Ma3 – Monotonieverhalten mit e-Funktion

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Das Monotonieverhalten einer Funktion sagt etwas über ihre Steigung aus. Ändert die Funktion ihr Verhalten, dann wechselt die Funktion von einer steigenden in eine fallende Funktion bzw. umgekehrt. Wichtig ist also die 1.Ableitung der Funktion, welche die Steigung der Funktion wiedergibt. Ist die Steigung positiv, so steigt die Funktion. Ist die Steigung negativ, so fällt die Funktion.

 

In dieser Lerneinheit wollen wir uns das Monotonieverhalten einer verschachtelten e-Funktion anschauen.

Streng monoton fallend oder streng monoton steigend


Das Monotonieverhalten einer Funktion f(x) können wir über die 1. Ableitung der Funktion bestimmen: 

  • Wenn f'(x) > 0 für alle -Werte in einem Bereich ist, so ist die Funktion dort streng monoton steigend

  • Wenn f'(x) < 0 für alle -Werte in einem Bereich ist, so ist die Funktion dort streng monoton fallend.

Merk’s dir!

Streng monoton steigend und fallend:

Eine Funktion heißt streng monoton steigend, wenn mit zunehmendem x-Wert der Funktionswert der Funktion immer ansteigt. Eine Funktion heißt streng monoton fallend, wenn mit zunehmendem x-Wert der Funktionswert der Funktion immer fällt.

 

Betrachten wir mal die folgende Grafik, in welcher anhand einer Funktion höheren Grades f(x) = 2x³ – 3x² das Monotonieverhalten aufgezeigt wird:

Monotonieverhalten, MA3, e-Funktion, streng monoton fallend, streng monoton steigend

Die Funktion weist mehrere Bereiche auf.

Streng monoton steigend: Zunächst steigt die Funktion bis x = 0 an. Bei x = 0 weist die Funktion keine Steigung auf, damit ist die 1. Ableitung gleich Null.

Streng monoton fallend: Nach x = 0 fällt die Funktion bis x = 1. Damit ist sie hier streng monoton fallend. Bei x = 1 ist die 1. Ableitung gleich Null, damit liegt hier keine Steigung vor.

Streng monoton steigend: Nach x = 1 steigt die Funktion wieder an. Hier ist sie also streng monoton steigend.

 

Monotonieverhalten bestimmen (e-Funktion)


Gegeben sei die verschachtelte e-Funktion:

f(x) =(1-x^2) \cdot e^{\frac{1}{2}x}

Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion!

 

Wir wollen herausfinden, in welchen Bereichen die gegebene verschachtelte e-Funktion streng monoton steigend und streng monoton fallend ist. Wir haben hier eine e-Funktion mit linearer Funktionen im Exponenten sowie mit quadratischer Funktion in der Klammer gegeben.

Um herauszufinden, wo die Funktion monoton steigt und wo monoton fällt, müssen wir die 1.Ableitung bilden und diese gleich Null setzen. Ist die 1.Ableitung gleich Null, so weist die Funktion in diesem Punkt keine Steigung auf. Hier liegt bei einfacher Nullstelle bzw. bei ungerader Vielfachheit der Nullstelle (z.B. dreifache Nullstelle) ein Vorzeichenwechsel vor. Damit ändert die Funktion an dieser Stelle ihr Monotonieverhalten.

Um die 1.Ableitung zu bilden – siehe Lektion [Ma3-8-0] in diesem Onlinekurs – verwenden wir die Produkt- und Kettenregel.

Die Produktregel lautet:

Produktregel:

f(x) = u(x) \cdot v(x)

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

 

Für unsere Funktion gilt:

u(x) = 1-x^2

u'(x) = -2x

v(x) = e^{\frac{1}{2}x}

Hier müssen wir noch die Kettenregel anwenden, indem wir den Exponenten ableiten und mit der gegebenen e-Funktion multiplizieren:

(\frac{1}{2}x)' = \frac{1}{2}

v'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x}

 

Wir können nun die Produktregel anwenden:

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

f'(x) = (-2x) \cdot e^{\frac{1}{2}x} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot (1-x^2)

f'(x) = (-2x) \cdot e^{\frac{1}{2}x} + e^{\frac{1}{2}x} \cdot (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^2)

f'(x) = e^{\frac{1}{2}x} (-2x + \frac{1}{2} -\frac{1}{2}x^2)

f'(x) = e^{\frac{1}{2}x} (-\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{1}{2})

