MA3 – Wendepunkte bei gebrochenrationalen Funktionen

Ein Wendepunkt ist der Punkt an dem die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert. Die Funktion wechselt hier entweder von einer Linkskrümmung in eine Rechtkrümmung oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch als Bogenwechsel bezeichnet.

Wir wollen uns in dieser Lerneinheit anschauen, wie die Wendepunkte bei gebrochenrationalen Funktionen bestimmt werden.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.

Wendepunkte ermitteln allgemein

Zur Bestimmung der Wendepunkte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung, 2. Ableitung und die 3. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Wendepunkte allgemein bestimmt werden.

Wendepunkte bestimmen

Bilde die 1. und 2. Ableitung der Funktion und setze die 2. Ableitung gleich Null: f”(x) = 0
Löse die 2. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist ein Wendepunkt gegeben.
Bilde die 3. Ableitung der Funktion.
Ist die 3. Ableitung ungleich Null, so ist ein Wendepunkt gegeben: f”'(x) = 0
Wenn die 3. Ableitung noch abhängig von x ist, dann musst du den aus 2. ermittelten x-Wert einsetzen.
Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

Beispiel: Wendepunkte bei gebrochenrationalen Funktionen

Schauen wir uns die Bestimmung von Wendepunkten bei gebrochenrationalen Funktionen im Folgenden an einem ausführlichen Beispiel an.

In der obigen Grafik siehst du die beiden Wendepunkte der gebrochenrationalen Funktion eingezeichnet. Betrachten wir die Funktion von links nach rechts, so weist sie bis x = -0,816 eine Linkskrümmung auf und wechselt dann an dieser Stelle in eine Rechtskrümmung. Bei x = 0,816 wechselt die Funktion erneut ihr Krümmungsverhalten in eine Linkskrümmung.

Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du die obigen Wendepunkte rechnerisch ermittelst.

Gegeben sei die folgende gebrochenrationale Funktion:

$f(x) = \frac{4-x^2}{2+x^2}$

Bestimme die Wendepunkte der Funktion!

1. Ableitung bilden

Zunächst bilden wir die 1..Ableitung der Funktion mittels Quotientenregel. Dazu betrachten wir die Zählerfunktion und die Nennerfunktion:

$p(x) = 4-x^2$ Zählerfunktion

$q(x) = 2+x^2$ Nennerfunktion

Als nächstes leiten wir die beiden Funktionen ab:

$p'(x) = -2x$

$q'(x) = 2x$

Wir wenden die Quotientenregel an, um die Ableitung der gesamten gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen:

$f'(x) =\frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

$f'(x) =\frac{-2x \cdot (2+x^2) - 2x \cdot (4-x^2)}{(2+x^2)^2}$

Klammern auflösen und zusammenfassen:

$f'(x) =\frac{-4x - 2x^3 - 8x + 2x^3}{(2+x^2)^2}$

$f'(x) =\frac{-12x}{(2+x^2)^2}$ 1.Ableitung

2.Ableitung bilden, gleich Null setzen und nach x auflösen

Wir bilden aus der 1.Ableitung die 2.Ableitung mittels Quotientenregel. Auch hier leiten wir zunächst die Zähler- und Nennerfunktion ab:

$p(x) = -12x$

$q(x) = (2+x^2)^2$

$p'(x) = -12$

Für q'(x) müssen wir die Kettenregel anwenden:

$v(x) = 2+x^2$ Innere Funktion (Klammerausdruck)

$u(v) = v^2$ Äußere Funktion (Klammer)

Ableiten:

$v'(x) = 2x$

$u'(v) = 2v$

Kettenregel anwenden (innere mal äußere Ableitung):

$q'(x) = v'(x) \cdot u'(v) = 2x \cdot 2v$

Einsetzen von v = 2+x²:

$q'(x) = 2x \cdot 2(2+x^2)$

Nachdem wir die beiden Ableitungen von Zählerfunktion und Nennerfunktion gebildet haben, können wir die Quotientenregel anwenden:

$f''(x) =\frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

$f''(x) =\frac{ -12 \cdot (2+x^2)^2- 2x \cdot 2(2+x^2) \cdot (-12x)}{[(2+x^2)^2]^2}$

Nenner potenzieren:

$f''(x) =\frac{ -12 \cdot (2+x^2)^2- 2x \cdot 2(2+x^2) \cdot (-12x)}{(2+x^2)^4}$

Klammer (2+x²) kürzen:

$f''(x) =\frac{ -12 \cdot (2+x^2)- 2x \cdot 2 \cdot (-12x)}{(2+x^2)^3}$

Klammern im Zähler auflösen und zusammenfassen:

