(Ph3-15) Senkrechter Wurf nach oben

In dieser Lerneinheit behandeln wir das Thema: Senkrechter Wurf nach oben.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.

Senkrechter Wurf nach oben – Grundlagen

Beim senkrechten Wurf nach oben unterscheiden wir zwischen der Aufwärtsbewegung und der Abwärtsbewegung.

Senkrechter Wurf nach oben: Aufwärtsbewegung

Beim senkrechten Wurf nach oben wird ein Körper mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ senkrecht nach oben geworfen. Nach dem Abwurf befindet sich der Körper in der Luft und es wirkt die Fallbeschleunigung $g$ auf ihn, welche dazu führt, dass seine Bewegung verlangsamt wird. Das geschieht so lange, bis der Körper nicht weiter steigt und die Geschwindigkeit damit Null ist. Ist der der Fall, so hat der Körper seine maximale Höhe $H$ erreicht und die Aufwärtsbewegung endet.

$\boxed{v = 0 \rightarrow h_{s}}$ senkrechter Wurf nach oben

Für die Aufwärtsbewegung gelten die folgenden Gleichungen:

$v = v_0 - g \cdot t$	Geschwindigkeit
$s = v_0 \cdot t - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$	zurückgelegter Weg (nach oben)
* QuickLaTeX cannot compile formula: v = +\sqrt{v_0^2 - 2 \cdot g \cdot (s - h_0) * Error message: Missing } inserted. leading text: $v = +\sqrt{v_0^2 - 2 \cdot g \cdot (s - h_0)$	Geschwindigkeit
$t_s = \dfrac{v_0}{g}$	Steigzeit
$h_s = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g}$	Steighöhe
$H = h_0 + h_s$	Gesamthöhe

Bei der obigen Gleichung zur Berechnung des Weges $s$ zeigt der 1. Term den Wurf mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ nach oben auf, der zweite Term zeigt die auf den Körper wirkende Fallbeschleunigung $g$ an, welche den Körper nach unten zieht.

Senkrechter Wurf nach oben: Abwärtsbewegung

Vom höchsten Punkt $H$ ausgehend, fällt der Körper dann im freien Fall zur Erde (siehe: Freier Fall). Auf den Körper wirkt dabei die Fallbeschleunigung $g = 9,81 m/s^2$ . Unmittelbar beim Aufprall erreicht der Körper seine höchste Fallgeschwindigkeit $v_{max}$ .

Für die Abwärtsbewegung gelten die Gleichungen des freien Falls:

$v = g \cdot t$	Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit
$s = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$	zurückgelegter Weg
$h = H - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$	Höhe
$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s}$	Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg
$t_F = \sqrt{\dfrac{2 \cdot s_{max}}{g}}$	Fallzeit
$t_F = \dfrac{v_{max}}{g}$	Fallzeit

++ Videoclip – Senkrechter Wurf nach oben ++

Im nachfolgenden Video zeige ich dir, wie du die obigen Gleichungen anwendest.

Senkrechter Wurf nach oben.

Betrachten wir zum besseren Verständnis der Gleichungen das nachfolgende Beispiel.

Beispiel zum senkrechten Wurf nach oben

undefiniert

Beispiel: Senkrechter Wurf nach oben

Eine Stahlkugel mit einer Masse von $m = 2 kg$ wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 15 m/s$ senkrecht nach oben geworfen. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.

a) Wie hoch ist die maximale Steighöhe und die Steigzeit?

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf, wenn sie in 2,4m Höhe abgeworfen wurde?

c) Wie lang ist die gesamte Flugzeit?

Gegeben:

$v_0 = 15 m/s$

$g = 9,81 m/s^2$

Masse ist unerheblich, da Luftwiderstand vernachlässigt wird.

a) Wie hoch ist die maximale Steighöhe und die Steigzeit?

