MA3 – Sattelpunkt bei gebrochenrationalen Funktionen

Eine Funktion hat einen Sattelpunkt (auch: Terrassenpunkt), wenn sie an einer Stelle gleichzeitig einen Wendepunkt und eine waagerechte Tangente (keine Steigung) besitzt. Das heißt, dass sowohl die 1. Ableitung als auch die 2. Ableitung zu Null werden.

Wir wollen uns in dieser Lerneinheit anschauen, wie du den Sattelpunkt bei gebrochenrationalen Funktionen bestimmst.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.

Sattelpunkte ermitteln

Zur Bestimmung der Sattelpunkte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung, die 2. Ableitung und die 3. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Sattelpunkte allgemein bestimmt werden.

Sattelpunkte bestimmen

Bilde die 1. Ableitung und 2.Ableitung der Funktion.
Setze die 2.Ableitung gleich Null und löse nach x auf: f”(x) = 0. [Du kannst auch die 1.Ableitung gleich Null setzen, nach x auflösen und in die 2.Ableitung einsetzen, die dann wiederum Null ergeben muss. Allerdings ist es in der Regel weniger Berechnungsaufwand die 2. Ableitung nach x aufzulösen].
Setze den aus 2. ermittelten x-Wert in die 1.Ableitung ein.
Die 1.Ableitung muss Null ergeben: f'(x) = 0
Bilde die 3. Ableitung. Ist die dritte Ableitung ungleich Null, dann ist ein Sattelpunkt gegeben: f”'(x) ≠ 0
Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

Beispiel: Sattelpunkte bei gebrochenrationalen Funktionen

Schauen wir uns die Bestimmung von Sattelpunkten bei gebrochenrationalen Funktionen im Folgenden an einem ausführlichen Beispiel an.

In der obigen Grafik sieht du die gebrochenrationale Funktion mit ihrem Sattelpunkt bei x = 2 (gleichzeitig auch der Schnittpunkt mit der x-Achse) eingezeichnet. In diesem Sattelpunkt ist die 1.Ableitung gleich Null und damit keine Steigung der Funktion gegeben. Außerdem ist in diesem Sattelpunkt ein Wendepunkt der Funktion gegeben. Damit ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion von einer Rechtskrümmung (vor x = 2) in eine Linkskrümmung (nach x = 2).

Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du den oben angegebenen Sattelpunkt rechnerisch ermittelst.

Gegeben sei die folgende gebrochenrationale Funktion:

$f(x) = \frac{(x-2)^3}{x^2}$

Untersuche die Funktion auf Sattelpunkte!

1. Ableitung bilden

Zunächst bilden wir die 1. Ableitung der Funktionen, indem wir die Quotientenregel anwenden. Dazu benötigen wir die Ableitung der Zählerfunktion und der Nennerfunktion:

$p(x) = (x-2)^3$ Zählerfunktion

$q(x) = x^2$ Nennerfunktion

Ableitung der Zählerfunktion

Zur Ableitung der Zählerfunktion, wenden wir die Kettenregel an:

$p(x) = u(v(x))$

$v(x) = x-2$ Innere Funktion

$u(v) = v^3$ Äußere Funktion (Klammer)

Wir leiten die innere und äußere Funktion ab:

$v'(x) = 1$

$u'(v) = 3v^2$

Als nächstes wenden wir die Kettenregel an:

$p'(x) = v'(x) \cdot u'(v)$

$p'(x) = 1 \cdot 3v^2$

Einsetzen von v = x-4:

$p'(x) = 1 \cdot 3(x-2)^2$

$p'(x) = 3(x-2)^2$

Ableitung der Nennerfunktion

$q'(x) = 2x$

Wir können nach der Ableitung der Zähler- und Nennerfunktion die Quotientenregel anwenden:

$f'(x) =\frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

Einsetzen der Ableitungen und Funktionen:

$f'(x) =\frac{3(x-2)^2 \cdot x^2 - 2x \cdot (x-2)^3}{(x^2)^2}$

Nenner potenzieren:

$f'(x) =\frac{3(x-2)^2 \cdot x^2 - 2x \cdot (x-2)^3}{x^4}$

2. Binomische Formel anwenden:

$f'(x) =\frac{3(x^2-4x + 4) \cdot x^2 - 2x \cdot (x-2)^2\cdot (x-2)}{x^4}$

$f'(x) =\frac{3x^2 (x^2-4x + 4) - 2x \cdot (x^2-4x +4) \cdot (x-2)}{x^4}$

Klammern auflösen und zusammenfassen:

$f'(x) =\frac{3x^4- 12x^3 + 12x^2 - 2x \cdot (x^2-4x +4) \cdot (x-2)}{x^4}$

$f'(x) =\frac{3x^4- 12x^3 + 12x^2 - (2x^3 - 8x^2 + 8x) \cdot (x-2)}{x^4}$

$f'(x) =\frac{3x^4- 12x^3 + 12x^2 - (2x^4 -4x^3 - 8x^3 + 16x^2 + 8x^2 - 16x)}{x^4}$

