MA3 – Verhalten im Unendlichen – gebrochenrationale Funktionen

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen dient dazu, sich das Aussehen bzw. den Verlauf der Funktion bei sehr großen bzw. sehr kleinen x-Werten vorstellen zu können. Was passiert mit der Funktion z.B. bei einem x-Wert von 1.000.000 oder viel höher bzw. -1.000.000 oder viel niedriger? Verläuft die Funktion in positive oder negative y-Richtung? Um eine Aussage darüber treffen zu können, untersuchen wir das Verhalten der Funktionswerte (=y-Werte) für positive und negative x-Werte gegen unendlich (∞).

In dieser Lerneinheit behandeln wir das Verhalten im Unendlichen bei gebrochenrationalen Funktionen.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Beispiele zu dem Thema.

Lässt man die x-Werte der Funktion f(x) gegen +∞ oder -∞ laufen, lautet die Schreibweise:

$\lim \limits_{x \to \infty} f(x)$ Verhalten der Funktion bei x gegen plus unendlich

$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x)$ Verhalten der Funktion bei x gegen minus unendlich

Wir wollen im Folgenden das Verhalten im Unendlichen bei gebrochenrationalen Funktionen wie folgt unterscheiden:

Der Grad im Nenner ist größer als der Grad im Zähler.
Der Grad im Zähler ist größer als der Grad im Nenner.
Der Grad im Zähler und der Grad im Nenner sind gleich groß.

Verhalten im Unendlichen bei gebrochenrationalen Funktionen

Grad im Nenner größer als Grad im Zähler

Wir betrachten die folgende gebrochenrationale Funktion:

$f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 3}$

Der Zählergrad (n = 3) der gebrochenrationalen Funktion ist kleiner, als der Nennergrad (m = 4). Wir wollen das Verhalten im Unendlichen für die gegebene Funktion bestimmen, d.h. wir wollen wissen, wie die Funktion aussieht, wenn sehr große oder sehr kleine Werte für x eingesetzt werden. Dazu setzen wir immer größere Zahlen (10, 100, 1000 etc.) oder immer kleinere Zahlen (-10, -100, -1000 etc.) in die gegebene Funktion ein.

Merk’s dir!

Dadurch, dass der Nennergrad (m = 4) größer ist als der Zählergrad, wird der Nenner schneller wachsen als der Zähler und damit strebt der gesamte Bruch gegen Null.

Schauen wir uns das mal an einem Zahlenbeispiel an. Wir setzen nun x = 100 und x = 1.000 in die Funktion ein:

$f(x = 100) = \frac{100^3 + 2 \cdot 100}{100^4 - 3} = 0,01$

$f(x = 1.000) = \frac{1000^3 + 2 \cdot 1000}{1000^4 - 3} = 0,001$

Je größer die Zahlen werden, desto weiter strebt der Bruch gegen Null. Das bedeutet also, dass sich für x → ∞ (x gegen Unendlich) die gebrochenrationale Funktion immer weiter Null nähert:

$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 3} = 0$

Als nächstes betrachten wir den negativen Zahlenbereich und setzen x = -100 und x = -1.000 ein:

$f(x = 100) = \frac{(-100)^3 + 2 \cdot (-100)}{(-100)^4 - 3} = -0,01$

$f(x = 1.000) = \frac{(-1000)^3 + 2 \cdot (-1000)}{(-1000)^4 - 3} = -0,001$

Je kleiner die Zahlen werden, desto weiter strebt der Bruch gegen Null (minus Null ist Null). Das bedeutet also, dass sich für x → -∞ (x gegen minus Unendlich) die gebrochenrationale Funktion immer weiter Null nähert:

$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 3} = 0$

In der folgenden Grafik siehst du die Funktion eingezeichnet:

Merk’s dir!

Verhalten im unendlichen bei gebrochenrationalen Funktionen:

Ist der Nennergrad (m) größer als der Zählergrad (n), so strebt die gebrochenrationale Funktion für plus und minus Unendlich gegen Null.

Grad im Zähler größer als Grad im Nenner

Wir betrachten die folgende gebrochenrationale Funktion:

$f(x) = \frac{x^3 + 5}{x^2 - 1}$

Der Zählergrad (n = 3) der gebrochenrationalen Funktion ist größer, als der Nennergrad (m = 2). Wir wollen das Verhalten im Unendlichen für die gegebene Funktion bestimmen, d.h. wir wollen wissen, wie die Funktion aussieht, wenn sehr große oder sehr kleine Werte für x eingesetzt werden. Dazu setzen wir immer größere Zahlen (10, 100, 1000 etc.) oder immer kleinere Zahlen (-10, -100, -1000 etc.) in die gegebene Funktion ein.

Merk’s dir!

Dadurch, dass der Zählergrad (n = 3) größer ist als der Nennergrad (m = 2), wird der Zähler schneller wachsen als der Nenner und damit strebt der gesamte Bruch gegen Unendlich.