Wir berechnen zunächst, aus den gegebenen Werte, die Steighöhe und die Steigzeit (siehe Aufwärtsbewegung):

$\boxed{t_s = \dfrac{v_0}{g}}$ Steigzeit

$\boxed{h_{s} = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g}}$ Steighöhe

Einsetzen der gegebenen Werte:

$t_s = \dfrac{15 m/s}{9,81 m/s^2} = 1,53 s$

$h_s = \dfrac{(15 m/s)^2}{2 \cdot 9,81 m/s^2} = 11,47 m$

Die Kugel erreicht nach 1,53s ihre maximale Steighöhe von 11,47 m. Die Steighöhe ist hierbei nicht gleich der maximalen Höhe $H$ über dem Boden, da die Kugel von einer gewissen Höhe $h_0$ abgeworfen wird (nicht vom Boden aus). Die tatsächliche Höhe der Kugel kann man berechnen aus:

$\boxed{H = h_0 + h_s}$ Gesamthöhe

Zur Berechnung der maximalen Höhe $H$ müssen Steighöhe $h_s$ und Abwurfhöhe $h_0$ bekannt sein.

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf, wenn sie in 2,4m Höhe abgeworfen wurde?

In dieser Aufgabenstellung ist nun die Abwurfhöhe $h_0 = 2,4m$ gegeben. Wir können hieraus die maximale Flughöhe (vom Boden ausgehend) bestimmen:

$H = h_0 + h_s = 2,4m + 11,47 m = 13,87 m$

Die Kugel wird abgeworfen bei einer Höhe von 2,4m, steigt dann nochmal 11,47 m hoch und erreicht damit eine Höhe von 13,87m. Danach fällt die Kugel zu Boden. Hier gelten die Gleichungen des freien Falls. In dieser Aufgabenstellung b) soll nun die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit welcher die Kugel auf den Boden auftrifft:

Dazu ziehen wir die folgende Gleichung heran:

$\boxed{v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s}}$ Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg

Hierbei ist $s$ nichts anderes als der Weg der Kugel vom höchsten Punkt $H$ bis zum Boden, also die berechneten 13,87 m. Das ist die Höhe, bei welcher die Kugel wieder nach unten fällt:

$v = \sqrt{2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot 13,87m} = 16,5 m/s$

Die Kugel weist unmittelbar beim Aufprall auf den Boden eine Geschwindigkeit von 16,5 m/s auf.

c) Wie lang ist die gesamte Flugzeit?

Wir suchen in diesem Aufgabenteil die gesamte Zeit, welche die Kugel vom Abwurf bis zum Aufprall auf den Boden benötigt. Die Steigzeit haben wir bereits in a) berechnet. Diese beträgt:

$t_s = 1,53 s$

Wir benötigen noch die Zeit, welche die Kugel sich im freien Fall befindet. Diese berechnen wir mittels der folgenden Gleichungen:

$\boxed{t_F = \sqrt{\dfrac{2 s_{max}}{g}}}$

$\boxed{t_F = \dfrac{v_{max}}{g}}$

Eine der beiden Gleichungen kann herangezogen werden, um die Fallzeit zu berechnen.

Die Kugel fällt insgesamt im freien Fall $s_{max} = 13,87 m$ bis sie den Boden erreicht:

$t_F = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 13,87 m}{9,81 m/s^2}} = 1,68 s$

Alternativ berechnen wir die Fallzeit über die maximale Geschwindigkeit $v_{max} = 16,5 m/s$ unmittelbar beim Aufprall auf den Boden:

$t_F = \dfrac{16,5 m/s}{9,81 m/s^2} = 1,68s$

Als nächstes addieren wir die Steigzeit und Fallzeit:

$t = t_s + t_F = 1,53s + 1,68s = 3,21s$

Die gesamte Flugdauer der Kugel beträgt 3,21 Sekunden vom Abwurf bis zum Aufprall auf den Boden.

wie gehts weiter?

Nachdem du jetzt das Prinzip zum Thema Senkrechter Wurf nach oben kennst, schauen wir uns im nachfolgenden Kurstext weitere Beispiele zum senkrechten Wurf nach oben an!

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