MA3 – Sattelpunkt einer ln-Funktion

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Wir wollen uns als nächstes anschauen, wie der Sattelpunkte einer ln-Funktion bestimmt wird.

Eine Funktion hat einen Sattelpunkt (auch: Terrassenpunkt), wenn sie an einer Stelle gleichzeitig einen Wendepunkt und eine waagerechte Tangente besitzt. Das heißt, dass sowohl die 1. Ableitung als auch die 2. Ableitung zu Null werden.

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, was ein Sattelpunkt ist und zeigen wie der Sattelpunkt einer ln-Funktion berechnet wird:

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Bei einem Sattelpunkt liegt also ein Wendepunkt vor, d.h. die Funktion wechselt von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung oder umgekehrt. Zusätzlich haben wir in diesem Punkt keine Steigung gegeben, weil auch die erste Ableitung gleich Null ist. Für die obige Funktion wollen wir den angezeigten Sattelpunkt rechnerisch ermitteln.

Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

 

Sattelpunkte allgemein


Zur Bestimmung der Sattelpunkte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung, die 2. Ableitung und die 3. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Sattelpunkte allgemein bestimmt werden.

 

Sattelpunkte bestimmen

  1. Bilde die 1. Ableitung der Funktion und setze diese gleich Null: f'(x) = 0
  2. Löse die 1. Ableitung nach x auf. 
  3. Bilde die 2. Ableitung der Funktion. Setze den aus 2. ermittelten x-Wert in die 2. Ableitung ein.
    Die 2. Ableitung muss Null ergeben: f”(x) = 0 
  4. Bilde die 3. Ableitung. Ist die dritte Ableitung ungleich Null, dann ist ein Sattelpunkt gegeben: f”'(x) ≠ 0
    Ist die 3. Ableitung von x abhängig, so setze den aus 2. ermittelten x-Wert in die 3. Ableitung ein.
  5. Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

 

Vorgehensweise: Sattelpunkte einer ln-Funktion


 

Gegeben sei die folgende verschachtelte e-Funktion:

f(x) = \frac{x}{2} \cdot (1 + ln(x)^2)

Untersuche die Funktion auf Sattelpunkte!

 

1. Ableitung bilden


Wir bilden die 1.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

f(x) = u(x) \cdot v(x)

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

 

Für unsere Funktion gilt:

u(x) = \frac{x}{2}

v(x) = 1+ln(x)^2

 

Ableiten:

u'(x) = \frac{1}{2}

v'(x)   Kettenregel auf ln anwenden, Konstante 1 fällt weg

 

Wir müssen für die ln(x)² Funktion die Kettenregel anwenden. Wir haben hier einen Exponenten an der ln-Funktion gegeben (nicht am Klammerausdruck). Das bedeutet, dass wir hier den Exponenten als äußere Ableitung berücksichtigen.

Wir haben die folgende äußere und innere Ableitung gegeben:

(ln(x)^2)' = 2 \cdot ln(x)   äußere Ableitung

ln(x)'    Innere Ableitung

 

Die innere Ableitung ist zudem noch in eine innere und äußere Ableitung zu unterteilen. Die innere Ableitung ist die Ableitung des Ausdrucks in der Klammer:

x' = 1

Die äußere Ableitung ist die Ableitung des Logarithmus:

ln(x)' = \frac{1}{x}

Die Ableitung des Logarithmus ln(x) ergibt also:

1 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}    Innere Ableitung

 

Innere mal äußere Ableitung ergibt dann:

v'(x) = 2 \cdot ln(x) \cdot \frac{1}{x}

 

Wir wenden die Produktregel an:

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (1+ln(x)^2) + 2 \cdot ln(x) \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{2}

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (1+ln(x)^2) + ln(x)    

f'(x) = \frac{1}{2}ln(x)^2 + ln(x) + \frac{1}{2}

 

Wir können hier die 1.binomische Formel anwenden und den Faktor 1/2 davor schreiben:

f'(x) = \frac{1}{2}(ln(x) + 1)^2       1.Ableitung

 

1.Ableitung nach x auflösen


Im nächsten Schritt setzen wir die 1. Ableitungen gleich Null und lösen nach x auf:

f'(x) = \frac{1}{2}(ln(x) + 1)^2 = 0

 

Die obige Funktion stellen wir nach x um:

\frac{1}{2}(ln(x) + 1)^2 = 0      |*2

(ln(x) + 1)^2 = 0      |Wurzel

ln(x) + 1 = 0      |-1

ln(x) = -1      |e-Funktion

x= e^{-1}    Nullstelle der 1.Ableitung

 

2.Ableitung bilden und x-Wert einsetzen


Wir bilden als nächstes die 2.Ableitung und setzen die ermittelten x-Werte der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Wird diese dann zu Null, so liegt möglicherweise ein Sattelpunkt vor.

