MA3 – Nullstellen bei gebrochenrationalen Funktionen

Eine Nullstelle ist dann gegeben, wenn die gebrochenrationale Funktion die x-Achse schneidet. Damit ist der y-Wert (=Funktionswert) an dieser Stelle gleich Null: f(x) = 0.

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie die Nullstellen bei gebrochenrationalen Funktionen ermittelt werden.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein ausführliches Rechenbeispiel zu dem Thema.

Nullstellen bei gebrochenrationalen Funktionen

Eine Nullstelle ist dann gegeben, wenn die Funktion die x-Achse schneidet. Damit ist der y-Wert (=Funktionswert) an dieser Stelle gleich Null: f(x) = 0.

Die Bedingung für eine Nullstelle ist also, dass der Funktionswert zu Null wird. Bei gebrochenrationalen Funktionen wird dazu die Zählerfunktion p(x) gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst. Wird der Zähler zu Null, so wird auch die gesamte Funktion zu Null. Damit liegt für diese Stelle eine Nullstelle vor.

Nullstelle bestimmen

Zählerfunktion gleich Null setzen: p(x) = 0
Zählerfunktion nach x auflösen durch Anwendung der p/q-Formel oder der Mitternachstformel.
Gefundene Nullstellen in die Nennerfunktion q(x) einsetzen:
Ergebnis = 0 (keine Nullstelle der Funktion)
Ergebnis ≠ 0 (Nullstelle der Funktion).

Merk’s dir!

Zur Bestimmung der Nullstelle einer gebrochenrationalen Funktion, wird die Zählerfunktion gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst.

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an. In der folgenden Grafik siehst du eine gebrochen rationale Funktion, für welche die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) angegeben sind:

An den Stellen x₁ = 2,281 und x₂ = 0,219 schneidet die Funktion die x-Achse und der Funktionswert wird zu Null. Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion bestimmst du, indem du die Zählerfunktion gleich Null setzt und die Nullstellen berechnest. In diesem Beispiel ist die Zählerfunktion eine quadratische Funktion. Wir haben hier die Nullstellen durch Anwendung der Mitternachtsformel ermittelt.

Wichtig: Bei gebrochenrationalen Funktionen musst du zusätzlich überprüfen, ob die Nullstellen der Zählerfunktion auch Nullstellen der Nennerfunktion sind. Nur wenn die Zählernullstellen nicht auch Nullstellen des Nenners sind, liegen auch tatsächlich Nullstellen der Funktion vor. Wird der Nenner zu Null, so ist an dieser Stelle eine Definitionslücke der Funktion gegeben.

Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du die obigen Nullstellen rechnerisch ermittelst.

Beispiel!

$f(x) = \frac{2x^2 - 5x + 1}{4x^3 + 10}$

Bestimme die Nullstellen der gegebenen Funktion!

Wir haben eine gebrochenrationale Funktion gegeben und wollen die Nullstellen der Funktion bestimmen. Bei gebrochenrationalen Funktionen werden die Nullstellen bestimmt, indem die Funktion im Zähler gleich Null gesetzt wird. Wird der Zähler zu Null, so wird die gesamte Funktion zu Null. Damit liegt eine Nullstelle der Funktion vor:

Zählerfunktion

$p(x) = 2x^2 - 5x + 1$

Wir setzen die Zählerfunktion gleich Null und lösen nach x auf:

$p(x) = 2x^2 - 5x + 1 = 0$

Um die quadratische Funktion nach x auflösen zu können, benötigen wir die Mitternachtsformel:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Für unsere Funktion gilt:

Wir haben also gegeben:

$a = 2$ , $b = -5$ und $c = 1$

Wir setzen die Werte in die Mitternachtsformel ein:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{17}}{4} = 2,281$

$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{17}}{4} = 0,219$

Wir haben die Nullstellen der Funktion bei x = 2,281 und bei x = 0,219 gegeben. Wir müssen aber auch überprüfen, ob bei eine dieser Nullstellen der Nenner zu Null wird. Dann liegt für diesen x-Wert keine Nullstelle vor, weil dann eine Definitionslücke gegeben ist.

Die Nennerfunktion lautet wie folgt:

$p(x) = 4x^3 + 10$

Wir setzen nun die beiden Nullstellen in die Nennerfunktion ein:

$q(x = 2,281) = 4 \cdot 2,281^3 + 10 = 57,47 \neq 0$

$q(x = 0,219) = 4 \cdot 0,219^3 + 10 = 510,04 \neq 0$

Da der Nenner bei keinem der x-Werte zu Null wird, sind beide gefundenen x-Werte aus der Zählerfunktion auch Nullstellen der Funktion:

$x_1 = 0,219$

$x_2 = 2,281$

Damit liegen die Schnittpunkte mit der x-Achse bei:

S(0,219 | 0)

H(2,281 | 0)

Wir haben die Nullstellen der gebrochen rationalen Funktion ermittelt.

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