MA3 – Wendepunkte bei gebrochenrationalen Funktionen

Ein Wendepunkt ist der Punkt an dem die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert. Die Funktion wechselt hier entweder von einer Linkskrümmung in eine Rechtkrümmung oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch als Bogenwechsel bezeichnet.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Wendepunkte ermitteln allgemein

Was sind Wendepunkte bei gebrochenrationalen Funktionen?

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem die Krümmung wechselt, also die Funktion von konkav (nach unten geöffnet) zu konvex (nach oben geöffnet) oder umgekehrt wechselt. Bei gebrochenrationalen Funktionen, die das Verhältnis zweier Polynome sind, ist das Finden von Wendepunkten besonders wichtig für die Analyse des Graphen.

Grundprinzipien

Definition eines Wendepunktes:
- Ein Wendepunkt ist ein Punkt $(x, f(x))$ , an dem die zweite Ableitung $f''(x) = 0$ ist und das Vorzeichen von $f''(x)$ wechselt.
Gebrochenrationale Funktion:
- Eine gebrochenrationale Funktion hat die Form $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , wobei $P(x)$ und $Q(x)$ Polynome sind und $Q(x) \neq 0$ .

Zur Bestimmung der Wendepunkte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung, 2. Ableitung und die 3. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Wendepunkte allgemein bestimmt werden.

Wendepunkte bestimmen

Bilde die 1. und 2. Ableitung der Funktion und setze die 2. Ableitung gleich Null: f”(x) = 0
Löse die 2. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist ein Wendepunkt gegeben.
Bilde die 3. Ableitung der Funktion.
Ist die 3. Ableitung ungleich Null, so ist ein Wendepunkt gegeben: f”'(x) = 0
Wenn die 3. Ableitung noch abhängig von x ist, dann musst du den aus 2. ermittelten x-Wert einsetzen.
Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

Beispiel: Wendepunkte bei gebrochenrationalen Funktionen

Schauen wir uns die Bestimmung von Wendepunkten bei gebrochenrationalen Funktionen im Folgenden an einem ausführlichen Beispiel an.

Wendepunkte, gebrochenrationale Funktion, Wendepunkte bei gebrochenrationalen Funktionen

In der obigen Grafik siehst du die beiden Wendepunkte der gebrochenrationalen Funktion eingezeichnet. Betrachten wir die Funktion von links nach rechts, so weist sie bis x = -0,816 eine Linkskrümmung auf und wechselt dann an dieser Stelle in eine Rechtskrümmung. Bei x = 0,816 wechselt die Funktion erneut ihr Krümmungsverhalten in eine Linkskrümmung.

Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du die obigen Wendepunkte rechnerisch ermittelst.

Gegeben sei die folgende gebrochenrationale Funktion:

$f(x) = \frac{4-x^2}{2+x^2}$

Bestimme die Wendepunkte der Funktion!

Erste Ableitung bilden

Zunächst bilden wir die 1. Ableitung der Funktion mittels Quotientenregel. Dazu betrachten wir die Zählerfunktion und die Nennerfunktion:

$p(x) = 4-x^2$ Zählerfunktion

$q(x) = 2+x^2$ Nennerfunktion

Als nächstes leiten wir die beiden Funktionen ab:

$p'(x) = -2x$

$q'(x) = 2x$

Wir wenden die Quotientenregel an, um die Ableitung der gesamten gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen:

$f'(x) =\frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

$f'(x) =\frac{-2x \cdot (2+x^2) - 2x \cdot (4-x^2)}{(2+x^2)^2}$

Klammern auflösen und zusammenfassen:

$f'(x) =\frac{-4x - 2x^3 - 8x + 2x^3}{(2+x^2)^2}$

$f'(x) =\frac{-12x}{(2+x^2)^2}$ 1.Ableitung

Zweite Ableitung bilden, gleich Null setzen und nach x auflösen

Wir bilden aus der 1.Ableitung die 2.Ableitung mittels Quotientenregel. Auch hier leiten wir zunächst die Zähler- und Nennerfunktion ab:

