(Ph3-16) Beispiele: Senkrechter Wurf nach oben

In dieser Lerneinheit erlernst du einfach und ausführlich das Thema Senkrechter Wurf nach oben. Als angehender Ingenieur / Techniker werden dir die Formeln immer wieder begegnen

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Kinematik findest du im Kurs: PH3-Kinematik

Lies dir die Aufgabenstellung genau durch und schreibe dir auf, welche Werte gegeben sind und welche Werte gesucht werden. Für die gesuchten Werte, kannst du die folgenden Gleichungen heranziehen:

Aufwärtsbewegung eines Körpers

$v = v_0 - g \cdot t_s$	Geschwindigkeit
$s = v_0 \cdot t_s - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t_s^2$	zurückgelegter Weg (nach oben)
$v = +\sqrt{v_0^2 - 2 \cdot g \cdot (s - h_0)}$	Geschwindigkeit
$t_s = \dfrac{v_0}{g}$	Steigzeit
$h_s = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g}$	Steighöhe
$H = h_0 + h_s$	Gesamthöhe

Abwärtsbewegung eines Körpers

$v = g \cdot t_F$	Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit
$s = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t_F^2$	zurückgelegter Weg
$h = H - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t_F^2$	Höhe
$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s}$	Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg
$t_F = \sqrt{\dfrac{2 \cdot s_{max}}{g}}$	Fallzeit
$t_F = \dfrac{v_{max}}{g}$	Fallzeit

Beispiele Senkrechter Wurf nach oben

Nachdem du die notwendigen Gleichungen für die Berechnung beim senkrechten Wurf nach oben kennst, können wir uns einige Beispiele anschauen. Versuche zunächst die Aufgaben selbstständig mithilfe der obigen Gleichungen zu lösen.

Beispiele senkrechter Wurf nach oben 1: Senkrechter Wurf nach oben

Aufgabenstellung

Eine Stahlkugel mit einer Masse von $m = 3 kg$ wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 25 m/s$ senkrecht nach oben geworfen. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.

a) Wie hoch ist die maximale Steighöhe und die Steigzeit?

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf, wenn sie in 1,80 m Höhe abgeworfen wurde?

c) Wie lang ist die gesamte Flugzeit?

Lösung

Gegeben:

$v_0 = 25 m/s$

$g = 9,81 m/s^2$

Masse ist unerheblich, da Luftwiderstand vernachlässigt wird.

a) Wie hoch ist die maximale Steighöhe und die Steigzeit?

Wir berechnen zunächst, aus den gegebenen Werte, die Steighöhe und die Steigzeit.

$t_s = \dfrac{v_0}{g}$

$h_{s} = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g}$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$t_s = \dfrac{25 m/s}{9,81 m/s^2} = 2,55 \; s$

$h_{s} = \dfrac{(25 m/s)^2}{2 \cdot 9,81 m/s^2} = 31,86 m$

Die Kugel erreicht nach 2,55s ihre maximale Steighöhe von 31,86 m. Die Steighöhe ist hierbei nicht gleich der maximalen Höhe über dem Boden, da die Kugel von einer gewissen Höhe $h_0$ abgeworfen wird (nicht vom Boden aus). Die tatsächliche Höhe der Kugel kann man berechnen aus:

$H = h_0 + h_{max}$

Zur Berechnung der maximalen Höhe $H$ müssen Steighöhe $h_{max}$ und Abwurfhöhe $h_0$ bekannt sein.

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf, wenn sie in 1,80 m Höhe abgeworfen wurde?

In dieser Aufgabenstellung ist nun die Abwurfhöhe $h_0 = 1,8 m$ gegeben. Wir können hieraus die maximale Flughöhe (vom Boden ausgehend) bestimmen:

$H = 1,8 m + 31,86 m = 33,66 m$

Die Kugel wird abgeworfen bei einer Höhe von 1,8 m, steigt dann nochmal 31,86 m hoch und erreicht damit eine Höhe von 33,66 m. Danach fällt die Kugel zu Boden. Hier gelten die Gleichungen des freien Falls. In dieser Aufgabenstellung b) soll nun die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit welcher die Kugel auf den Boden auftrifft. Dazu ziehen wir die folgende Gleichung heran:

$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s}$

Hierbei ist $s$ nichts anderes als der Weg der Kugel bis zum Boden, also die berechneten 33,66 m. Das ist die Höhe, bei welcher die Kugel wieder nach unten fällt:

$v = \sqrt{2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot 33,66 m} = 25,70 m/s$

Die Kugel weist unmittelbar beim Aufprall auf den Boden eine Geschwindigkeit von 25,70 m/s auf.

c) Wie lang ist die gesamte Flugzeit?

