MA3 – Linearfaktorzerlegung | Vorgehensweise [Grundlagen, Video, Tipps]

Eine Funktion kann verschiedene Darstellungsformen aufweisen. Eine Darstellungsform ist die Produktform. Aus einer gegeben Polynomfunktion (eine Funktion mit mehreren Termen) können wir die Linearfaktorzerlegung der vornehmen. Mit Hilfe dieser Darstellung, können wir die Nullstellen der Funktion direkt ablesen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Lernclip und drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Linearfaktorzerlegung | Grundlagen

Was ist die Linearfaktorzerlegung?

Die Linearfaktorzerlegung ist eine Methode in der Algebra, um ein Polynom in seine linearen Faktoren zu zerlegen. Diese Zerlegung spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen wie der Analysis, Algebra und bei der Lösung von Gleichungen.

Grundprinzipien

Definition der Linearfaktorzerlegung:

Ein Polynom $P(x)$ kann als Produkt seiner linearen Faktoren geschrieben werden, wenn alle Nullstellen bekannt sind. Für ein Polynom n-ten Grades $P(x)$ mit Nullstellen $x_1, x_2,…, x_n$ gilt:

$P(x) = a_n (x - x_1)(x - x_2) ⋯ (x - x_n)$

wobei $a_n$ der Leitkoeffizient des Polynoms ist.
Voraussetzungen:
- Das Polynom muss vollständig faktorisiert werden können.
- Alle Nullstellen (reell oder komplex) müssen bekannt sein.

Schritte zur Linearfaktorzerlegung

Bestimmen der Nullstellen: Finde alle Nullstellen des Polynoms $P(x)$ . Diese können reell oder komplex sein und müssen eventuell durch numerische Methoden oder Näherungsverfahren bestimmt werden.
Multiplikative Form aufstellen: Schreibe das Polynom als Produkt seiner linearen Faktoren unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten.
Verifikation: Überprüfe die Korrektheit der Zerlegung durch Ausmultiplizieren und Vergleich mit dem ursprünglichen Polynom.

Polynomfunktion in Normalform

Betrachten wir zunächst eine Polynomfunktion in ihrer Normalform, die wir bereits aus den vorangegangenen Lerneinheiten kennen. Hierbei handelt es sich um eine Funktion mit mehrgliedrigen Termen:

Polynomfunktion in Normalform

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0$

Merk’s dir!

Betrachten wir z.B. eine kubische Funktion, so ist n = 3 und damit:

$f(x) = a_3x^3 + a_{2}x^{2} +a_1x + a_0$

Häufig werden für die Koeffizienten statt des gleichen Buchstabens mit unterschiedlichen Indizes (a₃, a₂, a₂, etc) einfach unterschiedliche Buchstaben gewählt (a, b, c etc):

$f(x) = ax^3 + bx^{2} +cx + d$

Polynomfunktion in Produktform

Eine Polynomfunktion kann auch anders dargestellt werden und zwar in ihrer Produktform:

Polynomfunktion in Produktform

$f(x) = a_n \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \; \cdot \cdot \cdot \; \cdot (x - x_n) \cdot \text{Restglied}$

Die einzelnen Klammern werden als Linearfaktoren bezeichnet. Hier sind x₁, x₂, …, x_n die Nullstellen der Funktion. Das Restglied selbst weist keine Nullstellen mehr auf.

Wir müssen also die Nullstellen einer Funktion kennen, um diese in Linearfaktoren zu zerlegen und dann in Produktform anzugeben zu können.

Vorgehensweise: Linearfaktorzerlegung

Um eine gegebene Funktion in Linearfaktoren zu zerlegen, kannst du wie folgt vorgehen:

Der Vorfaktor der Polynomfunktion wird ausgeklammert.
Die Nullstellen der Funktion werden berechnet.
Die Linearfaktoren mittels der berechneten Nullstellen werden aufgestellt.
Die Linearfaktoren werden zusammen in eine Produktform gebracht.
Eine Probe wird durchgeführt.

Schauen wir uns zur Linearfaktorzerlegung mal ein Beispiel an.

Beispiel!

Gegeben sei die folgende quadratische Funktion:

$f(x) = 2x^2 + 3x + 1$

Bring die Funktion in ihre Produktform!

Schritt 1: Vorfaktor ausklammern

Zunächst schauen wir uns den Term mit dem größten Exponenten an (hier: 2x²) und klammern den Vorfaktor aus:

$f(x) = 2(x^2 + 1,5 x + 0,5)$

Beim Ausklammern von 2 musst du jeden Term in der Klammer durch 2 dividieren.

Schritt 2: Nullstellen bestimmen

Wir bestimmen als nächstes die Nullstellen für den Term innerhalb der Klammer:

$x^2 + 1,5x + 0,5 = 0$

Merk’s dir!

Wie die Nullstellen von Funktionen bestimmt werden, haben wir bereits in den vorangegangenen Abschnitten behandelt.

