(Ph3-15) Senkrechter Wurf nach oben

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit behandeln wir das Thema: Senkrechter Wurf nach oben.

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und ein ausführliches Beispiele zu dem Thema.


 


Senkrechter Wurf nach oben – Grundlagen


 

Senkrechter Wurf nach oben

 

Beim senkrechten Wurf nach oben unterscheiden wir zwischen der Aufwärtsbewegung und der Abwärtsbewegung.

 

Senkrechter Wurf nach oben
Senkrechter Wurf nach oben

 

 


Senkrechter Wurf nach oben: Aufwärtsbewegung


Beim senkrechten Wurf nach oben wird ein Körper mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit v_0 senkrecht nach oben geworfen. Nach dem Abwurf befindet sich der Körper in der Luft und es wirkt die Fallbeschleunigung g auf ihn, welche dazu führt, dass seine Bewegung verlangsamt wird. Das geschieht so lange, bis der Körper nicht weiter steigt und die Geschwindigkeit damit Null ist. Ist der der Fall, so hat der Körper seine maximale Höhe H erreicht und die Aufwärtsbewegung endet.

 

 \boxed{v = 0 \rightarrow h_{s}}                       senkrechter Wurf nach oben

 

 

Für die Aufwärtsbewegung gelten die folgenden Gleichungen:

v = v_0 - g \cdot t Geschwindigkeit
s = v_0 \cdot t - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2  zurückgelegter Weg (nach oben)
v = +\sqrt{v_0^2 - 2 \cdot g \cdot (s - h_0) Geschwindigkeit
t_s = \dfrac{v_0}{g} Steigzeit
h_s = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g} Steighöhe
H = h_0 + h_s Gesamthöhe

 

Bei der obigen Gleichung zur Berechnung des Weges s zeigt der 1. Term den Wurf mit der Anfangsgeschwindigkeit v_0 nach oben auf, der zweite Term zeigt die auf den Körper wirkende Fallbeschleunigung g an, welche den Körper nach unten zieht.

 


Senkrechter Wurf nach oben: Abwärtsbewegung


Vom höchsten Punkt H ausgehend, fällt der Körper dann im freien Fall zur Erde (siehe: Freier Fall). Auf den Körper wirkt dabei die Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s^2. Unmittelbar beim Aufprall erreicht der Körper seine höchste Fallgeschwindigkeit v_{max}.

 

Für die Abwärtsbewegung gelten die Gleichungen des freien Falls:

v = g \cdot t Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit
s = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 zurückgelegter Weg
h = H -  \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 Höhe
v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s} Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg
t_F = \sqrt{\dfrac{2 \cdot s_{max}}{g}} Fallzeit
t_F = \dfrac{v_{max}}{g} Fallzeit

 


Videoclip: Senkrechter Wurf nach oben


Im nachfolgenden Video zeige ich dir, wie du die obigen Gleichungen anwendest.


Lernclip
Senkrechter Wurf nach oben.
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Betrachten wir zum besseren Verständnis der Gleichungen das nachfolgende Beispiel.


Beispiel zum senkrechten Wurf nach oben


undefiniert
Beispiel: Senkrechter Wurf nach oben

Eine Stahlkugel mit einer Masse von m = 2 kg wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v_0 = 15 m/s senkrecht nach oben geworfen. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.

 

a) Wie hoch ist die maximale Steighöhe und die Steigzeit?

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf, wenn sie in 2,4m Höhe abgeworfen wurde?

c) Wie lang ist die gesamte Flugzeit?

 

Gegeben:

v_0 = 15 m/s

g = 9,81 m/s^2

Masse ist unerheblich, da Luftwiderstand vernachlässigt wird.

 

a) Wie hoch ist die maximale Steighöhe und die Steigzeit?

