MA3- Punktsymmetrie bei e-Funktionen

Zu unseren Spartarifen
Zu unseren Angeboten
Inhaltsverzeichnis:

In dieser Lerneinheit unseres Onlinekurses Ma3-Kurvendiskussion, wollen wir uns anschauen, was die Punktsymmetrie bei e-Funktionen ist und wie diese bestimmt wird.

Punktsymmetrie allgemein


Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Punkt, dem sogenannten Symmetriepunkt, auf sich selbst abgebildet wird. Die Funktion wird dabei an dem Symmetriepunkt um 180° gedreht. Als Symmetriepunkt betrachten wir hier den Koordinatenursprung (0,0).

Eine Funktion ist zum Koordinatenursprung (0,0) punktsymmetrisch, wenn sie nur ungerade Exponenten aufweist. Die Funktion darf außerdem keine Konstante gegeben haben, da ansonsten keine Punktsymmetrie vorliegt.

Die Bedingung für die Punktsymmetrie lautet mathematisch:

 

-f(x) = f(-x)      Punktsymmetrie

Die gegebene Funktion multipliziert mit (-1) und die Funktion beim Einsetzen von x = -x müssen identisch sein.

 

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.

Beispiel 1: Punktsymmetrie bei e-Funktionen


Gegeben sei die folgende verschachtelte e-Funktion:

f(x) = x^3 \cdot e^{4x^2}

Ist die Funktion punktsymmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung? Überprüfe!

 

Wir wollen die obige verschachtelte e-Funktion (Funktion mit e-Funktion, quadratischer Funktion im Exponenten und kubischer Funktion) auf Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung überprüfen:

-f(x) = f(-x)      Punktsymmetrie

 

Wir betrachten zunächst die Ausgangsfunktion und setzen hier ein Minuszeichen vor die gesamte Funktion:

-f(x) = - [x^3 \cdot e^{4x^2}]

(1) -f(x) = - x^3 \cdot e^{4x^2}

 

Danach setzen wir in die Ausgangsfunktion für x = -x ein:

f(-x) = (-x)^3 \cdot e^{4(-x)^2}

Bei ungeraden Exponenten [wie z.B. (-x)³] bleibt das Minuszeichen stehen [-x³]. Bei gerade Exponenten fällt das Minuszeichen weg [(-x)² = x²]

Damit ergibt sich:

(2) f(-x) = -x^3 \cdot e^{4x^2}

 

Die Bedingung lautet nun, dass beide Funktionen (1) und (2) gleich sein müssen. In unserem Fall sind die beiden Funktionen gleich:

-f(x) = f(-x)

 

Damit liegt für die gegebene Funktion Punktsymmetrie im Koordinatenursprung vor:

Punktsymmetrie bei e-Funktionen, Punktsymmetrie, e-Funktionen, Exponentialfunktionen

Drehst du den linken Teil der Funktion um 180° um den Koordinatenursprung, dann erhältst du den rechten Teil der Funktion. Damit liegt hier Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor.

 

Beispiel 2: Punktsymmetrie bei e-Funktionen

Gegeben sei die folgende verschachtelte e-Funktion:

f(x) = (x^3 + 1) \cdot e^{4x}

Ist die Funktion punktsymmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung? Überprüfe!

 

Wir wollen die obige verschachtelte e-Funktion (Funktion mit e-Funktion, linearer Funktion im Exponenten und kubischer Funktion) auf Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung überprüfen:

-f(x) = f(-x)      Punktsymmetrie

 

Wir betrachten zunächst die Ausgangsfunktion und setzen hier ein Minuszeichen vor die gesamte Funktion:

-f(x) = - [(x^3 + 1) \cdot e^{4x}]

-f(x) = - (x^3 + 1) \cdot e^{4x}

(1) -f(x) = (-x^3 - 1) \cdot e^{4x}

 

Danach setzen wir in die Ausgangsfunktion für x = -x ein:

f(-x) = ((-x)^3 + 1) \cdot e^{4(-x)}

Bei ungeraden Exponenten [wie z.B. (-x)³, -x] bleibt das Minuszeichen stehen [-x³]:

(2) f(-x) = (-x^3 + 1) \cdot e^{-4x}

 

Die Bedingung lautet nun, dass beide Funktionen (1) und (2) gleich sein müssen. In unserem Fall sind die beiden Funktionen nicht gleich:

-f(x) \neq f(-x)

 

Damit liegt für die gegebene Funktion keine Punktsymmetrie im Koordinatenursprung vor:

Punktsymmetrie bei e-Funktionen, Punktsymmetrie, e-Funktionen, e-Funktion

Drehst du den linken Teil der Funktion um 180° um den Koordinatenursprung, dann erhältst du nicht den rechten Teil der Funktion. Damit liegt hier keine Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor.

Tausende interaktive Übungsaufgaben

Übungsbereich

Quizfrage 1

 

“Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?”  

shadow3

Bild 2021 11 01 101435

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media)? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:  

shadow3

 

Das erwartet dich!

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!
shadow3

 

Auszüge aus unserem Kursangebot!

Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen 

WT3 (Werkstoffprüfung) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an. 

building 4794329 1280
TM1 (Technische Mechanik – Kurs)
scientist 6621069 1280
WT3 (Werkstoffprüfung – Kurs)

 

 

 

 

 

 

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 14,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs 
 ++ Günstiger geht’s nicht!! ++

Oder direkt >> Mitglied  << werden und >> Zugriff auf alle 26 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat 
++ Besser geht’s nicht!! ++ 

shadow3

 

Technikermathe.de meets Social-Media

Kennst du eigentlich schon unseren YouTube-Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei:

Technikermathe auf Youtube 

photo 1611162616475 46b635cb6868

  Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf

Technikermathe auf Instagram 

photo 1611262588024 d12430b98920

Technikermathe auf Facebook

photo 1611162618071 b39a2ec055fb

shadow3

Dein Technikermathe.de-Team

Zu unseren Kursen
Zu unseren Kursen