MA3 – Wendepunkte bei e-Funktionen (inkl. Video)

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Inhaltsverzeichnis:

 

Ein Wendepunkt ist der Punkt an dem die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert. Die Funktion wechselt hier entweder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch als Bogenwechsel bezeichnet.

Wir wollen uns als nächstes anschauen, wie die Wendepunkte bei e-Funktionen bestimmt werden.

Diese Lerneinheit ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3-Kurvendiskussion.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein ausführliches Video und ein anschauliches Rechenbeispiel zu dem Thema.

 

Wendepunkte ermitteln (allgemein)


Zur Bestimmung der Wendepunkte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung, 2. Ableitung und die 3. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Wendepunkte allgemein bestimmt werden.

 

Wendepunkte bestimmen

  1. Bilde die 1. und 2. Ableitung der Funktion und setze die 2. Ableitung gleich Null: f”(x) = 0
  2. Löse die 2. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist möglicherweise ein Wendepunkt gegeben.
  3. Bilde die 3. Ableitung der Funktion.
    Ist die 3. Ableitung ungleich Null, so ist ein Wendepunkt gegeben: f”'(x) ≠ 0
    Wenn die 3. Ableitung noch abhängig von x ist, dann musst du den aus 2. ermittelten x-Wert einsetzen. 
    f”'(x) > 0: Funktion wechselt von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung.
    f”'(x) < 0: Funktion wechselt von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung.
  4. Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

 

Video: Wendepunkte | Vorgehensweise

Im folgenden Video zeige ich dir die allgemeine Vorgehensweise zur Bestimmung von Wendepunkten.


 
 

Vorgehensweise: Wendepunkte bei e-Funktionen

In der folgenden Grafik ist eine e-Funktion mit ihren Wendepunkten sowie ihrem Hochpunkt eingezeichnet:

Wendepunkte bei e-Funktionen, e-Funktion, Wendepunkt, Beispiel, Funktion

Vor dem Wendepunkt W2(-0,707 | 1,649) weist die Funktion eine Linkskrümmung auf. Am Wendepunkt wechselt die Funktion ihr Krümmungsverhalten von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung. 

Nach dem Hochpunkt weist die Funktion weiterhin eine Rechtskrümmung auf (Krümmungsverhalten ändert sich nicht, da kein Wendepunkt gegeben) bis zum Wendepunkt W1(0,707 | 1,649). Hier wechselt die Funktion ihr Krümmungsverhalten von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung. Der Wendepunkt gibt den Wechsel des Krümmungsverhaltens einer Funktion an. 

Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du die obigen Wendepunkte rechnerisch ermittelst.


 

Gegeben sei die folgende e-Funktion:

f(x) = e^{1-x^2}

Bestimme die Wendepunkte der Funktion!

 

1. Ableitung bilden


Wir haben hier eine e-Funktion gegeben, mit einer quadratischen Funktion im Exponenten. Damit können wir hier die Kettenregel anwenden:

Die Kettenregel lautet:

Kettenregel:

f(x) = e^{u(x)}

f'(x) = u'(x) e^{u(x)}

 

Für unseren Fall ist demnach u(x) der Exponent der e-Funktion:

u(x) = 1-x^2

 

Wir leiten den Exponenten ab:

u'(x) = -2x

 

Und wenden die Kettenregel an:

f'(x) = u'(x) e^{u(x)}

f'(x) = -2x \cdot e^{1-x^2}         1.Ableitung

 

2.Ableitung bilden, gleich null setzen und nach x auflösen


Bei der 2.Ableitung müssen wir nun auch die Produktregel anwenden, weil die 1.Ableitung eine lineare Funktion (hier: 2x) beinhaltet:

Wir bilden die 2.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

f'(x) = u(x) \cdot v(x)

f''(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

 

Für unsere Funktion gilt:

u(x) = -2x

v(x) = e^{1-x^2}

 

Ableiten:

u'(x) = -2

Die e-Funktion leiten wir wieder mittels Kettenregel ab. Dazu leiten wir den Exponenten 1-x^2 ab und multiplizieren diesen mit der gegebenen e-Funktion:

(1-x^2)' = -2x

v'(x) = -2x \cdot e^{1-x^2} 

 

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

f''(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

f''(x) =-2 \cdot e^{1-x^2} + (-2x) \cdot e^{1-x^2} \cdot (-2x)

f''(x) =-2 \cdot e^{1-x^2} + 4x^2 \cdot e^{1-x^2}

 

Wir klammern die e-Funktion aus:

f''(x) = e^{1-x^2}(4x^2 - 2)              2.Ableitung

 

Als nächstes setzen wir die 2.Ableitung gleich Null und lösen diese nach x auf:

e^{1-x^2}(4x^2 - 2) = 0

 

Wir wenden hier den Satz vom Nullprodukt an und betrachten jeden Faktor separat zur Berechnung der Nullstellen:

Der “Satz vom Nullprodukt” besagt, dass die Faktoren eines Produktes einzeln auf Nullstellen untersucht werden können.

