MA3 – Funktionsgleichung aufstellen – kubische Funktion

Wir wollen uns in dieser Lerneinheit anschauen, wie du die Funktionsgleichung aufstellen kannst, wenn bestimmte Eigenschaften einer Funktion gegeben sind. Eigenschaften einer Funktion können z. B. Wendepunkte, Nullstellen oder Extremwerte sein. Auch Tangenten, welche die Funktion berühren, können in der Aufgabenstellung gegeben sein.

Ziel ist es die Koeffizienten der Funktion zu ermitteln, indem ein lineares Gleichungssystem aus den gegeben Eigenschaften aufgestellt wird.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion. Er beinhaltet ein ausführliches Beispiel sowie ein Video zu dem Thema.

Beispiel: Funktionsgleichung aufstellen (Tangente, Schnittpunkt mit y-Achse, Steigung)

Gesucht ist eine Polynomfunktion f(x) 3. Grades, die bei x_g = -2 durch eine Tangente mit der Funktionsgleichung g(x) ) -8x – 15 berührt wird. Die Funktion f(x) schneidet die y-Achse bei y0 = 1. Dort beträgt die Steigung m = 16.

Bestimme die Funktionsgleichung f(x)!

Lösung im Video

Beispiel: Funktionsgleichung aufstellen (Nullstelle, Wendestelle, Tangente)

Betrachtet wird ein Polynom 3. Grades mit einer Nullstelle bei x₀ = 1 und einer Wendestelle bei x_w = -1. Gegeben sei außerdem die Wendetangente mit der Gleichung g(x) = −9x + 1.

Bestimme die Funktionsgleichung f(x)!

Funktionsgleichung aufstellen

Gesucht wird eine Funktion 3.Grades. Wir stellen zunächst die Funktionsgleichung in ihrer Normalform auf:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ Ausgangsfunktion

Ableitungen bilden

Wir bilden zunächst die 1. und 2. Ableitung (die 3. Ableitung ist bei einer kubischen Funktion nicht mehr von x-abhängig und damit nicht relevant):

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ 1.Ableitung

$f''(x) = 6ax + 2b$ 2.Ableitung

Die Nullstelle x₀ wird bei der Kurvendiskussion aus der Ausgangsfunktion bestimmt, indem diese gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst wird:

$f(x_0) = ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 + d = 0$

Die Wendestelle x_w wird bei der Kurvendiskussion aus der 2. Ableitung bestimmt, indem diese gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst wird:

$f''(x_w) = 6ax_w + 2b = 0$

Gleichungen aufstellen

Es müssen insgesamt n+1-Gleichungen, also 4-Gleichungen aufgestellt werden, um die 4 Koeffizienten a, b, c und d der kubischen Funktion zu berechnen.

Wir haben nun zwei Eigenschaften der Funktion gegeben. Zum einen die Nullstelle bei x₀ = 1 und zum anderen die Wendestelle bei x_w = -1.

Angaben zur Nullstelle

Die Nullstelle wird aus der Ausgangsfunktion bestimmt, indem diese gleich Null gesetzt wird. Wir setzen also die Nullstelle in die Ausgangsfunktion ein und setzen diese gleich Null:

$f(x_0 = 1) = a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c \cdot 1 + d = 0$

$a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c \cdot 1 + d = 0$

$a + b + c + d = 0$ Gleichung I

Angaben zur Wendestelle

Die Wendestelle wird aus der 2.Ableitung bestimmt, indem diese gleich Null gesetzt wird. Wir setzen also die Wendestelle in die 2.Ableitung ein und setzen diese gleich Null:

$f''(x_w = -1) = 6a \cdot (-1) + 2b = 0$

$-6a + 2b = 0$ Gleichung II

Angaben zur Wendetangente

Die Wendetangente g(x) = -9x+1 liegt – wie der Name bereits aussagt – an der Wendestelle bei x_w = -1 der Funktion f(x). Eine Wendetangente hat an dieser Stelle genau denselben Funktionswert und dieselbe Steigung wie die Funktion:

$f(x_w) = g(x_w)$ Gleicher Funktionswert an der Stelle

$f'(x_w) = g'(x_w)$ Gleiche Steigung an der Stelle

Wir setzen nun die Ausgangsfunktion und die Wendetangente gleich und setzen xw ein:

$a \cdot (-1)^3 + b \cdot (-1)^2 + c \cdot (-1) + d = -9 \cdot (-1) + 1$

$-a + b - c + d = 10$ Gleichung III

Hinweis: Wird eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenziert,
so bleibt die Potenz negativ. (-1)³ = -1³ = -1

Betrachten wir als nächstes die Steigung. Die Steigung an der Stelle x_w = -1 entspricht der Steigung der Wendetangente an dieser Stelle. Die Steigung ist nichts anderes als die 1.Ableitung der Funktionen. Diese setzen wir gleich:

$f'(x_w) = g'(x_w)$

mit

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$g'(x) = -9$

Wir setzen die beiden Ableitungen gleich und setzen die Stelle x_w = -1 sein:

$3a \cdot x_w^2 + 2b \cdot x_w + c = -9$

$3a \cdot (-1)^2 + 2b \cdot (-1) + c = -9$

$3a - 2b + c = -9$ Gleichung IV

Wir haben insgesamt 4 Gleichungen aufgestellt, um die 4 unbekannten Koeffizienten zu berechnen.