$f'(x) =\frac{3x^4- 12x^3 + 12x^2 - 2x^4 + 4x^3 + 8x^3 - 16x^2 - 8x^2 + 16x)}{x^4}$

$f'(x) =\frac{x^4 -12x^2 + 16x)}{x^4}$

$f'(x) =\frac{x^3 -12x + 16}{x^3}$ 1.Ableitung

2.Ableitung bilden, gleich null setzen und nach x auflösen

Im nächsten Schritt bilden wir die 2.Ableitung der gebrochen rationalen Funktion, setzen diese gleich Null und lösen nach x auf.

Für die 2.Ableitung gehen wir genau wie oben angegeben vor. Wir wenden die Quotientenregel an. Dafür müssen wir die Zählerfunktion und die Nennerfunktion der 1.Ableitung ableiten:

$p'(x) = 3x^2 - 12$ Ableitung Zähler

$q'(x) = 3x^2$ Ableitung Nenner

Wir können nun die gegebenen Werte in die Quotientenregel einsetzen:

$f''(x) = \frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

$f''(x) = \frac{(3x^2 - 12) \cdot x^3 - 3x^2 \cdot (x^3 -12x + 16)}{(x^3)^2}$

Zusammenfassen:

$f''(x) = \frac{3x^5 - 12x^3 -3x^5 +36x^3 - 48x^2}{x^6}$

$f''(x) = \frac{24x^3-48x^2}{x^6}$

$f''(x) = \frac{24x-48}{x^4}$ 2.Ableitung

Nachdem wir die 2.Ableitung gebildet haben, können wir diese gleich Null setzen und nach x auflösen:

$f''(x) = \frac{24x-48}{x^4} = 0$

Ein Bruch wird zu Null, wenn der Zähler den Wert Null annimmt:

$24x-48 = 0$

$24x = 48$

$x = 2$

Bei x = 2 wird die 2.Ableitung zu Null. Um nun herauszufinden, ob ein Sattelpunkt gegeben ist, müssen wir diesen x-Wert in die 1.Ableitung einsetzen. Wird diese ebenfalls gleich Null, so kann es sich um einen Sattelpunkt handeln, sofern dann die 3.Ableitung ungleich Null wird.

x-Wert der 2.Ableitung in die 1.Ableitung einsetzen

$f'(x = 2) =\frac{2^3 -12 \cdot 2 + 16}{2^3} = 0$

Die zweite Ableitung nimmt hier den Wert Null an. Damit liegt bei x = 0 möglicherweise ein Sattelpunkt vor. Wir benötigen als nächstes die 3.Ableitung, um das zu überprüfen.

3.Ableitung bilden

Wir bilden als nächstes die 2.Ableitung der gebrochenrationalen Funktion und setzen den ermittelten x-Wert (hier: x = 2) ein.

Für die 3.Ableitung gehen wir genau wie oben angegeben vor. Wir wenden die Quotientenregel an. Dafür müssen wir die Zählerfunktion und die Nennerfunktion der 2.Ableitung ableiten:

$f''(x) = \frac{24x-48}{x^4}$ 2.Ableitung

$p'(x) = 24$ Ableitung Zähler

$q'(x) = 4x^3$ Ableitung Nenner

Wir können nun die gegebenen Werte in die Quotientenregel einsetzen:

$f'''(x) = \frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

$f'''(x) = \frac{24\cdot x^4 - 4x^3 \cdot (24x-48)}{(x^4)^2}$

Zusammenfassen:

$f'''(x) = \frac{24x^4 -96x^4 + 192x^3}{x^8}$

$f'''(x) = \frac{-72x^4 + 192x^3}{x^8}$

$f'''(x) = \frac{-72x + 192}{x^5}$ 3.Ableitung

Wir haben die 3.Ableitung bestimmt und setzen als nächstes den ermittelten x-Wert (x = 2) in diese ein:

$f'''(x = 2) = \frac{-72 \cdot 2 + 192}{2^5} = 1,5 \neq 0$

Die dritte Ableitung nimmt einen Wert ungleich Null an. Damit haben wir an der Stelle x = 2 einen Sattelpunkt gegeben, da f'(x = 2) = f”(x= 2) = 0 und f”'(x=2) ≠0 ist.

Sattelpunkt bestimmen

Damit wir den Sattelpunkt angeben können, benötigen wir noch den zum x-Wert dazugehörigen y-Wert. Dazu setzen wir den x-Wert in die Ausgangsfunktion ein:

$f(x=2) = \frac{(2-2)^3}{2^2} = 0$

Wir können jetzt den Sattelpunkt angeben:

S(2| 0)

Da der Funktionswert zu Null wird, handelt es sich zusätzlich zum Sattelpunkt um einen Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse.

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