TM2 – Mohrscher Spannungskreis (Hauptspannungen bestimmen)

Inhaltsverzeichnis:

 

Der Mohrsche Spannungskreis dient der Bestimmung der Extremwerte der Normal- und Schubspannungen, der sogenannten Hauptspannungen, sowie der dazugehörigen Hauptrichtungen.

In diesem Lerntext zeigen wir dir, wie du den Mohrschen Spannungskreis aus den gegebenen Spannungen zeichnest und wie du daraus die Hauptnormalspannungen und Hauptschubspannungen ablesen kannst.

 Am Ende des Textes schauen wir uns das Vorgehen nochmal detailliert in zwei Videoclips an. Danach sollte dir die Thematik für deine Prüfung nicht mehr schwer fallen. 

 

 


Mohrscher Spannungskreis: Zeichnen


 

Gegeben sei uns der folgende Spannungszustand:

\sigma_x = 40 MPa

\sigma_y = -25 MPa

\tau_{xy} = -12 MPa

 


Koordinatensystem festlegen und Punkte einzeichnen


Vorgehensweise!

Schritt 1: Zunächst zeichnest du ein σ,τ-Koordinatensystem (die σ-Achse ist die Abszisse und die τ-Achse die Ordinate).

Schritt 2: Als nächstes werden die Punkte P1(σx|τxy) und P2(σx|-τxy) abgetragen und miteinander verbunden.

 

Bei der Festlegung des Koordinatensystems sollte der Maßstab sinnvoll gewählt werden. Nicht zu klein, weil sonst die Spannungen nicht genau abgelesen werden können und auch nicht zu groß, so dass der Spannungskreis noch auf das Zeichenblatt passt.

Für unser Beispiel werden die beiden Punkte P1(40|-12) und P2(-25|-(-12)) = P2(-25|12) abgetragen und miteinander verbunden:

Mohrscher Spannungskreis, Beispiel, Zeichnen
Mohrscher Spannungskreis, Beispiel, Zeichnen

 


Kreismittelpunkt festlegen


Vorgehensweise!

Schritt 3: Der Kreismittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Verbindungslinie mit der σ-Achse. Hier ist auch gleichzeitig die mittlere Normalspannung σM gegeben.

 

Mohrscher Spannungskreis, Techniker Prüfungsvorbereitung
Spannungskreis zeichnen

 


Kreis zeichnen


Vorgehensweise!

Schritt 4: Der Kreis verläuft durch die beiden Punkte P1 und P2.

 

Zum Zeichnen des Kreises wird ein Zirkel benötigt. Dieser wird im Kreismittelpunkt (bei der mittleren Normalspannung \sigma_M angesetzt. Es wird dann ein Kreis durch die beide Punkte P1 und P2 gezogen.

Mohrscher Spannungskreis, Festigkeitslehre, Techniker Nachhilfe

 


Mohrscher Spannungskreis: Spannungen ablesen


Nachdem wir den Mohrschen Spannungskreis gezeichnet haben, wollen wir als nächstes die Spannungen und Winkel ablesen.


Mittlere Normalspannung


Die erste Spannung, die wir bereits vor dem Zeichnen des Kreises ablesen können, ist die mittlere Normalspannung σM, die sich aus dem Schnittpunkt der Verbindungslinie mit der σ-Achse ergibt:

Mohrscher Spannungskreis, Kreismittelpunkt. Techniker Nachhilfe

In unserem Beispiel beträgt die mittlere Normalspannung:

 

\sigma_M = 7,5 MPa

 

Merk’s dir!

Aus der vorherigen Lektion weißt du bereits, dass die mittlere Normalspannung dann auftritt, wenn die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen (Hauptschubspannungen).

 

Du kannst auch jederzeit überprüfen, ob der Wert, den du abgelesen hast richtig ist, indem du einfach die mittlere Normalspannung mittels der folgenden Formel berechnest:

\sigma_M = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2}

 

Einsetzen der Werte ergibt:

\sigma_M = \dfrac{40 MPa + (-25 MPa)}{2} = 7,5 MPa

 


Hauptnormalspannungen


Treten die Hauptnormalspannungen (Extremwerte der Normalspannungen) auf, dann verschwinden die Schubspannungen. Mit diesem Wissen können wir die Hauptnormalspannungen ganz einfach ablesen. Sie befinden sich am Rand des Mohrschen Spannungskreises auf der σ-Achse:

Mohrscher Spannungskreis, Hauptnormalspannungen, Prüfungsvorbereitung Techniker

Wichtig: Die Hauptnormalspannung σ1 ist immer größer als die Hauptnormalspannung σ2. Somit liegt σ1 immer rechts von σ2.

 

 

Wir lesen die obigen Werte ab und erhalten in etwa:

\sigma_1 = 42 MPa

\sigma_2 = -27 MPa

 

Du kannst auch jederzeit überprüfen, ob der Wert, den du abgelesen hast richtig ist, indem du die Hauptnormalspannungen mittels der folgenden Formel berechnest:

\sigma_{1} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}

\sigma_{2} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}

 

Einsetzen der Werte ergibt:

\sigma_{1} = \dfrac{40 MPa + (-25 MPa)}{2} + \sqrt{\dfrac{40 MPa - (-25 MPa)}{2})^2 + (-12 MPa)^2} = 42,14 MPa

\sigma_{2} = \dfrac{40 MPa + (-25 MPa)}{2} - \sqrt{\dfrac{40 MPa - (-25 MPa)}{2})^2 + (-12 MPa)^2} = -27,14 MPa

 


Hauptschubspannungen


Treten die Hauptschubspannungen auf, so nehmen die Normalspannungen ihren mittleren Wert an. Du ziehst also eine Hilfslinie ausgehend von der mittleren Normalspannung σM (=Kreismittelpunkt) in positive und negative τ-Richtung bis zum Rand des Mohrschen Spannungskreises. Dort liegt die maximale und minimale Hauptschubspannung:

Mohrscher Spannungskreis, Hauptschubspannungen, Nachhilfe Festigkeitslehre

 

 

Wir lesen die obigen Werte ab und erhalten in etwa:

\sigma_{max} = 35 MPa

\sigma_{min} = -35 MPa

 

Du kannst auch jederzeit überprüfen, ob der Wert, den du abgelesen hast richtig ist, indem du die Hauptnormalspannungen mittels der folgenden Formel berechnest:

\tau_{min} = \sqrt{(\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2} = -\tau_{max}

 

Einsetzen der Werte:

\tau_{max} = \sqrt{(\dfrac{40 MPa - (-25 MPa)}{2})^2 + (-12 MPa)^2} = 34,64 MPa

\tau_{min} = -\tau_{max} = - 34,64 MPa

 


Videos: Zeichnen & Spannungen ablesen


In den folgenden Videos schauen wir uns nochmal im Detail an, wie du den Mohrschen Spannungskreis zeichnest und die Spannungen abliest.

Lernclip
Mohrscher Spannungskreis

 

Du hast nun alle relevanten Spannungen aus dem Mohrschen Spannungskreis abgelesen. Im nächsten Kursabschnitt schauen wir uns an, wie die Hauptrichtungen der Hauptnormalspannungen und Hauptschubspannungen abgelesen werden.

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