Wir haben hier ein Produkt aus zwei Faktoren gegeben. Zum Einen die e-Funktion, zum Anderen die Klammer mit der quadratischen Funktion:

Merk’s dir!

e^{1-x^2} = 0          |ln auf beiden Seiten anwenden

1-x^2 = ln(0)           |ln(0) ist nicht definiert -> Abbruch

Die e-Funktion nimmt hier nie den Wert Null an, schneidet also nie die x-Achse. Hier können wir also keine Nullstelle der 1.Ableitung ermitteln.

 

Wir lösen nun die quadratische Gleichung in der Klammer (4x² – 2 = 0) nach x auf. Dazu verwenden wir die Mitternachtsformel:

 

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Hierbei gilt: ax² + bx + c

 

Für unser Beispiel gilt:

a = 4, b = 0, c = -2

 

Einsetzen in die Mitternachtsformel:

x_{1,2} = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4}

x_{e1} = \frac{ +\sqrt{0 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} = 0,707

x_{e2} = \frac{- \sqrt{(0 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} = -7,07

 

Wir haben möglicherweise Extremwerte bei xe1 = 0,707 und xe2 = -0,707 gegeben. Um das zu überprüfen benötigen wir die 3. Ableitung.

 

3.Ableitung bilden


Die 3. Ableitung wird bestimmt, indem die 2.Ableitung abgleitet wird. Auch hier müssen wir die Produkt- und Kettenregel anwenden.

Wir bilden die 3.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

f''(x) = u(x) \cdot v(x)

f'''(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

 

Für unsere Funktion gilt:

u(x) = 4x^2 - 2

v(x) = e^{1-x^2}

 

Ableiten:

u'(x) = 8x

Die e-Funktion leiten wir wieder mittels Kettenregel ab. Dazu leiten wir den Exponenten 1-x^2 ab und multiplizieren diesen mit der gegebenen e-Funktion:

(1-x^2)' = -2x

v'(x) = (-2x) \cdot e^{1-x^2} 

 

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

f'''(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

f'''(x) =8x \cdot e^{1-x^2} + (-2x) \cdot e^{1-x^2} \cdot (4x^2 - 2)

f'''(x) =8x \cdot e^{1-x^2} + (-8x^3 + 4x) \cdot e^{1-x^2}

 

Wir klammern die e-Funktion aus:

f'''(x) = e^{1-x^2}(8x - 8x^3 + 4x)

f'''(x) = e^{1-x^2}(12x - 8x^3)                  3.Ableitung

 

Die 3. Ableitung ist abhängig von x, deswegen müssen wir als nächstes die ermittelten x-Werte aus der 2.Ableitung dort einsetzen:

f'''(x = 0,707) = e^{1-0,707^2}(12 \cdot 0,707 - 8 \cdot 0,707^3) = 9,328         

Wendepunkt gegeben

f'''(x = -0,707) = e^{1-(-0,707)^2}[12 \cdot (-0,707) - 8 \cdot (-0,707)^3] = -9,328       

Wendepunkt gegeben

Merk’s dir!

f”'(x) > 0: Die Funktion wechselt bei x = 0,707 von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung, da die dritte Ableitung größer als Null ist.
f”'(x) < 0: Die Funktion wechselt bei x = -0,707 von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung, da die dritte Ableitung kleiner als Null ist.

 

Wendepunkte bestimmen


Wir kennen die Stellen, an welche Wendepunkte gegeben sind. Wir suchen noch die dazugehörigen Funktionswerte, so dass wir die Wendepunkte angeben können. Dazu setzen wir die ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion ein:

f(x=0,707) = e^{1-0,707^2} = 1,649

f(x=-0,707) = e^{1-(-0,707)^2} = 1,649

 

Die Wendepunkte sind gegeben bei:

W(0,707 | 1,649)

W(-0,707 | 1,649)

Wir haben die Wendepunkte der e-Funktion ermittelt.



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