MA3 – Gebrochenrationale Funktion – Eigenschaften

Eine Funktion f(x), deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome p(x) und q(x) ist, wird als gebrochenrationale Funktion bezeichnet. Wir unterscheiden zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen.

In diesem Lerntext schauen wir uns an, was eine gebrochenrationale Funktion ist und welche Eigenschaften sie aufweist.

Dieser Lerntext ist ein Auzszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist nichts anderes als der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen p(x) und q(x):

$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ Gebrochenrationale Funktion

mit

$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... +a_1x + a_0$

$q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0$

Betrachten wir mal ein Beispiel für gebrochenrationale Funktionen:

$f(x) = \frac{5x^2 - 6x + 1}{2x^3 + 6x^2 - 7}$

Diese gebrochenrationale Funktion setzt sich zusammen aus einer quadratischen Funktion im Zähler und einer kubischen Funktion im Nenner.

Echt und unecht gebrochen rationale Funktionen

Betrachten wir gebrochenrationale Funktionen, so können wir echt gebrochen-rationale von unecht gebrochen-rationalen Funktionen unterscheiden. Dafür müssen wir den Grad des Zählers n und den Grad des Nenners m miteinander vergleichen.

Echt gebrochen-rationale Funktion

$n<m$ Zählergrad kleiner Nennergrad

Unecht gebrochen-rationale Funktion

$m<n$ Nennergrad kleiner Zählergrad

Betrachten wir hier zu mal zwei Beispiele:

$f(x) = \frac{0,6x^3 +5x^2 - 11}{x^5 + 3x - 5}$ Echt gebrochen-rationale Funktion

Hier ist der Zählergrad n = 3 und der Nennergrad m = 5. Damit gilt n<m und es liegt eine echt gebrochen rationale Funktion vor.

$f(x) = \frac{2x^4 - 6x + 5}{0,2x^3 + 4}$ Unecht gebrochen-rationale Funktion

Hier ist der Zählergrad n = 4 und der Nennergrad m = 3. Damit gilt m<n und es liegt eine unecht gebrochen rationale Funktion vor.

Polynomdivision

Bei einer unecht gebrochenen-rationalen Funktion kann die Funktion durch Anwendung der Polynomdivision in einen ganzrationalen Term und einen echt gebrochen-rationalen Term zerlegt werden.

Betrachten wir dazu ein Beispiel:

Gegeben sei die folgenden unecht gebrochenrationale Funktion:

$f(x) = \frac{2x^4 - 6x + 5}{0,2x^3 + 4}$

Zeige, dass diese Funktion in einen ganzrationalen Term und einen echt gebrochenrationalen Term zerlegt werden kann!

Wir wenden hier die Polynomdivision an:

Um die Polynomdivision anwenden zu können, musst du einfach den Zähler durch den Nenner teilen und hierbei die Polynomdivision anwenden. In dem folgenden Video erkläre ich dir, wie die Polynomdivision funktioniert.

In dem folgenden Video kannst du den Teil überspringen, bei dem ich die Nullstelle der Funktion suche. Wir haben den Teiler bereits gegeben (den Nenner). Für dich ist das Video ab Minute 4:58 relevant. Hier zeige ich die Durchführung der Polynomdivision.

Nachdem wir nun die Polynomdivision durchgeführt haben, siehst du, dass die folgende Funktion verbleibt:

$f(x) = 10x + \frac{-46x + 5}{0,2x^3 + 4}$

Diese Funktion setzt sich zusammen aus einer ganzrationalen Funktion (10x) und einer echt gebrochen-rationalen Funktion. Betrachten wir die gebrochen-rationale Funktion, so sehen wir, dass der Grad des Zählers n kleiner ist als der Grad des Nenners m. Damit gilt:

$n<m$ Echt gebrochen-rationale Funktion

Merk’s dir!

Ist der Zählergrad n größer als der Nennergrad m, so liegt eine unecht gebrochenrationale Funktion vor, die in einen ganzrationalen Anteil und einen echt gebrochenrationalen Anteil zerlegt werden kann.

Definitionsbereich: Gebrochenrationale Funktionen

Wir haben bereits ganzrationale Funktionen kennengelernt und wissen, dass diese für alle reellen Zahlen definiert sind. Bei gebrochenrationale Funktionen gehören nur die reellen Zahlen zum Definitionsbereich, für welche der Nenner q(x) nicht zu Null wird. Die Stelle bei welcher der Nenner zu Null wird (q(x) = 0) bezeichnen wir als Definitionslücken. An dieser Stelle bzw. an diesen Stellen ist die Funktion nicht definiert.

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

$f(x) = \frac{-4x + 5}{x^2 - 4}$

Für die obige gebrochenrationale Funktion ist der Definitionsbereich festzulegen. Dazu betrachten wir den Nenner der Funktion und schauen, wann dieser zu Null wird. In unserem Fall können wir also einfach die Nennerfunktion q(x) = 0 setzen und den x-Wert ermitteln:

$q(x) = x^2 - 4 = 0$ |nach x auflösen

$x^2 - 4 = 0$ |+4

$x^2 = 4$ |Wurzel

$x_{1,2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Setzen wir also x = 2 oder x = -2 in die Funktion ein, so wird der Nenner zu Null. Damit liegt hier eine Definitionslücke vor. Diese beiden x-Werte sind also nicht im Definitionsbereich enthalten. Damit gilt für den Definitionsbereich, dass dieser alle reellen Zahlen außer x = 2 und x = -2 enthält:

$D = \mathbb{R} \backslash \{2, -2\}$

In Worten: Der Definitionsbereich D umfasst alle reellen Zahlen ( $\mathbb R$ ), außer (\) die x-Werte 2 und -2.

In der obigen Grafik siehst du die Funktion eingezeichnet. Bei x = -2 und x = 2 liegen Definitionslücken vor, da hier die Nennerfunktion zu Null wird. Die Funktion nähert sich diesen x-Werten immer weiter an, ohne sie jemals zu schneiden. Damit sind bei x = -2 und x = 2 Asymptoten der Funktion gegeben. Diese sind in rot als eingezeichnet.

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