Wir berechnen zunächst, aus den gegebenen Werte, die Steighöhe und die Steigzeit (siehe Aufwärtsbewegung):

 

 \boxed{t_s = \dfrac{v_0}{g}}          Steigzeit

 

 \boxed{h_{s} = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g}}          Steighöhe   

 

Einsetzen der gegebenen Werte:

 

t_s = \dfrac{15 m/s}{9,81 m/s^2} = 1,53 s

 

h_s = \dfrac{(15 m/s)^2}{2 \cdot 9,81 m/s^2} = 11,47 m

 

Die Kugel erreicht nach 1,53s ihre maximale Steighöhe von 11,47 m. Die Steighöhe ist hierbei nicht gleich der maximalen Höhe H über dem Boden, da die Kugel von einer gewissen Höhe h_0 abgeworfen wird (nicht vom Boden aus). Die tatsächliche Höhe der Kugel kann man berechnen aus:

 

 \boxed{H = h_0 + h_s}          Gesamthöhe

 

Zur Berechnung der maximalen Höhe H müssen Steighöhe h_s und Abwurfhöhe h_0 bekannt sein.

 

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf, wenn sie in 2,4m Höhe abgeworfen wurde?

 

In dieser Aufgabenstellung ist nun die Abwurfhöhe h_0 = 2,4m gegeben. Wir können hieraus die maximale Flughöhe (vom Boden ausgehend) bestimmen:

 

H = h_0 + h_s = 2,4m + 11,47 m = 13,87 m

 

Die Kugel wird abgeworfen bei einer Höhe von 2,4m, steigt dann nochmal 11,47 m hoch und erreicht damit eine Höhe von 13,87m. Danach fällt die Kugel zu Boden. Hier gelten die Gleichungen des freien Falls. In dieser Aufgabenstellung b) soll nun die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit welcher die Kugel auf den Boden auftrifft:

 

Dazu ziehen wir die folgende Gleichung heran:

 

 \boxed{v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s}}          Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg

 

Hierbei ist s nichts anderes als der Weg der Kugel vom höchsten Punkt H bis zum Boden, also die berechneten 13,87 m. Das ist die Höhe, bei welcher die Kugel wieder nach unten fällt:

 

v = \sqrt{2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot 13,87m} = 16,5 m/s

 

Die Kugel weist unmittelbar beim Aufprall auf den Boden eine Geschwindigkeit von 16,5 m/s auf.

 

c) Wie lang ist die gesamte Flugzeit?

 

Wir suchen in diesem Aufgabenteil die gesamte Zeit, welche die Kugel vom Abwurf bis zum Aufprall auf den Boden benötigt. Die Steigzeit haben wir bereits in a) berechnet. Diese beträgt:

 

t_s = 1,53 s

 

Wir benötigen noch die Zeit, welche die Kugel sich im freien Fall befindet. Diese berechnen wir mittels der folgenden Gleichungen:

 

 \boxed{t_F = \sqrt{\dfrac{2 s_{max}}{g}}}

 

 \boxed{t_F = \dfrac{v_{max}}{g}}

 

Eine der beiden Gleichungen kann herangezogen werden, um die Fallzeit zu berechnen.

 

Die Kugel fällt insgesamt im freien Fall s_{max} = 13,87 m bis sie den Boden erreicht:

 

t_F = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 13,87 m}{9,81 m/s^2}} = 1,68 s

 

Alternativ berechnen wir die Fallzeit über die maximale Geschwindigkeit v_{max} = 16,5 m/s unmittelbar beim Aufprall auf den Boden:

 

t_F = \dfrac{16,5 m/s}{9,81 m/s^2} = 1,68s

 

Als nächstes addieren wir die Steigzeit und Fallzeit:

 

t = t_s + t_F = 1,53s + 1,68s = 3,21s

 

Die gesamte Flugdauer der Kugel beträgt 3,21 Sekunden vom Abwurf bis zum Aufprall auf den Boden.

 

wie gehts weiter
Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt das Prinzip zum Thema Senkrechter Wurf nach oben kennst, schauen wir uns im nachfolgenden Kurstext weitere Beispiele zum senkrechten Wurf nach oben an!

 

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