Schauen wir uns das mal an einem Zahlenbeispiel an. Wir setzen nun x = 100 und x = 1.000 in die Funktion ein:

$f(x = 100) = \frac{100^3 + 5}{100^2 - 1} = 100$

$f(x = 1.000) = \frac{1000^3 + 5}{1000^2 - 1}= 1000$

Je größer die Zahlen werden, desto weiter strebt der Bruch gegen plus Unendlich. Das bedeutet also, dass sich für x → ∞ (x gegen Unendlich) die gebrochen rationale Funktion immer weiter plus Unendlich nähert:

$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^3 + 5}{x^2 - 1} = \infty$

Als nächstes betrachten wir den negativen Zahlenbereich und setzen x = -100 und x = -1.000 ein:

$f(x = 100) = \frac{(-100)^3 + 5}{(-100)^2 - 1} = -100$

$f(x = 1.000) = \frac{(-1000)^3 + 5}{(-1000)^2 - 1}= -1000$

Je kleiner die Zahlen werden, desto weiter strebt der Bruch gegen minus Unendlich. Das bedeutet also, dass sich für x → -∞ (x gegen minus Unendlich) die gebrochenrationale Funktion immer weiter minus Unendlich nähert:

$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 5}{x^2 - 1} = -\infty$

In der folgenden Grafik siehst du die Funktion mit ihrem Verhalten im Unendlichen eingezeichnet:

Merk’s dir!

Verhalten im Unendlichen bei gebrochenrationalen Funktionen:

Ist der Zählergrad (n) größer als der Nennergrad (m), so strebt die gebrochenrationale Funktion für plus und minus Unendlich gegen Unendlich.

Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, so strebt die gebrochenrationale Funktion gegen Unendlich. Sie kann hierbei gegen plus oder minus Unendlich verlaufen. Hier kann man pauschal nicht sagen, dass bei x gegen plus unendlich die Funktion gegen plus oder minus unendlich verläuft. Das ist abhängig von den gegebenen Vorzeichen sowie von den gegebenen Exponenten (gerade oder ungerade). Hier empfehle ich, einfach einen positiven und einen negativen Wert für x einzusetzen (z.B. x = 100 für plus unendlich und x = -100 für minus unendlich) und dann zu schauen, ob das Ergebnis positiv oder negativ wird.

Grad im Zähler gleich Grad im Nenner

Wir betrachten die folgende gebrochenrationale Funktion:

$f(x) = \frac{x^4 + 4x - 1}{x^4 + 3}$

Der Zählergrad (n = 4) der gebrochenrationalen Funktion ist gleich dem Nennergrad (m = 4). Hier ist eine andere Vorgehensweise nötig um den Grenzwert zu berechnen.

Wir gehen hier wie folgt vor:

Die größte Potenz (hier: x⁴) im Nenner und im Zähler ausklammern und kürzen.
Werte für plus unendlich und minus unendlich einsetzen und Verhalten im Unendlichen bestimmen.

Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an. Zunächst klammern wir die größte Potenz aus (die Werte innerhalb der Klammer erhältst du, indem du diese durch den ausgeklammerten Wert teilst):

$f(x) = \frac{x^4(1 + \frac{4x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{x^4 (1 + \frac{3}{x^2})}$

Jetzt kürzen wir x⁴und kürzen im zweiten Bruch x aus dem Zähler:

$f(x) = \frac{1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}}$

Jetzt müssen wir uns überlegen, wohin Zähler und Nenner streben, wenn wir große positive oder große negative x-Werte einsetzen. Da alle Brüche einen größeren Nennergrad als Zählergrad aufweisen, streben diese Brüche gegen Null:

In der obigen Grafik siehst du, dass für x →∞ die blau markierten Brüche zu Null werden, da der Nennergrad immer größer ist, als der Zählergrad bzw. im Zähler nur eine Konstante gegeben ist. Damit strebt die Funktion für große positive x-Werte gegen 2/3:

Zähler: $2 + 0 - 0 = 2$

Nenner: $3 + 0 = 3$

Die gebrochenrationale Funktion strebt demnach für x →∞ gegen 2/3:

$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^4 + 4x - 1}{x^4 + 3} = \frac{2}{3}$

Setzen wir für x negative große Werte ein, so streben die Brüche ebenfalls gegen Null und damit die gesamte Funktion gegen 2/3:

$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{x^4 + 4x - 1}{x^4 + 3} = \frac{2}{3}$

In der folgenden Grafik siehst du die Funktion eingezeichnet:

Merk’s dir!

Verhalten im Unendlichen bei gebrochenrationalen Funktionen:

Sind Zählergrad und Nennergrad bei gebrochenrationalen Funktionen gleich, so strebt die Funktion gegen den Quotienten aus den beiden Koeffizienten der größten Zähler- und Nennerpotenz.

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