wir können nun die Klammer aufstellen. Hierbei ist und $1$ :

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Nach Anwendung der 1. binomischen Formel ergibt sich genau der Zähler. Damit können wir den Zähler durch die quadratische Klammer ersetzen.

3. Binomische Formel

Als nächstes betrachten wir den Nenner:

$x^2 - 1$

Hier betrachten wir die beiden Glieder und bilden auch hier wieder die Wurzel:

$\sqrt{x^2} = x$

$\sqrt{1} = 1$

Wir können nun die Klammern aufstellen. Hierbei ist und $= 1$ :

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Nach Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt sich genau der Nenner. Damit können wir den Nenner durch die beiden Klammern ersetzen.

Endergebnis

Am Ende erhalten wir:

$\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}$

Wir können die quadratische Klammer auch ohne Exponent aufschreiben:

$\frac{(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

Danach können wir noch kürzen:

$\frac{(x+1)}{(x-1)}$

Wir sehen also, dass der Bruch vereinfacht dargestellt werden kann, indem im Zähler und Nenner die binomischen Formeln angewendet werden. 💪

Willst du mehr zum Vereinfachen von Termen und Brüchen wissen? Was muss noch berücksichtigt werden?

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Bei Fragen kanns du mich gerne anschreiben: jessica@technikermathe.de

Deine Jessica

Binomische Formeln

1. Binomische Formel

3. Binomische Formel

Endergebnis

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