MA3 – Wendepunkte bei e-Funktionen (inkl. Video)

Jetzt Starten wir mit dem Thema “Wendepunkte bei e-Funktionen”. Ein Wendepunkt ist der Punkt an dem die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert. Die Funktion wechselt hier entweder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch als Bogenwechsel bezeichnet.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

LernClip: Wendepunkte | Vorgehensweise

Im folgenden Video zeige ich dir die allgemeine Vorgehensweise zur Bestimmung von Wendepunkten.

Wendepunkt ermitteln – Grundlagen

Was sind Wendepunkte bei e-Funktionen?

Die Bestimmung von Wendepunkten bei e-Funktionen ist ein wichtiger Teil der Analysis. Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert. Bei e-Funktionen, die Exponentialfunktionen sind, ist dies besonders nützlich in Anwendungen wie Wachstums- und Zerfallsprozessen.

Grundprinzipien

Definition von Wendepunkten:

Ein Wendepunkt ist ein Punkt $(x, f(x))$ auf dem Graphen einer Funktion, an dem sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert.
Mathematisch liegt ein Wendepunkt vor, wenn die zweite Ableitung $f''(x)$ die Null durchläuft und dabei das Vorzeichen wechselt.

Definition von e-Funktionen:

Eine e-Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form $f(x) = ae^{bx}$ wobei $e$ die Eulersche Zahl ist, und $\overline{a}$ und $\overline{b}$ Konstanten sind.

Wendepunkte ermitteln (allgemein)

Zur Bestimmung der Wendepunkte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung, 2. Ableitung und die 3. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Wendepunkte allgemein bestimmt werden.

Wendepunkte bestimmen

Bilde die 1. und 2. Ableitung der Funktion und setze die 2. Ableitung gleich Null: f”(x) = 0
Löse die 2. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist möglicherweise ein Wendepunkt gegeben.
Bilde die 3. Ableitung der Funktion.
Ist die 3. Ableitung ungleich Null, so ist ein Wendepunkt gegeben: f”'(x) ≠ 0
Wenn die 3. Ableitung noch abhängig von x ist, dann musst du den aus 2. ermittelten x-Wert einsetzen.
f”'(x) > 0: Funktion wechselt von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung.
f”'(x) < 0: Funktion wechselt von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung.
Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

Vorgehensweise: Wendepunkte bei e-Funktionen

In der folgenden Grafik ist eine e-Funktion mit ihren Wendepunkten sowie ihrem Hochpunkt eingezeichnet:

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Nach dem Hochpunkt weist die Funktion weiterhin eine Rechtskrümmung auf (Krümmungsverhalten ändert sich nicht, da kein Wendepunkt gegeben) bis zum Wendepunkt W₁(0,707 | 1,649). Hier wechselt die Funktion ihr Krümmungsverhalten von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung. Der Wendepunkt gibt den Wechsel des Krümmungsverhaltens einer Funktion an.

Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du die obigen Wendepunkte rechnerisch ermittelst.

Gegeben sei die folgende e-Funktion:

$f(x) = e^{1-x^2}$

Bestimme die Wendepunkte der Funktion!

1. Ableitung bilden

Wir haben hier eine e-Funktion gegeben, mit einer quadratischen Funktion im Exponenten. Damit können wir hier die Kettenregel anwenden:

Die Kettenregel lautet:

Kettenregel:

$f(x) = e^{u(x)}$

$f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$

Für unseren Fall ist demnach u(x) der Exponent der e-Funktion:

$u(x) = 1-x^2$

Wir leiten den Exponenten ab:

$u'(x) = -2x$

Und wenden die Kettenregel an:

$f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$

$f'(x) = -2x \cdot e^{1-x^2}$ 1.Ableitung

2. Ableitung bilden, gleich null setzen und nach x auflösen

Bei der 2. Ableitung müssen wir nun auch die Produktregel anwenden, weil die 1.Ableitung eine lineare Funktion (hier: 2x) beinhaltet:

Wir bilden die 2.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

$f'(x) = u(x) \cdot v(x)$

$f''(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)$

Für unsere Funktion gilt:

$u(x) = -2x$

$v(x) = e^{1-x^2}$

Ableiten:

$u'(x) = -2$

Die e-Funktion leiten wir wieder mittels Kettenregel ab. Dazu leiten wir den Exponenten $1-x^2$ ab und multiplizieren diesen mit der gegebenen e-Funktion:

$(1-x^2)' = -2x$

$v'(x) = -2x \cdot e^{1-x^2}$

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

$f''(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)$

$f''(x) =-2 \cdot e^{1-x^2} + (-2x) \cdot e^{1-x^2} \cdot (-2x)$

$f''(x) =-2 \cdot e^{1-x^2} + 4x^2 \cdot e^{1-x^2}$

Wir klammern die e-Funktion aus:

$f''(x) = e^{1-x^2}(4x^2 - 2)$ 2.Ableitung

Als nächstes setzen wir die 2.Ableitung gleich Null und lösen diese nach x auf:

$e^{1-x^2}(4x^2 - 2) = 0$

Wir wenden hier den Satz vom Nullprodukt an und betrachten jeden Faktor separat zur Berechnung der Nullstellen:

Der “Satz vom Nullprodukt” besagt, dass die Faktoren eines Produktes einzeln auf Nullstellen untersucht werden können.

Wir haben hier ein Produkt aus zwei Faktoren gegeben. Zum Einen die e-Funktion, zum Anderen die Klammer mit der quadratischen Funktion:

Merk’s dir!

