MA3- Extremwerte bei verschachtelten e-Funktionen

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In dieser Lerneinheit unseres Onlinekurses Ma3-Kurvendiskussion, wollen wir uns anschauen, wie die Extremwerte allgemein bestimmt und werden und betrachten dann ein Beispiel für die Berechnung der Extremwerte bei e-Funktionen bzw. bei verschachtelten e-Funktionen.

Die Extremwerte einer Funktion sind nichts anderes, als der höchste und tiefste Punkt der Funktion. Häufig wird auch vom Maximum und Minimum der Funktion gesprochen.

 

Extremwerte ermitteln


Zur Bestimmung der Extremwerte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung und die 2. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Extremwerte allgemein bestimmt werden.

 

Extremwerte bestimmen

  1. Bilde die 1. Ableitung der Funktion und setze diese gleich Null: f'(x) = 0
  2. Löse die 1. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist möglicherweise ein Minimum oder Maximum gegeben.
  3. Bilde die 2. Ableitung der Funktion. Setze den in 2. ermittelten x-Wert in die 2. Ableitung ein.
    Ist der Wert größer Null, so liegt ein Minimum vor: f”(x) > 0 (Minimum)
    Ist der Wert kleiner Null, so liegt ein Maximum vor: f”(x) < 0 (Maximum)
    Ist der Wert gleich Null, so liegt kein Extremwert vor.
  4. Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

 

Vorgehensweise: Extremwerte bei e-Funktionen bestimmen

Extremwerte bei e-Funktionen, Extremwerte, e-Funktion, Exponentialfunktion

In der obigen Grafik siehst du die Extremwerte einer verschachtelten e-Funktion eingezeichnet. Bei x = -2 ist ein Maximum gegeben und bei x = 1 ein Minimum

Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du die obigen Extremwerte rechnerisch ermittelst.

 

Gegeben sei die folgende Funktion:

f(x) = \frac{1}{4} e^{2x} \cdot (x^2 - 2)

Bestimme die Extremwerte der Funktion!

 

1.Ableitung bilden und nach x auflösen


Wir bilden die 1.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

f(x) = u(x) \cdot v(x)

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

 

Für unsere Funktion gilt:

u(x) = x^2 - 2

v(x) = \frac{1}{4} e^{2x}

 

Ableiten:

u'(x) = 2x

Die e-Funktion leiten wir mittels Kettenregel ab. Dazu leiten wir den Exponenten 2x ab und multiplizieren diesen mit der gegebenen e-Funktion:

(2x)' = 2

v'(x) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot e^{2x} = \frac{1}{2} e^{2x} 

 

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

f'(x) =2x\cdot \frac{1}{4} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{2x}\cdot (x^2 - 2)

f'(x) =\frac{1}{2}x \cdot e^{2x} + \frac{1}{2} e^{2x}\cdot (x^2 - 2)

 

Wir klammern die e-Funktion aus:

f'(x) = e^{2x}[\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}(x^2 - 2)]

f'(x) = e^{2x}(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x^2 - 1) 

 

Es ergibt sich:

f'(x) = e^{2x}(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1)      1.Ableitung

 

Wir setzen nun die 1.Ableitung gleich Null und lösen diese nach x auf.

e^{2x}(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1) = 0

 

Wir können nun die obige Gleichung nach x auflösen. Wir wenden hier wieder den Satz vom Nullprodukt an.

 Der “Satz vom Nullprodukt” besagt, dass die Faktoren eines Produktes einzeln auf Nullstellen untersucht werden können.

Wir haben hier ein Produkt aus zwei Faktoren gegeben. Zum Einen die e-Funktion, zum Anderen die Klammer:

Merk’s dir!

e^{2x} \neq 0 

Die e-Funktion nimmt nie den Wert Null an, schneidet also nie die x-Achse. Hier können wir also keine Nullstelle der 1.Ableitung ermitteln.

\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1 = 0

 

Wir lösen nun die quadratische Gleichung in der Klammer nach x auf. Dazu verwenden wir die Mitternachtsformel:

 

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Hierbei gilt: ax² + bx + c

 

Für unser Beispiel gilt:

a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}, c = -1

 

Einsetzen in die Mitternachtsformel:

x_{1,2} = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

x_{e1} = \frac{-\frac{1}{2} + \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1)}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1

x_{e2} = \frac{-\frac{1}{2} - \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1)}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -2

 

Wir haben möglicherweise Extremwerte bei xe1 = 1 und xe2 = -2 gegeben. Um das zu überprüfen benötigen wir die 2. Ableitung.

 

2.Ableitung bilden und x-Werte einsetzen


Wir bilden aus der 1.Ableitung die 2.Ableitung:

f'(x) = e^{2x}(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1) 

 

Wir bilden die 2.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

f(x) = u(x) \cdot v(x)

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

 

Für unsere Funktion gilt:

u(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1

v(x) = e^{2x}

 

Ableiten:

u'(x) = x + \frac{1}{2}

Die e-Funktion leiten wir mittels Kettenregel ab. Dazu leiten wir den Exponenten 2x ab und multiplizieren diesen mit der gegebenen e-Funktion:

(2x)' = 2

v'(x) = 2 \cdot e^{2x} 

 

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)

f'(x) = (x + \frac{1}{2}) \cdot e^{2x} + 2 \cdot e^{2x}\cdot (\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1)

 

Wir klammern die e-Funktion aus:

f'(x) = e^{2x}[(x + \frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1)]

f'(x) = e^{2x}[x + \frac{1}{2} + x^2 + x - 2] 

 

Es ergibt sich:

f''(x) = e^{2x}(x^2 + 2x - 1,5)       2.Ableitung

 

Wir können nun die ermittelten x-Werte aus der 1.Ableitung einsetzen:

f''(x = 1) = e^{2 \cdot 1}(1^2 + 2 \cdot 1 - 1,5) = 1,5e^2 > 0       Minimum

f''(x = -2) = e^{2 \cdot (-2)}((-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 1,5) = -1,5e^{-4} = -1,5\frac{1}{e^4} < 0     Maximum

 

3. Extrempunkt bestimmen


Wir wissen nun also, dass bei x = 1 ein Minimum und bei x = -2 ein Maximum gegeben ist. Um nun den Punkt angegeben zu können, benötigen wir den Funktionswert. Dazu setzen wir die ermittelten Extremwerte in die Ausgangsfunktion ein:

f(x = 1) = \frac{1}{4} e^{2 \cdot 1} \cdot (1^2 - 2) = -\frac{1}{4}e^2

f(x = -2) = \frac{1}{4} e^{2 \cdot (-2)} \cdot ((-2)^2 - 2) = \frac{1}{2} e^{-4} = \frac{1}{2e^4}

 

Wir haben demnach die beiden folgenden Extrempunkte gegeben:

H(-2 | \frac{1}{2e^4})

T(1 | -\frac{1}{4}e^2)

Die Extrempunkte sind gegeben bei:

H(-2 | \frac{1}{2e^4})

T(1 | -\frac{1}{4}e^2)

Wir haben die Extrempunkte der e-Funktion ermittelt.



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