Ein Wendepunkt ist dann gegeben, wenn die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert. Die Funktion wechselt hier entweder von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch als Bogenwechsel bezeichnet.
Wir wollen uns in dieser Lerneinheit anschauen, wie du diese Wendepunkte bestimmen kannst.
Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema. Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion. Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik
Wendepunkte | Grundlagen
Wie werden Wendepunkte bestimmt?
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, bei dem die Krümmung wechselt, das heißt, die Funktion geht von konkav (nach unten geöffnet) zu konvex (nach oben geöffnet) oder umgekehrt. Das Bestimmen von diesen Punkten ist wichtig für das Verständnis des Graphenverlaufs und hat viele Anwendungen in verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Bereichen.
Grundprinzipien
-
Definition eines Wendepunktes:
- Ein Wendepunkt ist ein Punkt
, an dem die zweite Ableitung 
ist und das Vorzeichen von 
wechselt.
- Ein Wendepunkt ist ein Punkt
-
Schritte zur Bestimmung eines Wendepunktes:
- Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
- Setze die zweite Ableitung gleich null, um mögliche Punkte zu finden.
- Überprüfe das Vorzeichen der zweiten Ableitung vor und nach den gefundenen xx-Werten, um sicherzustellen, dass ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
, an dem die zweite Ableitung
Wendepunkte bestimmen
Zur Bestimmung der Wendepunkte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung, 2. Ableitung und die 3. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Punkte allgemein bestimmt werden.
Wendepunkte bestimmen
- Bilde die 1. und 2. Ableitung der Funktion und setze die 2. Ableitung gleich Null: f”(x) = 0
- Löse die 2. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist möglicherweise ein Wendepunkt gegeben.
- Bilde die 3. Ableitung der Funktion.
Ist die 3. Ableitung ungleich Null, so ist ein Wendepunkt gegeben: f”'(x) ≠ 0
Wenn die 3. Ableitung noch abhängig von x ist, dann musst du den aus 2. ermittelten x-Wert einsetzen.
f”'(x) > 0: Funktion wechselt von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung.
f”'(x) < 0: Funktion wechselt von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung. - Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.
Video 1: Wendepunkte | Vorgehensweise
Video 2: Wendepunkte | Beispiel
Zum besseren Verständnis der Vorgehensweise schauen wir uns ein Beispiel an.
Vorgehensweise: Wendepunkte bestimmen
Gegeben sei die folgende kubische Funktion:
Bestimme die Wendepunkte der Funktion!
Erste und zweite Ableitung bilden
Zunächst bilden wir die 1. und die 2.Ableitung der Funktion:
Als nächstes setzen wir die 1.Ableitung gleich Null und lösen nach x auf:
|+12
|:6
Wir haben an der Stelle x = 2 möglicherweise einen Wendepunkt gegeben. Das finden wir heraus, indem wir den ermittelten x-Wert in die 3. Ableitung einsetzen.
Dritte Ableitung bilden
Die 3. wird bestimmt, indem die 2.Ableitung abgleitet wird:
Es handelt sich bei der dritten Ableitung um eine konstante ohne Abhängigkeit von x. Die dritte Ableitung ist ungleich Null, damit haben wir hier einen Wendepunkt gegeben.
Da die dritte Ableitung größer als Null ist, wechselt die Funktion an der Stelle x = 2 von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung.
Funktionswert bestimmen
Wir kennen die Stelle (x = 2), an welcher ein Wendepunkt gegeben ist. Wir suchen noch den dazugehörigen Funktionswert, so dass wir den Wendepunkt angeben können. Dazu setzen wir den ermittelten x-Wert in die Ausgangsfunktion ein:
Der Wendepunkt ist gegeben bei:
W(2 | -12)
In der folgenden Grafik ist die Funktion mit ihrem Wendepunkt sowie den Nullstellen und Extremwerten eingezeichnet:
Vor dem Wendepunkt weist die Funktion eine Rechtskrümmung auf, nach dem Wendepunkt eine Linkskrümmung. Der Wendepunkt gibt den Wechsel des Krümmungsverhaltens einer Funktion an.
Anwendung der Wendepunktanalyse
- Mathematik: Bestimmung der Krümmung und des Graphenverhaltens.
- Ingenieurwissenschaft: Analyse von Belastungs- und Spannungskurven.
- Physik: Untersuchung von Bewegungs- und Wellenformen.
Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)
1. Was ist ein Wendepunkt?
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Krümmung des Graphen einer Funktion wechselt.
2. Wie findet man einen Wendepunkt?
Durch Berechnung der ersten und zweiten Ableitungen und Überprüfung der Bedingungen 
und des Vorzeichenwechsels von 
.
3. Warum sind die Punkte wichtig?
Sie helfen, das Krümmungsverhalten und die Struktur des Graphen einer Funktion zu verstehen.
4. Gibt es immer Wendepunkte?
Nein, Wendepunkte existieren nur, wenn die spezifischen Bedingungen erfüllt sind.
Zusammenfassung
Die Bestimmung von Wendepunkten erfordert die Berechnung der ersten und zweiten Ableitungen sowie die Überprüfung der notwendigen Bedingungen.
Diese Methode ist in vielen Bereichen wie Mathematik, Ingenieurwissenschaften und Physik von großer Bedeutung und hilft, das Verhalten und die Struktur von Funktionen präzise zu verstehen.
In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie Ableiten mit der Produktregel abläuft.
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