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Aus den aufgestellten Gleichungen können wir jetzt ein lineares Gleichungssystem aufstellen, indem wir die Gleichungen untereinander schreiben. Dabei setzen wir das Gleichheitszeichen für alle Gleichungen einheitlich auf die rechte Seite:

(1)	a	+	b	+	c	+	d	=	0
(2)	-6a	+	2b					=	0
(3)	-a	+	b	–	c	+	d	=	10
(4)	3a	–	2b	+	c			=	-9

Wir können das obige lineare Gleichungssystem mit einem beliebigen Verfahren lösen. Wir wenden hier die Additions- und Subtraktionsverfahren für lineare Gleichungssysteme so an, dass wir am Ende alle Koeffizienten berechnen können.

Betrachten wir die obigen Gleichungen, so können wir zum Beispiel die Variable d eliminieren, indem wir Gleichung (1) minus Gleichung (3) rechnen, da dann die Variable d wegfällt. Die anderen beiden Gleichungen weisen diese Variable nicht auf:

(1)	a	+	b	+	c	+	d	=	0
– (3)	-a	+	b	–	c	+	d	=	10
= (5)	2a			+	2c			=	-10

Wir haben nun eine neue Gleichung erhalten, in welche die Variable d nicht mehr vorkommt. Das neue Gleichungssystem ergibt sich wie folgt:

(2)	-6a	+	2b			=	0
(4)	3a	–	2b	+	c	=	-9
(5)	2a			+	2c	=	-10

Als nächstes können wir die Variable 2b entfernen, indem wir die Gleichung (2) plus Gleichung (4) rechnen:

(2)	-6a	+	2b			=	0
+ (4)	3a	–	2b	+	c	=	-9
= (6)	-3a			+	c	=	-9

Es ergibt sich als neues Gleichungssystem:

(5)	2a	+	2c	=	-10
(6)	-3a	+	c	=	-9

Wir wollen weiterhin das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren anwenden. Das ist möglich, wenn wir die gesamte Gleichung (5) durch 2 dividieren. Dann erhalten wir für 2c = c und wir können hier wieder das Additionsverfahren anwenden:

(5):2

-5

Wir können nun Gleichung (5) minus (6) rechnen, so dass c wegfällt:

(5)	a	+	c	=	-5
– (6)	-3a	+	c	=	-9
= (7)	4a			=	4

Wir können nun beginnen die Koeffizienten zu berechnen. Aus der Gleichung (7) können wir a berechnen:

(7) $4a = 4$ |:4

$a = 1$

Aus der Gleichung (6) mit a = 1 können wir c berechnen:

(6) $-3a + c = -9$ |a = 1 einsetzen

$-3 \cdot 1 + c= -9$

$-3 + c = -9$ |+3

$c= -6$

Aus der Gleichung (4) können wir mit a = 1 und c = -6 den Koeffizienten b berechnen:

(4) $3a-2b+c=-9$

$3 \cdot 1 - 2b - 6 = -9$

$3 - 2b - 6 = -9$ |+6 |-3

$-2b = -6$ |:(-2)

$b = 3$

Aus der Gleichung (1) können wir mit a = 1, b = 3 und c = -6 den Koeffizienten d berechnen:

(1) $a + b + c + d = 0$

$1 + 3 - 6 + d = 0$

$-2 + d = 0$ |+2

$d = 2$

Wir haben alle Koeffizienten berechnet und können nun die Funktionsgleichung aufstellen:

$f(x) = x^3+ 3x^2 - 6x + 2$ Funktionsgleichung

Die Funktion sieht wie folgt aus:

Funktionsgleichung aufstellen, Nullstelle, Wendepunkt, Tangente

In der Aufgabenstellung war der Grad der Funktion (n = 3) sowie der die Nullstelle x₀ = 1, die Wendestelle x_w = -1 sowie die Wendetangente (Tangente an der Wendestelle) mit g(x) = -9x+1 gegeben. Aus diesen Eigenschaften haben wir die Funktionsgleichung ermittelt.

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