$f''(x) =\frac{ -24 - 12x^2 + 48x^2}{(2+x^2)^3}$

$f''(x) =\frac{36x^2 - 24}{(2+x^2)^3}$ 2.Ableitung

Nachdem wir die 2.Ableitung gebildet haben, können wir im nächsten Schritt diese gleich Null setzen und dann nach x auflösen:

$f''(x) =\frac{36x^2 - 24}{(2+x^2)^3} = 0$

Ein Bruch wird dann zu Null, wenn der Zähler den Wert Null annimmt. Damit reicht es hier aus, dass wir den Zähler gleich Null setzen:

$36x^2 - 24 = 0$ |+24

$36x^2 = 24$ |:36

$x^2 = \frac{2}{3}$ |Wurzel

$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

$x_1 = + \sqrt{\frac{2}{3}} = 0,816$

$x_2 = - \sqrt{\frac{2}{3}} = -0,816$

An den Stellen x = 0,816 und x = -0,816 sind möglicherweise Wendepunkte gegeben. Um zu überprüfen, ob wirklich Wendepunkte vorliegen, benötigen wir die 3.Ableitung.

3.Ableitung bilden

Die 3. Ableitung wird bestimmt, indem die 2.Ableitung abgleitet wird. Auch hier wenden wir wieder die Quotientenregel an.

$f''(x) =\frac{36x^2 - 24}{(2+x^2)^3}$ 2.Ableitung

$p(x) = 36x^2 - 24$

$q(x) = (2+x^2)^3$

$p'(x) = 72x$

Für q'(x) müssen wir die Kettenregel anwenden:

$v(x) = 2+x^2$ Innere Funktion (Klammerausdruck)

$u(v) = v^3$ Äußere Funktion (Klammer)

Ableiten:

$v'(x) = 2x$

$u'(v) = 3v^2$

Kettenregel anwenden (innere mal äußere Ableitung):

$q'(x) = v'(x) \cdot u'(v) = 2x \cdot 3v^2$

Einsetzen von v = 2+x²:

$q'(x) = 2x \cdot 3(2+x^2)^2$

Nachdem wir die beiden Ableitungen von Zählerfunktion und Nennerfunktion gebildet haben, können wir die Quotientenregel anwenden:

$f'''(x) =\frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

$f'''(x) =\frac{72x \cdot (2+x^2)^3 - 2x \cdot 3(2+x^2)^2 \cdot (36x^2 - 24)}{[(2+x^2)^3]^2}$

Nenner potenzieren:

$f'''(x) =\frac{72x \cdot (2+x^2)^3 - 2x \cdot 3(2+x^2)^2 \cdot (36x^2 - 24)}{(2+x^2)^{10}}$

Klammer (2+x²)² kürzen:

$f'''(x) =\frac{72x \cdot (2+x^2) - 2x \cdot 3 \cdot (36x^2 - 24)}{(2+x^2)^8}$

Klammer im Zähler auflösen und zusammenfassen:

$f'''(x) =\frac{144x + 72x^3 - 216x^3 + 144x}{(2+x^2)^8}$

$f'''(x) =\frac{-144x^3 + 288x}{(2+x^2)^8}$ 3.Ableitung

Wir setzen nun die ermittelten x-Werte aus der 2.Ableitung in die 3.Ableitung ein:

$f'''(x = 0,816) =\frac{-144 \cdot (0,816)^3 + 288 \cdot 0,816}{(2+(0,816)^2)^8} = 0,0615$

$f'''(x = -0,816) =\frac{-144 \cdot (-0,816)^3 + 288 \cdot (-0,816)}{(2+(-0,816)^2)^8} = -0,0615$

Merk’s dir!

Da die dritte Ableitung für beide x-Werte ungleich Null ist, sind hier zwei Wendepunkte der Funktion gegeben.

Bei x_W = -0,816 ist die 3.Ableitung kleiner als Null. Damit wechselt die Funktion an dieser Stelle von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung.

Bei x_W = 0,816 ist die 3.Ableitung größer als Null. Damit wechselt die Funktion an dieser Stelle von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung.

Wendepunkt bestimmen

Wir kennen die Stellen, an welchen Wendepunkte gegeben sind. Wir suchen noch die dazugehörigen Funktionswerte, so dass wir die Wendepunkte angeben können. Dazu setzen wir die ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion ein:

$f(x=0,816) = \frac{4-0,816^2}{2+0,816^2} = 1,25$

$f(x=-0,816) = \frac{4-(-0,816)^2}{2+(-0,816)^2} = 1,25$

Die Wendepunkte sind gegeben bei:

W₁(0,816 | 1,25)

W₂(-0,816 | 1,25)

Wir haben die Wendepunkte der Funktion ermittelt.

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