$p(x) = -12x$

$q(x) = (2+x^2)^2$

$p'(x) = -12$

Für q'(x) müssen wir die Kettenregel anwenden:

$v(x) = 2+x^2$ Innere Funktion (Klammerausdruck)

$u(v) = v^2$ Äußere Funktion (Klammer)

Ableiten:

$v'(x) = 2x$

$u'(v) = 2v$

Kettenregel anwenden (innere mal äußere Ableitung):

$q'(x) = v'(x) \cdot u'(v) = 2x \cdot 2v$

Einsetzen von v = 2+x²:

$q'(x) = 2x \cdot 2(2+x^2)$

Nachdem wir die beiden Ableitungen von Zählerfunktion und Nennerfunktion gebildet haben, können wir die Quotientenregel anwenden:

$f''(x) =\frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

$f''(x) =\frac{ -12 \cdot (2+x^2)^2- 2x \cdot 2(2+x^2) \cdot (-12x)}{[(2+x^2)^2]^2}$

Nenner potenzieren:

$f''(x) =\frac{ -12 \cdot (2+x^2)^2- 2x \cdot 2(2+x^2) \cdot (-12x)}{(2+x^2)^4}$

Klammer (2+x²) kürzen:

$f''(x) =\frac{ -12 \cdot (2+x^2)- 2x \cdot 2 \cdot (-12x)}{(2+x^2)^3}$

Klammern im Zähler auflösen und zusammenfassen:

$f''(x) =\frac{ -24 - 12x^2 + 48x^2}{(2+x^2)^3}$

$f''(x) =\frac{36x^2 - 24}{(2+x^2)^3}$ 2.Ableitung

Nachdem wir die 2.Ableitung gebildet haben, können wir im nächsten Schritt diese gleich Null setzen und dann nach x auflösen:

$f''(x) =\frac{36x^2 - 24}{(2+x^2)^3} = 0$

Ein Bruch wird dann zu Null, wenn der Zähler den Wert Null annimmt. Damit reicht es hier aus, dass wir den Zähler gleich Null setzen:

$36x^2 - 24 = 0$ |+24

$36x^2 = 24$ |:36

$x^2 = \frac{2}{3}$ |Wurzel

$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

$x_1 = + \sqrt{\frac{2}{3}} = 0,816$

$x_2 = - \sqrt{\frac{2}{3}} = -0,816$

An den Stellen x = 0,816 und x = -0,816 sind möglicherweise Wendepunkte gegeben. Um zu überprüfen, ob wirklich Wendepunkte vorliegen, benötigen wir die 3.Ableitung.

Dritte Ableitung bilden

Die 3. Ableitung wird bestimmt, indem die 2. Ableitung abgleitet wird. Auch hier wenden wir wieder die Quotientenregel an.

$f''(x) =\frac{36x^2 - 24}{(2+x^2)^3}$ 2. Ableitung

$p(x) = 36x^2 - 24$

$q(x) = (2+x^2)^3$

$p'(x) = 72x$

Für q'(x) müssen wir die Kettenregel anwenden:

$v(x) = 2+x^2$ Innere Funktion (Klammerausdruck)

$u(v) = v^3$ Äußere Funktion (Klammer)

Ableiten:

$v'(x) = 2x$

$u'(v) = 3v^2$

Kettenregel anwenden (innere mal äußere Ableitung):

$q'(x) = v'(x) \cdot u'(v) = 2x \cdot 3v^2$

Einsetzen von v = 2+x²:

$q'(x) = 2x \cdot 3(2+x^2)^2$

Nachdem wir die beiden Ableitungen von Zählerfunktion und Nennerfunktion gebildet haben, können wir die Quotientenregel anwenden:

$f'''(x) =\frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

$f'''(x) =\frac{72x \cdot (2+x^2)^3 - 2x \cdot 3(2+x^2)^2 \cdot (36x^2 - 24)}{[(2+x^2)^3]^2}$