 

Wir können jetzt die Stelle bestimmen, an welcher die Steigung den Wert Null annimmt und damit keine Steigung gegeben ist. Dazu setzen wir die 1.Ableitung gleich Null und lösen nach x auf:

f'(x) = 0

e^{\frac{1}{2}x} (-\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{1}{2}) = 0

 Hier wenden wir den Satz vom Nullprodukt an und betrachten beide Faktoren (Klammer und e-Funktion) separat.

 

e-Funktion

e^{\frac{1}{2}x} = 0   |ln

\frac{1}{2}x = ln(0)   Abbruch, da ln(0) nicht definiert

-> Hier gibt es keine Nullstelle!

 

Klammer

-\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{1}{2} = 0

Hierbei handelt es sich um eine quadratische Funktion. Wir wenden hier die Mitternachtsformel an, um die x-Werte zu berechnen:

 

Mitternachtsformel

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Hierbei gilt: ax² + bx + c

 

Hier ist:

a = -\frac{1}{2}, b = -2 und c = \frac{1}{2}

Einsetzen:

x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}}}{2 \cdot (-\frac{1}{2})}

x_{1} = \frac{2 + \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}}}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -4,24

x_{1,2} = \frac{2 - \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}}}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 0,24

 

Bei x1 = -4,24 und x2 = 0,24 ist keine Steigung gegeben. Hier wird die 1.Ableitung gleich Null. Damit findet hier ein Vorzeichenwechsel statt und die Funktion wechselt ihr Monotonieverhalten. Wir müssen noch herausfinden, welches Monotonieverhalten die Funktion vor und nach diesen Stellen aufweist.

Dazu setzen wir einfach Werte vor diesen Stelle und nach diesen Stelle in die 1.Ableitung ein. Wir beginnen immer mit der kleinsten Stelle (hier: -4,24) und betrachten zunächst den Bereich davor.

Für x =-4,24 setzen wir -4,3 ein:

f'(x) = e^{\frac{1}{2} \cdot (-4,3)} (-\frac{1}{2}(-4,3)^2 - 2 \cdot (-4,3) + \frac{1}{2}) =-0,02

Da die Steigung hier negativ ist, ist die Funktion vor x = -4,24 streng monoton fallend.

 

Jetzt müssen wir auch wissen, wie sich die Funktion nach -4,24 verhält, aber noch vor dem nächsten ermittelten x-Wert, also zwischen -4,24 und 0,24.

 

Wir setzen hier beliebig einen Wert dazwischen ein z.B. x = -1:

f'(x) = e^{\frac{1}{2} \cdot (-1)} (-\frac{1}{2}(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + \frac{1}{2}) = 1,21

Da die Steigung hier positiv ist, ist die Funktion zwischen -4,24 und 0,24 streng monoton steigend.

 

Den letzten Bereich, den wir ermitteln müssen, ist der Bereich nach 0,24.

Wir setzen x = 0,3 ein:

f'(x) = e^{\frac{1}{2} \cdot 0,3 } (-\frac{1}{2}0,3^2 - 2 \cdot 0,3 + \frac{1}{2}) = -0,17

Da die Steigung hier negativ ist, ist die Funktion nach x = -0,17 streng monoton fallend.

 

Schauen wir uns die Funktion mal in der folgenden Grafik an:

Ma3, Monotonieverhalten, e-Funktion, streng monoton fallend, streng monoton steigend

Die Funktion weist mehrere Bereiche auf.

Streng monoton fallend: Zunächst fällt die Funktion bis x = -4,24. Bei x = -4,24 weist die Funktion keine Steigung auf, damit ist die 1. Ableitung gleich Null.

Streng monoton steigend: Nach x = -4,24 steigt die Funktion bis x = 0,24. Damit ist sie hier streng monoton steigend. Bei x = 0,24 ist die 1. Ableitung gleich Null, damit liegt hier keine Steigung vor.

Streng monoton fallend: Nach x = 0,24 fällt die Funktion wieder. Hier ist sie also streng monoton fallend.

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