MA3- Punktsymmetrie bei e-Funktionen

In dieser Lerneinheit unseres Onlinekurses Ma3-Kurvendiskussion, wollen wir uns anschauen, was die Punktsymmetrie bei e-Funktionen ist und wie diese bestimmt wird.

Punktsymmetrie allgemein

Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Punkt, dem sogenannten Symmetriepunkt, auf sich selbst abgebildet wird. Die Funktion wird dabei an dem Symmetriepunkt um 180° gedreht. Als Symmetriepunkt betrachten wir hier den Koordinatenursprung (0,0).

Eine Funktion ist zum Koordinatenursprung (0,0) punktsymmetrisch, wenn sie nur ungerade Exponenten aufweist. Die Funktion darf außerdem keine Konstante gegeben haben, da ansonsten keine Punktsymmetrie vorliegt.

Die Bedingung für die Punktsymmetrie lautet mathematisch:

$-f(x) = f(-x)$ Punktsymmetrie

Die gegebene Funktion multipliziert mit (-1) und die Funktion beim Einsetzen von x = -x müssen identisch sein.

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.

Beispiel 1: Punktsymmetrie bei e-Funktionen

Gegeben sei die folgende verschachtelte e-Funktion:

$f(x) = x^3 \cdot e^{4x^2}$

Ist die Funktion punktsymmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung? Überprüfe!

Wir wollen die obige verschachtelte e-Funktion (Funktion mit e-Funktion, quadratischer Funktion im Exponenten und kubischer Funktion) auf Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung überprüfen:

$-f(x) = f(-x)$ Punktsymmetrie

Wir betrachten zunächst die Ausgangsfunktion und setzen hier ein Minuszeichen vor die gesamte Funktion:

$-f(x) = - [x^3 \cdot e^{4x^2}]$

(1) $-f(x) = - x^3 \cdot e^{4x^2}$

Danach setzen wir in die Ausgangsfunktion für x = -x ein:

$f(-x) = (-x)^3 \cdot e^{4(-x)^2}$

Bei ungeraden Exponenten [wie z.B. (-x)³] bleibt das Minuszeichen stehen [-x³]. Bei gerade Exponenten fällt das Minuszeichen weg [(-x)² = x²]

Damit ergibt sich:

(2) $f(-x) = -x^3 \cdot e^{4x^2}$

Die Bedingung lautet nun, dass beide Funktionen (1) und (2) gleich sein müssen. In unserem Fall sind die beiden Funktionen gleich:

$-f(x) = f(-x)$

Damit liegt für die gegebene Funktion Punktsymmetrie im Koordinatenursprung vor:

Punktsymmetrie bei e-Funktionen, Punktsymmetrie, e-Funktionen, Exponentialfunktionen

Drehst du den linken Teil der Funktion um 180° um den Koordinatenursprung, dann erhältst du den rechten Teil der Funktion. Damit liegt hier Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor.

Beispiel 2: Punktsymmetrie bei e-Funktionen

Gegeben sei die folgende verschachtelte e-Funktion:

$f(x) = (x^3 + 1) \cdot e^{4x}$

Ist die Funktion punktsymmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung? Überprüfe!

Wir wollen die obige verschachtelte e-Funktion (Funktion mit e-Funktion, linearer Funktion im Exponenten und kubischer Funktion) auf Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung überprüfen:

$-f(x) = f(-x)$ Punktsymmetrie

Wir betrachten zunächst die Ausgangsfunktion und setzen hier ein Minuszeichen vor die gesamte Funktion:

$-f(x) = - [(x^3 + 1) \cdot e^{4x}]$

$-f(x) = - (x^3 + 1) \cdot e^{4x}$

(1) $-f(x) = (-x^3 - 1) \cdot e^{4x}$

Danach setzen wir in die Ausgangsfunktion für x = -x ein:

$f(-x) = ((-x)^3 + 1) \cdot e^{4(-x)}$

Bei ungeraden Exponenten [wie z.B. (-x)³, -x] bleibt das Minuszeichen stehen [-x³]:

(2) $f(-x) = (-x^3 + 1) \cdot e^{-4x}$

Die Bedingung lautet nun, dass beide Funktionen (1) und (2) gleich sein müssen. In unserem Fall sind die beiden Funktionen nicht gleich:

$-f(x) \neq f(-x)$

Damit liegt für die gegebene Funktion keine Punktsymmetrie im Koordinatenursprung vor:

Punktsymmetrie bei e-Funktionen, Punktsymmetrie, e-Funktionen, e-Funktion

Drehst du den linken Teil der Funktion um 180° um den Koordinatenursprung, dann erhältst du nicht den rechten Teil der Funktion. Damit liegt hier keine Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor.

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