Extremwerte bestimmen [mit Videos und Beispiel]

Die Extremwerte einer Funktion sind nichts anderes, als der höchste und tiefste Punkt der Funktion. Häufig wird auch vom Maximum und Minimum der Funktion gesprochen.

In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie du die Extremwerte bestimmen kannst. Dazu betrachten wir eine kubische Funktion.

Vorgehensweise: Extremwerte

Zur Bestimmung der Extremwerte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung und die 2. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Extremwerte allgemein bestimmt werden.

Extremwerte bestimmen

Bilde die 1. Ableitung der Funktion und setze diese gleich Null: f'(x) = 0
Löse die 1. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist ein Minimum oder Maximum gegeben.
Bilde die 2. Ableitung der Funktion. Setze den in 2. ermittelten x-Wert in die 2. Ableitung ein.
Ist der Wert größer Null, so liegt ein Minimum vor: f”(x) > 0 (Minimum)
Ist der Wert kleiner Null, so liegt ein Maximum vor: f”(x) < 0 (Maximum)
Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

Videos: Extremwerte bei kubischen Funktionen

Zum besseren Verständnis der Vorgehensweise schauen wir uns ein Beispiel an.

Vorgehensweise: Extremwerte bestimmen

Gegeben sei die folgende kubische Funktion:

$f(x) = x^3 - 6x^2 - x + 6$

Bestimme die Extremwerte der Funktion!

1.Ableitung bilden und nach x auflösen

Wir starten mit der 1. Ableitung der Funktion:

$f'(x) = 3x^2 - 12x - 1$

Um einen Extremwert zu finden, muss die erste Ableitung gleich Null gesetzt werden. Die 1. Ableitung ist nichts anderes als die Steigung der Funktion. Ist ein Extremwert gegeben, so ist in diesem Punkt die Ableitung gleich Null.

Wir setzen die 1.Ableitung gleich Null und lösen nach x auf:

$3x^2 - 12x - 1 = 0$

Da wir eine quadratische Funktion gegeben haben, können wir die x-Werte mittels p/q-Formel oder Mitternachtsformel berechnen.

p/q-Formel

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Bei der Anwendung der p/q-Formel muss a = 1 sein. Da a = 3 gegeben ist, müssen wir die Funktion noch durch 3 teilen:

$3x^2 - 12x - 1 = 0$ |:3

$x^2 - 4x - \frac{1}{3} = 0$

Damit ergibt sich p = -4 und q = -1/3.

Wir berechnen als nächstes die x-Werte der 1-Ableitung:

$x_{1,2} = -\frac{(-4)}{2} \pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2 - (-\frac{1}{3})}$

$x_{1,2} = \frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2 + \frac{1}{3}}$

$x_{1} = \frac{4}{2} + \sqrt{(\frac{-4}{2})^2 + \frac{1}{3}} = 4,08$

$x_{2} = \frac{4}{2} - \sqrt{(\frac{-4}{2})^2 + \frac{1}{3}} = -0,08$

An diesem Stellen liegen gegebenenfalls Extremwerte vor. Um herauszufinden, ob ein Maximum oder Minimum gegeben ist, müssen wir die beiden ermittelten x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen.

2.Ableitung bilden

Wir bilden die 2. Ableitung der Funktion. Dazu leitest du einfach die 1. Ableitung ab:

$f'(x) = 3x^2 - 12x - 1$

$f''(x) = 6x - 12$

Bei kubischen Funktionen ergibt sich bei der 2. Ableitung immer eine Funktion in Abhängigkeit von x. Um herauszufinden, ob ein Maximum oder Minimum gegeben ist, müssen wir als nächstes die ermittelten x-Werte einsetzen.

$f''(x = 4,08) = 6 \cdot 4,08 - 12 = 12,48$ > 0 ⇒ Minimum

$f''(x = -0,08) = 6 \cdot (-0,08) - 12 = -12,48$ < 0 ⇒ Maximum

Bei x = 4,08 ist ein Minimum gegeben, da die 2.Ableitung größer Null ist. Bei x = -0,08 ist ein Maximum gegeben, da die 2.Ableitung kleiner Null ist.

Funktionswert berechnen

Wir müssen nun noch herausfinden, wie der dazugehörige y-Wert für das Minimum und Maximum aussieht. Dazu setzen wir den ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion ein:

$f(x = 4,08) = 4,08^3 - 6 \cdot 4,08^2 - 4,08 + 6 = -30,04$

$f(x = -0,08) = (-0,08)^3 - 6 \cdot (-0,08)^2 - (-0,08) + 6 = 6,04$

Wir können jetzt den Punkt des Minimums (=Tiefpunkt) und des Maximums (=Hochpunkt) angeben:

T(4,08 | -30,04)

H(-0,08 | 6,04)

In der folgenden Grafik sieht du die Funktion mit Hoch- und Tiefpunkt sowie den Nullstellen, die wir im vorangegangenen Abschnitt bestimmt haben:

Erläuterung zu den Hoch- und Tiefpunkten:

Merk’s dir!

Vor einem Hochpunkt steigt die Funktion an (positive Steigung), danach fällt sie ab (negative Steigung).
Vor einem Tiefpunkt fällt die Funktion (negative Steigung), danach steigt die Funktion an (positive Steigung).
Dort wo Hoch- oder Tiefpunkte gegeben sind, ist die Steigung der Funktion gleich Null (es liegt dort keine Steigung vor).
Ist die 2. Ableitung nach Einsetzen der x-Werte gleich Null (=0), so liegt kein Extremwert, sondern ein Sattelpunkt vor.

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