Wendepunkte bestimmen [mit Videos und Beispiel]

Inhaltsverzeichnis:

Ein Wendepunkt ist dann gegeben, wenn die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert. Die Funktion wechselt hier entweder von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch als Bogenwechsel bezeichnet.

Wir wollen uns in dieser Lerneinheit anschauen, wie du die Wendepunkte bestimmen kannst.

 

Wendepunkte bestimmen


Zur Bestimmung der Wendepunkte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung, 2. Ableitung und die 3. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Wendepunkte allgemein bestimmt werden.

 

Wendepunkte bestimmen

  1. Bilde die 1. und 2. Ableitung der Funktion und setze die 2. Ableitung gleich Null: f”(x) = 0
  2. Löse die 2. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist möglicherweise ein Wendepunkt gegeben.
  3. Bilde die 3. Ableitung der Funktion.
    Ist die 3. Ableitung ungleich Null, so ist ein Wendepunkt gegeben: f”'(x) ≠ 0
    Wenn die 3. Ableitung noch abhängig von x ist, dann musst du den aus 2. ermittelten x-Wert einsetzen. 
    f”'(x) > 0: Funktion wechselt von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung.
    f”'(x) < 0: Funktion wechselt von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung.
  4. Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

 

Video 1: Wendepunkte | Vorgehensweise


Video 2: Wendepunkte | Beispiel


 

Zum besseren Verständnis der Vorgehensweise schauen wir uns ein Beispiel an.

Vorgehensweise: Wendepunkte bestimmen


 

Gegeben sei die folgende kubische Funktion:

f(x) = x^3 - 6x^2 - x + 6

Bestimme die Wendepunkte der Funktion!

 

1. und 2. Ableitung bilden


Zunächst bilden wir die 1. und die 2.Ableitung der Funktion:

f'(x) = 3x^2 - 12x - 1

f''(x) = 6x - 12

 

Als nächstes setzen wir die 1.Ableitung gleich Null und lösen nach x auf:

6x - 12 = 0     |+12

6x = 12     |:6

x = 2

Wir haben an der Stelle x = 2 möglicherweise einen Wendepunkt gegeben. Das finden wir heraus, indem wir den ermittelten x-Wert in die 3. Ableitung einsetzen.

 

3.Ableitung bilden


Die 3. Ableitung wird bestimmt, indem die 2.Ableitung abgleitet wird:

f'''(x) = 6

Es handelt sich bei der dritten Ableitung um eine konstante ohne Abhängigkeit von x. Die dritte Ableitung ist ungleich Null, damit haben wir hier einen Wendepunkt gegeben.

Merk’s dir!

Da die dritte Ableitung größer als Null ist, wechselt die Funktion an der Stelle x = 2 von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung.

 

Funktionswert bestimmen


Wir kennen die Stelle (x = 2), an welcher ein Wendepunkt gegeben ist. Wir suchen noch den dazugehörigen Funktionswert, so dass wir den Wendepunkt angeben können. Dazu setzen wir den ermittelten x-Wert in die Ausgangsfunktion ein:

f(x = 2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 - 2 + 6 = -12

 

Der Wendepunkt ist gegeben bei:

W(2 | -12)

 

In der folgenden Grafik ist die Funktion mit ihrem Wendepunkt sowie den Nullstellen und Extremwerten eingezeichnet:

kubische Funktionen, Wendepunkte bestimmen, MA3, Kurvendiskussion

Vor dem Wendepunkt weist die Funktion eine Rechtskrümmung auf, nach dem Wendepunkt eine Linkskkrümmung. Der Wendepunkt gibt den Wechsel des Krümmungsverhaltens einer Funktion an. 

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