MA3 – Linearfaktorzerlegung: Vorgehensweise

Eine Funktion kann verschiedene Darstellungsformen aufweisen. Eine Darstellungsform ist die Produktform. Aus einer gegeben Polynomfunktion (eine Funktion mit mehreren Termen) können wir die Linearfaktorzerlegung der vornehmen. Mit Hilfe dieser Darstellung, können wir die Nullstellen der Funktion direkt ablesen.

Polynomfunktion in Normalform

Betrachten wir zunächst eine Polynomfunktion in ihrer Normalform, die wir bereits aus den vorangegangenen Lerneinheiten kennen. Hierbei handelt es sich um eine Funktion mit mehrgliedrigen Termen:

$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0$ Polynomfunktion in Normalform

Merk’s dir!

Betrachten wir z.B. eine kubische Funktion, so ist n = 3 und damit:

$f(x) = a_3x^3 + a_{2}x^{2} +a_1x + a_0$

Häufig werden für die Koeffizienten statt des gleichen Buchstabens mit unterschiedlichen Indizes (a₃, a₂, a₂, etc) einfach unterschiedliche Buchstaben gewählt (a, b, c etc):

$f(x) = ax^3 + bx^{2} +cx + d$

Polynomfunktion in Produktform

Eine Polynomfunktion kann auch anders dargestellt werden und zwar in ihrer Produktform:

$f(x) = a_n \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \; \cdot \cdot \cdot \; \cdot (x - x_n) \cdot \text{Restglied}$ Polynomfunktion in Produktform

Die einzelnen Klammern werden als Linearfaktoren bezeichnet. Hier sind x₁, x₂, …, x_n die Nullstellen der Funktion. Das Restglied selbst weist keine Nullstellen mehr auf.

Wir müssen also die Nullstellen einer Funktion kennen, um diese in Linearfaktoren zu zerlegen und dann in Produktform anzugeben zu können.

Vorgehensweise: Linearfaktorzerlegung

Um eine gegebene Funktion in Linearfaktoren zu zerlegen, kannst du wie folgt vorgehen:

Der Vorfaktor der Polynomfunktion wird ausgeklammert.
Die Nullstellen der Funktion werden berechnet.
Die Linearfaktoren mittels der berechneten Nullstellen werden aufgestellt.
Die Linearfaktoren werden zusammen in eine Produktform gebracht.
Eine Probe wird durchgeführt.

Schauen wir uns zur Linearfaktorzerlegung mal ein Beispiel an.

Beispiel!

Gegeben sei die folgende quadratische Funktion:

$f(x) = 2x^2 + 3x + 1$

Bring die Funktion in ihre Produktform!

Schritt 1: Vorfaktor ausklammern

Zunächst schauen wir uns den Term mit dem größten Exponenten an (hier: 2x²) und klammern den Vorfaktor aus:

$f(x) = 2(x^2 + 1,5 x + 0,5)$

Beim Ausklammern von 2 musst du jeden Term in der Klammer durch 2 dividieren.

Schritt 2: Nullstellen bestimmen

Wir bestimmen als nächstes die Nullstellen für den Term innerhalb der Klammer:

$x^2 + 1,5x + 0,5 = 0$

Merk’s dir!

Wie die Nullstellen von Funktionen bestimmt werden, haben wir bereits in den vorangegangenen Abschnitten behandelt.

Bei quadratischen Funktionen können wir die Mitternachtsformel oder die p/q-Formel heranziehen. Da die Funktion innerhalb der Klammer keinen Vorfaktor mehr aufweist, können wir hier die p/q-Formel anwenden:

$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Die p/q-Formel gilt für Funktionen der folgenden Form:

$f(x) = x^2 + bx + c$ mit $a = 1$

Für unser Beispiel ist p = 1,5 und q = 0,5:

$x_{1,2} = - \frac{1,5}{2} \pm \sqrt{(\frac{1,5}{2})^2 - 0,5}$

$x_1 = - \frac{1,5}{2} + 0,25 = -0,5$

$x_2 = - \frac{1,5}{2} - 0,25 = -1$

Die Nullstellen der Funktion sind bei x₁ = -0,5 und x₂ = -1 gegeben.

Schritt 3: Linearfaktoren aufstellen

Aus den gegebenen Nullstellen können wir als nächstes die Linearfaktoren aufstellen:

$(x - x_i)$ Linearfaktor

mit

$x_i$ = i-te Nullstelle

Wir haben hier zwei Nullstellen gegeben und erhalten damit zwei Linearfaktoren:

$(x - x_1) = (x - (-0,5) = (x + 0,5)$

$(x - x_2) = (x - (-1)) = (x + 1)$

Wir haben die beiden Linearfaktoren der Funktion gegeben.

Schritt 4: Produktform aufstellen

Aus den Linearfaktoren können wir nun die Funktion in Produktform angegeben. Dazu müssen wir den Vorfaktor a = 2 zusätzlich betrachten. Wir multiplizieren nun Vorfaktor und Linearfaktoren miteinander:

$f(x) = 2 \cdot (x + 0,5) \cdot (x + 1)$ Funktion in Produktform

Wir haben die Linearfaktorzerlegung durchgeführt. Die Funktion liegt jetzt in ihrer Produktform vor.

In der obigen Grafik sehen wir die Funktion. An der Normalform können wir die Nullstellen nicht ablesen. Für die Berechnung der Nullstellen setzen wir die Funktion gleich Null (f(x) = 0) und berechnen die x-Werte. An der Produktform können wir die Nullstellen direkt ablesen. Wir müssen hierzu einfach so x-Werte einsetzen, dass die Klammern zu Null werden, denn dann nimmt die gesamte Funktion den Wert Null an. Die erste Klammer wird bei x = -0,5 zu Null, die zweite Klammer bei x = -1. Das sind, wie in der Grafik sichtbar, die Nullstellen der Funktion.

Schritt 5: Probe durchführen

Wir wollen im letzten Schritt überprüfen, ob wir die Linearfaktorzerlegung richtig durchgeführt haben. Deswegen führen wir die Probe durch, indem wir die Klammern auflösen:

$f(x) = 2 \cdot (x + 0,5) \cdot (x + 1)$

$f(x) = (2x + 1)\cdot (x + 1)$

$f(x) = (2x^2 + 2x + x +1)$

$f(x) = 2x^2 + 3x +1$

Es resultiert dieselbe Funktion in Normalform wie in der Aufgabenstellung angegeben. Damit haben wir die Linearfaktorzerlegung korrekt durchgeführt.

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