Wir suchen in diesem Aufgabenteil die gesamte Zeit, welche die Kugel vom Abwurf bis zum Aufprall auf den Boden benötigt. Die Steigzeit haben wir bereits in a) berechnet. Diese beträgt:

$t_s = 2,55 s$

Wir benötigen noch die Zeit, welche die Kugel sich im freien Fall befindet. Diese berechnen wir mittels der folgenden Gleichungen:

$t_F = \sqrt{\dfrac{2 s_{max}}{g}}$

$t_F = \dfrac{v_{max}}{g}$

Eine der beiden Gleichungen kann herangezogen werden, um die Fallzeit zu berechnen.

Die Kugel fällt insgesamt im freien Fall $s_{max} = 33,66 m$ bis sie den Boden erreicht:

$t_F = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 33,66 m}{9,81 m/s^2}} = 2,62 s$

Alternativ berechnen wir die Fallzeit über die maximale Geschwindigkeit $v_{max} = 25,70 m/s$ unmittelbar beim Aufprall auf den Boden:

$t_F = \dfrac{25,70 m/s}{9,81 m/s^2} = 2,62 s$

Als nächstes addieren wir die Steigzeit und Fallzeit:

$t = 2,55 s + 2,62 s = 5,17 s$

Die Kugel hat eine gesamte Flugzeit vom Abwurf bis zum Aufprall auf den Boden von 5,17 Sekunden.

Beispiele senkrechter Wurf nach oben 2: Senkrechter Wurf nach oben

Aufgabenstellung

Eine Stahlkugel fällt aus einer Höhe von 2,3m auf eine Stahlplatte. Bei jedem Aufprall verringert sich die Geschwindigkeit auf das 0,6-fache.

a) Welche Höhe erreicht die Kugel nach dem ersten Aufschlag?

b) Welche Höhe erreicht die Kugel nach dem zweiten Aufschlag?

c) Welche Zeit verstreicht vom Anfang der Bewegung bis zum zweiten Aufschlag?

Lösung

a) Welche Höhe erreicht die Kugel nach dem ersten Aufschlag?

Wir haben erst einen freien Fall gegeben, bis die Kugel auf die Stahlplatte aufschlägt. Danach fliegt sie wieder nach oben. Das ist gleichzusetzen mit einem Wurf senkrecht nach oben. Wir wollen nun also die Steighöhe nach dem 1. Aufprall berechnen. Dazu benötigen wir die Gleichungen für den senkrechten Wurf nach oben:

$\boxed{h_{s} = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g}}$ Steighöhe nach 1. Aufprall (Aufwärtsbewegung)

Um die Steighöhe $h_{s}$ berechnen zu können, müssen wir die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ nach dem 1. Aufprall, mit welcher die Kugel nach oben befördert wird, kennen.

Die Kugel wird zu Beginn aus einer Höhe $H = 2,3m$ fallen gelassen (freier Fall), sie legt also den Weg von $s = 2,3m$ bis zum Boden zurück. Aus den Gleichungen für den freien Fall (Abwärtsbewegung) können wir zunächst die Geschwindigkeit unmittelbar beim Aufprall berechnen:

$\boxed{v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s}}$ Geschwindigkeit (Abwärtsbewegung)

Einsetzen der gegebenen Werte:

$v = \sqrt{2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot 2,3m} = 6,72 m/s$

Die Geschwindigkeit unmittelbar beim Aufprall beträgt 6,72 m/s. In der Aufgabenstellung steht, dass die Geschwindigkeit mit jedem Aufprall auf das 0,6-fache reduziert wird. Demnach ergibt sich nach dem 1. Aufprall:

Das 6-fache von 6,72 m/s: $6,72 m/s \cdot 0,6 = 4,03 m/s$ .

Es ergibt sich also nach dem 1. Aufprall eine Geschwindigkeit von 4,03 m/s. Das ist die Anfangsgeschwindigkeit für die 1. Aufwärtsbewegung:

$v_{01} = 4,03 m/s$ .