Bei quadratischen Funktionen können wir die Mitternachtsformel oder die p/q-Formel heranziehen. Da die Funktion innerhalb der Klammer keinen Vorfaktor mehr aufweist, können wir hier die p/q-Formel anwenden:

$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Die p/q-Formel gilt für Funktionen der folgenden Form:

$f(x) = x^2 + bx + c$ mit $a = 1$

Für unser Beispiel ist p = 1,5 und q = 0,5:

$x_{1,2} = - \frac{1,5}{2} \pm \sqrt{(\frac{1,5}{2})^2 - 0,5}$

$x_1 = - \frac{1,5}{2} + 0,25 = -0,5$

$x_2 = - \frac{1,5}{2} - 0,25 = -1$

Die Nullstellen der Funktion sind bei x₁ = -0,5 und x₂ = -1 gegeben.

Schritt 3: Linearfaktoren aufstellen

Aus den gegebenen Nullstellen können wir als nächstes die Linearfaktoren aufstellen:

Linearfaktor

$(x - x_i)$

mit

$x_i$ = i-te Nullstelle

Wir haben hier zwei Nullstellen gegeben und erhalten damit zwei Linearfaktoren:

$(x - x_1) = (x - (-0,5) = (x + 0,5)$

$(x - x_2) = (x - (-1)) = (x + 1)$

Wir haben die beiden Linearfaktoren der Funktion gegeben.

Schritt 4: Produktform aufstellen

Aus den Linearfaktoren können wir nun die Funktion in Produktform angegeben. Dazu müssen wir den Vorfaktor a = 2 zusätzlich betrachten. Wir multiplizieren nun Vorfaktor und Linearfaktoren miteinander:

Funktion in Produktform

$f(x) = 2 \cdot (x + 0,5) \cdot (x + 1)$

Wir haben die Linearfaktorzerlegung durchgeführt. Die Funktion liegt jetzt in ihrer Produktform vor.

Linearfaktorzerlegung, Produktform, Linearfaktoren

In der obigen Grafik sehen wir die Funktion. An der Normalform können wir die Nullstellen nicht ablesen. Für die Berechnung der Nullstellen setzen wir die Funktion gleich Null (f(x) = 0) und berechnen die x-Werte. An der Produktform können wir die Nullstellen direkt ablesen. Wir müssen hierzu einfach so x-Werte einsetzen, dass die Klammern zu Null werden, denn dann nimmt die gesamte Funktion den Wert Null an. Die erste Klammer wird bei x = -0,5 zu Null, die zweite Klammer bei x = -1. Das sind, wie in der Grafik sichtbar, die Nullstellen der Funktion.

Schritt 5: Probe durchführen

Wir wollen im letzten Schritt überprüfen, ob wir die Zerlegung richtig durchgeführt haben. Deswegen führen wir die Probe durch, indem wir die Klammern auflösen:

$f(x) = 2 \cdot (x + 0,5) \cdot (x + 1)$

$f(x) = (2x + 1)\cdot (x + 1)$

$f(x) = (2x^2 + 2x + x +1)$

$f(x) = 2x^2 + 3x +1$

Es resultiert dieselbe Funktion in Normalform wie in der Aufgabenstellung angegeben. Damit haben wir die Zerlegung korrekt durchgeführt.

Anwendung der Linearfaktorzerlegung

Mathematik: Lösung von Polynomgleichungen, Integration von Funktionen, Eigenwertprobleme.
Physik: Analyse von Schwingungssystemen, Stabilitätsanalysen.
Ingenieurwissenschaften: Signalverarbeitung, Regelungstechnik.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist eine Linearfaktorzerlegung?

Die Linearfaktorzerlegung ist die Darstellung eines Polynoms als Produkt seiner linearen Faktoren.

2. Wie finde ich die Nullstellen eines Polynoms?

Nullstellen können durch Faktorisierung, Anwendung des Satzes von Vieta, numerische Verfahren oder Näherungsmethoden gefunden werden.

3. Was mache ich, wenn das Polynom komplexe Nullstellen hat?

Auch komplexe Nullstellen können in die Linearfaktorzerlegung einbezogen werden. Ein Polynom mit komplexen Nullstellen wird durch lineare Faktoren der Form $(x - z)$ dargestellt, wobei $z$ eine komplexe Zahl ist.

4. Warum ist die Linearfaktorzerlegung wichtig?

Sie erleichtert die Lösung von Gleichungen, die Integration von Funktionen und die Analyse von Systemen in verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Bereichen.

5. Kann jedes Polynom vollständig faktorisiert werden?

Ja, nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen (reell oder komplex), was eine vollständige Faktorisierung ermöglicht.

Zusammenfassung

Die Zerlegung ist ein mächtiges Werkzeug in der Mathematik, das die Zerlegung von Polynomen in ihre linearen Faktoren ermöglicht. Dies erleichtert die Lösung von Gleichungen, die Integration und die Analyse von Funktionen.

Durch die Bestimmung der Nullstellen und das Aufstellen der multiplikativen Form können Polynome effizient zerlegt und untersucht werden. Diese Methode ist in vielen Disziplinen von großer Bedeutung und trägt zur Lösung komplexer Probleme bei.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie das Monotonieverhalten von e-Funktionen untersucht wird.

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