$e^{1-x^2} = 0$ |ln auf beiden Seiten anwenden

$1-x^2 = ln(0)$ |ln(0) ist nicht definiert -> Abbruch

Die e-Funktion nimmt hier nie den Wert Null an, schneidet also nie die x-Achse. Hier können wir also keine Nullstelle der 1.Ableitung ermitteln.

Wir lösen nun die quadratische Gleichung in der Klammer (4x² – 2 = 0) nach x auf. Dazu verwenden wir die Mitternachtsformel:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Hierbei gilt: ax² + bx + c

Für unser Beispiel gilt:

$a = 4$ , $b = 0$ , $c = -2$

Einsetzen in die Mitternachtsformel:

$x_{1,2} = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4}$

$x_{e1} = \frac{ +\sqrt{0 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} = 0,707$

$x_{e2} = \frac{- \sqrt{(0 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} = -7,07$

Wir haben möglicherweise Extremwerte bei x_e1 = 0,707 und x_e2 = -0,707 gegeben. Um das zu überprüfen benötigen wir die 3. Ableitung.

3.Ableitung bilden

Die 3. Ableitung wird bestimmt, indem die 2.Ableitung abgleitet wird. Auch hier müssen wir die Produkt- und Kettenregel anwenden.

Wir bilden die 3.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

$f''(x) = u(x) \cdot v(x)$

$f'''(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)$

Für unsere Funktion gilt:

$u(x) = 4x^2 - 2$

$v(x) = e^{1-x^2}$

Ableiten:

$u'(x) = 8x$

Die e-Funktion leiten wir wieder mittels Kettenregel ab. Dazu leiten wir den Exponenten $1-x^2$ ab und multiplizieren diesen mit der gegebenen e-Funktion:

$(1-x^2)' = -2x$

$v'(x) = (-2x) \cdot e^{1-x^2}$

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

$f'''(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)$

$f'''(x) =8x \cdot e^{1-x^2} + (-2x) \cdot e^{1-x^2} \cdot (4x^2 - 2)$

$f'''(x) =8x \cdot e^{1-x^2} + (-8x^3 + 4x) \cdot e^{1-x^2}$

Wir klammern die e-Funktion aus:

$f'''(x) = e^{1-x^2}(8x - 8x^3 + 4x)$

$f'''(x) = e^{1-x^2}(12x - 8x^3)$ 3.Ableitung

Die 3. Ableitung ist abhängig von x, deswegen müssen wir als nächstes die ermittelten x-Werte aus der 2.Ableitung dort einsetzen:

$f'''(x = 0,707) = e^{1-0,707^2}(12 \cdot 0,707 - 8 \cdot 0,707^3) = 9,328$

Wendepunkt gegeben

$f'''(x = -0,707) = e^{1-(-0,707)^2}[12 \cdot (-0,707) - 8 \cdot (-0,707)^3] = -9,328$

Wendepunkt gegeben

Merk’s dir!

f”'(x) > 0: Die Funktion wechselt bei x = 0,707 von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung, da die dritte Ableitung größer als Null ist.
f”'(x) < 0: Die Funktion wechselt bei x = -0,707 von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung, da die dritte Ableitung kleiner als Null ist.

Wendepunkte bestimmen

Wir kennen die Stellen, an welche Wendepunkte gegeben sind. Wir suchen noch die dazugehörigen Funktionswerte, so dass wir die Wendepunkte angeben können. Dazu setzen wir die ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion ein:

$f(x=0,707) = e^{1-0,707^2} = 1,649$

$f(x=-0,707) = e^{1-(-0,707)^2} = 1,649$

Die Wendepunkte sind gegeben bei:

W(0,707 | 1,649)

W(-0,707 | 1,649)

Wir haben die Wendepunkte der e-Funktion ermittelt.

Anwendung der Wendepunktanalyse

Wirtschaft: Analyse von Wachstum und Sättigung in Modellen des Wirtschaftswachstums.
Biologie: Modellierung von Populationen und deren Wachstumsverhalten.
Physik: Untersuchung von Zerfallsprozessen und anderen exponentiellen Phänomenen.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist ein Wendepunkt?

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert.

2. Wie bestimmt man Wendepunkte?

Durch Berechnung der zweiten Ableitung und Finden der Nullstellen, wobei ein Vorzeichenwechsel geprüft wird.

3. Warum sind Wendepunkte wichtig?

Sie geben Einblick in das Krümmungsverhalten und die Form des Graphen einer Funktion, was für die Analyse von Wachstums- und Zerfallsprozessen entscheidend ist.

4. Gibt es bei jeder e-Funktion Wendepunkte?

Nicht bei einfachen e-Funktionen wie $e^x$ aber bei modifizierten e-Funktionen wie $e^{x^2}$ können Wendepunkte existieren.

5. Wie überprüft man den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung?

Durch Untersuchung des Vorzeichens der zweiten Ableitung links und rechts der gefundenen Nullstellen.

Zusammenfassung

Die Bestimmung von Wendepunkten bei e-Funktionen ist eine wesentliche Methode zur Analyse des Krümmungsverhaltens von Funktionen in der Mathematik.

Sie beinhaltet die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung, das Finden der Nullstellen der zweiten Ableitung und die Überprüfung eines Vorzeichenwechsels.

Diese Analyse ist in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Biologie und Physik von großer Bedeutung und hilft, das Verhalten von Wachstums- und Zerfallsprozessen besser zu verstehen.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie Ableiten mit der Produktregel abläuft.

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