Nenner potenzieren:

$f'''(x) =\frac{72x \cdot (2+x^2)^3 - 2x \cdot 3(2+x^2)^2 \cdot (36x^2 - 24)}{(2+x^2)^{10}}$

Klammer (2+x²)² kürzen:

$f'''(x) =\frac{72x \cdot (2+x^2) - 2x \cdot 3 \cdot (36x^2 - 24)}{(2+x^2)^8}$

Klammer im Zähler auflösen und zusammenfassen:

$f'''(x) =\frac{144x + 72x^3 - 216x^3 + 144x}{(2+x^2)^8}$

$f'''(x) =\frac{-144x^3 + 288x}{(2+x^2)^8}$ 3.Ableitung

Wir setzen nun die ermittelten x-Werte aus der 2.Ableitung in die 3.Ableitung ein:

$f'''(x = 0,816) =\frac{-144 \cdot (0,816)^3 + 288 \cdot 0,816}{(2+(0,816)^2)^8} = 0,0615$

$f'''(x = -0,816) =\frac{-144 \cdot (-0,816)^3 + 288 \cdot (-0,816)}{(2+(-0,816)^2)^8} = -0,0615$

Merk’s dir!

Da die dritte Ableitung für beide x-Werte ungleich Null ist, sind hier zwei Wendepunkte der Funktion gegeben.

Bei x_W = -0,816 ist die 3.Ableitung kleiner als Null. Damit wechselt die Funktion an dieser Stelle von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung.

Bei x_W = 0,816 ist die 3.Ableitung größer als Null. Damit wechselt die Funktion an dieser Stelle von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung.

Wendepunkt bestimmen

Wir kennen die Stellen, an welchen Wendepunkte gegeben sind. Wir suchen noch die dazugehörigen Funktionswerte, so dass wir die Wendepunkte angeben können. Dazu setzen wir die ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion ein:

$f(x=0,816) = \frac{4-0,816^2}{2+0,816^2} = 1,25$

$f(x=-0,816) = \frac{4-(-0,816)^2}{2+(-0,816)^2} = 1,25$

Wendepunkte

Die Wendepunkte sind gegeben bei:

W₁(0,816 | 1,25)

W₂(-0,816 | 1,25)

Wir haben die Wendepunkte der Funktion ermittelt.

Anwendung der Wendepunktanalyse

Mathematik: Bestimmung der Krümmung und des Graphenverhaltens.
Ingenieurwissenschaft: Analyse von Belastungs- und Spannungskurven.
Physik: Untersuchung von Bewegungs- und Wellenformen.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist ein Wendepunkt?

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Krümmung des Graphen einer Funktion wechselt.

2. Wie findet man einen Wendepunkt bei gebrochenrationalen Funktionen?

Durch Berechnung der ersten und zweiten Ableitungen und Überprüfung der Bedingungen $f''(x) = 0$ und des Vorzeichenwechsels von $f''(x)$ .

3. Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

Eine Funktion, die das Verhältnis zweier Polynome darstellt.

4. Warum sind Wendepunkte wichtig?

Sie helfen, das Krümmungsverhalten und die Struktur des Graphen einer Funktion zu verstehen.

5. Gibt es immer Wendepunkte bei gebrochenrationalen Funktionen?

Nein, Wendepunkte existieren nur, wenn die spezifischen Bedingungen erfüllt sind.

Zusammenfassung

Die Bestimmung von Wendepunkten bei gebrochenrationalen Funktionen erfordert die Berechnung der ersten und zweiten Ableitungen und die Überprüfung der notwendigen Bedingungen.

Diese Methode ist in vielen Bereichen wie Mathematik, Ingenieurwissenschaften und Physik von großer Bedeutung und hilft, das Verhalten und die Struktur von Funktionen präzise zu verstehen.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie Ableiten mit der Produktregel abläuft.

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