Die 2. Ableitung wird aus der 1. Ableitung gebildet:

f'(x) = \frac{1}{2}(ln(x) + 1)^2       1.Ableitung

 

Wir müssen hier die innere und äußere Ableitung betrachten. Die äußere Ableitung ist der Exponent an der Klammer. Die innere Ableitung ist die ln-Funktion, welche ebenfalls in eine innere und äußere Ableitung unterteilt werden muss.

Äußere Ableitung

v(x) = \frac{1}{2}(ln(x) + 1)^2

v'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}(ln(x) + 1) = (ln(x) + 1)

 

Innere Ableitung

u(x) = ln(x) + 1

u'(x)

Konstante 1 fällt weg. Wir betrachten also noch die ln-Funktion. Einmal den Klammerausdruck ableiten:

x' = 1

Dann die ln-Funktion ableiten:

ln(x)' = \frac{1}{x}

Beide inneren Ableitungen miteinander multiplizieren:

u'(x) = 1 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}

 

Jetzt können wir die Kettenregel für die äußere und innere Ableitung anwenden:

f''(x) = v'(x) \cdot u'(x) = (ln(x) + 1) \cdot \frac{1}{x}     2.Ableitung

 

Einsetzen des berechneten x-Werts aus der 1.Ableitung:

f''(x= e^{-1}) = (ln(e^{-1}) + 1) \cdot \frac{1}{e^{-1}} = 0

 

Bei x = e-1 liegt möglicherweise ein Sattelpunkt vor, da die 2. Ableitung nach Einsetzen des x-Wertes aus der 1.Ableitung zu Null wird.

 

3.Ableitung bilden


Die 3. Ableitung wird bestimmt, indem die 2.Ableitung abgleitet wird:

f''(x) = (ln(x) + 1) \cdot \frac{1}{x}     2.Ableitung

 

Wir bilden die 3.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

f''(x) = u(x) \cdot v(x)

f'''(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

 

Für unsere Funktion gilt:

u(x) = ln(x) + 1

v(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}

 

Ableiten:

u'(x)

Die Konstante 1 fällt weg. Für ln(x) müssen wir den Klammerausdruck und den Logarithmus ableiten und beide Ableitungen miteinander multiplizieren:

x'=1

ln(x)'=\frac{1}{x}

u'(x) = 1 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}

 

v'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

 

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

f'''(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + -\frac{1}{x^2} \cdot (ln(x) + 1)

f'''(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} \cdot (ln(x) + 1)

f'''(x) = -\frac{1}{x^2} (-1 + ln(x) + 1)

f'''(x) = \frac{1}{x^2} ln(x)

 

Die dritte Ableitung ist von x abhängig. Wir wissen, dass bei x = e-1 womöglich ein Sattelpunkt vorliegt. Wir können das nun anhand der dritten Ableitung prüfen, indem wir x = e-1 in die dritte Ableitung einsetzen:

f'''(x = e^{-1}) = \frac{1}{(e^{-1})^2} ln(e^{-1}) = -7,39 \neq 0

Da die dritte Ableitung ungleich Null ist, handelt es sich hierbei um einen Wendepunkt der Funktion. Die Funktion wechselt an dieser Stelle (f”'(x) <0) von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung. 

Merk’s dir!

Wir haben bei x = e-1 einen Sattelpunkt gegeben, da in diesem Punkt keine Steigung der Funktion vorliegt und zusätzlich ein Wendepunkt gegeben ist.

 

Sattelpunkt einer ln-Funktion bestimmen


Damit wir den Sattelpunkt angeben können, benötigen wir noch den zum x-Wert dazugehörigen y-Wert. Dazu setzen wir den x-Wert in die Ausgangsfunktion ein:

f(x = e^{-1})= \frac{e^{-1}}{2} \cdot (1+ln(e^{-1}))^2 = 0,368..= e^{-1}

Der Sattelpunkt ist also gegeben bei:

S(e-1|e-1)

 

In der folgenden Grafik siehst du den Sattelpunkt der ln-Funktion eingezeichnet:

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In der obigen Grafik siehst du im Punkt S(e-1|e-1) bzw. gerundet S(0,368|0,368) den Sattelpunkt der Funktion. Ein Sattelpunkt ist dann gegeben, wenn die Funktion in diesem Punkt keine Steigung aufweist (f'(x) = 0) und wenn zusätzlich ein Wendepunkt (f”'(x) ≠ 0) gegeben ist, die Funktion also ihr Krümmungsverhalten wechselt. Vor dem Sattelpunkt weist die Funktion eine Rechtskrümmung auf, nach dem Sattelpunkt eine Linkskrümmung.

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