Daraus können wir nun die Steighöhe berechnen. Die Steighöhe ist in diesem Fall gleich der insgesamten Höhe der Kugel, da der Abwurf der Kugel vom Boden aus erfolgt.

$h_{s} = H = \dfrac{(4,03 m/s)^2}{2 \cdot 9,81 m/s^2} = 0,83 m$

Die Kugel erreicht nach dem 1. Aufprall eine Gesamthöhe von 0,83 Metern.

b) Welche Höhe erreicht die Kugel nach dem zweiten Aufprall?

Wir betrachten nun die Höhe nach dem 2. Aufprall. Dazu müssen wir wieder wissen, welche Geschwindigkeit die Kugel unmittelbar beim 2. Aufprall aufweist. Nach dem 1. Aufprall erreicht die Kugel eine Gesamthöhe von 0,83m. Danach fällt sie wieder im freien Fall zum Boden und legt genau den Weg von $s = 0,83m$ zurück. Steighöhe und Gesamthöhe sind in diesem Beispiel identisch, da die Kugel vom Boden aus nach oben befördert wird. Wir berechnen also wieder die Geschwindigkeit mittels der Gleichungen für den freien Fall:

$\boxed{v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s}}$ Geschwindigkeit (Abwärtsbewegung)

Einsetzen der gegeben Werte:

$v = \sqrt{2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot 0,83m} = 4,03 m/s$

Die Geschwindigkeit nach dem 1. Aufprall ist gleich der Geschwindigkeit unmittelbar beim 2. Aufprall, weil die Steighöhe und Gesamthöhe übereinstimmen. Stimmen Steighöhe und Gesamthöhe nicht überein, weil die Kugel nicht vom Boden aus abgeworfen wird, dann stimmen die Geschwindigkeiten nicht überein.

Wir können als nächstes die Geschwindigkeit nach dem 2. Aufprall bestimmen. Auch hier gilt, dass die Geschwindigkeit auf das 0,6-fache reduziert wird:

$v_{02} = 4,03 m/s \cdot 0,6 = 2,42 m/s$ .

Die Geschwindigkeit nach dem 2. Aufprall beträgt also 2,42 Meter pro Sekunde.

Wir wollen jetzt noch wissen, wie hoch die Kugel nach dem 2. Aufprall steigt. Dazu berechnen wir wieder die Steighöhe:

$\boxed{h_{s} = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g}}$ Steighöhe nach 2. Aufprall (Aufwärtsbewegung)

Einsetzen der Werte:

$h_{s} = \dfrac{(2,42 m/s)^2}{2 \cdot 9,81 m/s^2} = 0,3m$

Nach dem 2. Aufprall steigt die Kugel 0,3 Meter hoch.

c) Welche Zeit verstreicht vom Anfang der Bewegung bis zum zweiten Aufschlag?

Schauen wir uns den Bewegungsablauf mal in einer Grafik an:

Wir wollen nun die Zeit berechnen, welche die Kugel insgesamt vom Fall aus der Höhe von 2,3 Metern ausgehend bis zum 2. Aufprall benötigt.

1.Bewegung: Freier Fall

$t_F = \sqrt{\dfrac{2 s_{max}}{g}}$ Fallzeit

$t_F = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 2,4 m}{ 9,81 m/s^2}} = 0,7s$

Danach 1. Aufprall.

2.Bewegung: Aufwärtsbewegung

$\boxed{t_s = \dfrac{v_{01}}{g}}$ Steigzeit nach 1. Aufprall

$t_s = \dfrac{4,03 m/s}{9,81 m/s^2} = 0,41s$

Steigt bis 0,83 m (nach dem 1.Aufprall). Danach freier Fall.

3.Bewegung: Freier Fall

$\boxed{t_F = \sqrt{\dfrac{2 s_{max}}{g}}}$ Fallzeit

$t_F = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0,83m}{9,81 m/s^2}} = 0,41s$

Danach 2. Aufprall.

Insgesamt ergibt sich also eine Zeit vom Beginn der Bewegung bis zum 2. Aufprall von:

$t = 0,7s + 0,41s + 0,41s = 1,52s$ .

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit schauen wir uns den senkrechten Wurf nach unten an.

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