MA3 – Extremwerte bei verschachtelten e-Funktionen

In dieser Lerneinheit unseres Onlinekurses Ma3-Kurvendiskussion, wollen wir uns anschauen, wie die Extremwerte allgemein bestimmt und werden und betrachten dann ein Beispiel für die Berechnung der Extremwerte bei e-Funktionen bzw. bei verschachtelten e-Funktionen.

Die Extremwerte einer Funktion sind nichts anderes, als der höchste und tiefste Punkt der Funktion. Häufig wird auch vom Maximum und Minimum der Funktion gesprochen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Extremwerte bei e-Funktionen | Grundlagen

Extremwerte bei e-Funktionen?

Das Bestimmen von Extremwerten bei e-Funktionen (Exponentialfunktionen) ist eine wesentliche Aufgabe in der mathematischen Analyse. Extremwerte sind Punkte, an denen eine Funktion ihre höchsten oder niedrigsten Werte erreicht. Bei e-Funktionen ist es besonders interessant zu sehen, wie diese Werte ermittelt werden, da Exponentialfunktionen oft in Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik vorkommen.

Grundprinzipien

Definition von Extremwerten:
- Lokale Extremwerte: Ein Punkt $x_0$ ist ein lokales Maximum, wenn $f(x_0) \ge f(x)$ für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ . Ein Punkt $x_0$ ist ein lokales Minimum, wenn $f(x_0) \le f(x)$ für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ .
- Globale Extremwerte: Ein Punkt $x_0$ ist ein globales Maximum, wenn $f(x_0) \ge f(x)$ für alle $x$ im Definitionsbereich. Ein Punkt $x_0$ ist ein globales Minimum, wenn $f(x_0) \le f(x)$ für alle $x$ im Definitionsbereich.
Schritte zur Bestimmung von Extremwerten:
- Berechne die erste Ableitung $f'(x)$ der Funktion.
- Setze die erste Ableitung gleich null, um kritische Punkte zu finden.
- Überprüfe das Vorzeichen von $f'(x)$ vor und nach den kritischen Punkten, um festzustellen, ob es sich um Maxima oder Minima handelt.
- Verwende die zweite Ableitung $f''(x)$ , um die Natur der kritischen Punkte weiter zu analysieren: $f''(x_0) > 0$ weist auf ein Minimum hin, $f''(x) < 0$ auf ein Maximum.

Extremwerte ermitteln

Zur Bestimmung der Extremwerte von Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung und die 2. Ableitung der Funktion. Schauen wir uns mal an, wie die Extremwerte allgemein bestimmt werden.

Extremwerte bestimmen

Bilde die 1. Ableitung der Funktion und setze diese gleich Null: f'(x) = 0
Löse die 1. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist möglicherweise ein Minimum oder Maximum gegeben.
Bilde die 2. Ableitung der Funktion. Setze den in 2. ermittelten x-Wert in die 2. Ableitung ein.
Ist der Wert größer Null, so liegt ein Minimum vor: f”(x) > 0 (Minimum)
Ist der Wert kleiner Null, so liegt ein Maximum vor: f”(x) < 0 (Maximum)
Ist der Wert gleich Null, so liegt kein Extremwert vor.
Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

Vorgehensweise: Extremwerte bei e-Funktionen bestimmen

Extremwerte bei e-Funktionen, Extremwerte, e-Funktion, Exponentialfunktion

In der obigen Grafik siehst du die Extremwerte einer verschachtelten e-Funktion eingezeichnet. Bei x = -2 ist ein Maximum gegeben und bei x = 1 ein Minimum.

Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du die obigen Extremwerte rechnerisch ermittelst.

Gegeben sei die folgende Funktion:

$f(x) = \frac{1}{4} e^{2x} \cdot (x^2 - 2)$

Bestimme die Extremwerte der Funktion!

Erste Ableitung bilden und nach x auflösen

Wir bilden die 1.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

$f(x) = u(x) \cdot v(x)$

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)$

Für unsere Funktion gilt:

$u(x) = x^2 - 2$

$v(x) = \frac{1}{4} e^{2x}$

Ableiten:

$u'(x) = 2x$

Die e-Funktion leiten wir mittels Kettenregel ab. Dazu leiten wir den Exponenten $2x$ ab und multiplizieren diesen mit der gegebenen e-Funktion:

$(2x)' = 2$

$v'(x) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot e^{2x} = \frac{1}{2} e^{2x}$

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)$

$f'(x) =2x\cdot \frac{1}{4} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{2x}\cdot (x^2 - 2)$

$f'(x) =\frac{1}{2}x \cdot e^{2x} + \frac{1}{2} e^{2x}\cdot (x^2 - 2)$

Wir klammern die e-Funktion aus:

$f'(x) = e^{2x}[\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}(x^2 - 2)]$

$f'(x) = e^{2x}(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x^2 - 1)$

Es ergibt sich:

$f'(x) = e^{2x}(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1)$ 1.Ableitung

Wir setzen nun die 1.Ableitung gleich Null und lösen diese nach x auf.

$e^{2x}(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1) = 0$

Wir können nun die obige Gleichung nach x auflösen. Wir wenden hier wieder den Satz vom Nullprodukt an.

Der “Satz vom Nullprodukt” besagt, dass die Faktoren eines Produktes einzeln auf Nullstellen untersucht werden können.

Wir haben hier ein Produkt aus zwei Faktoren gegeben. Zum Einen die e-Funktion, zum Anderen die Klammer:

Merk’s dir!

$e^{2x} \neq 0$

Die e-Funktion nimmt nie den Wert Null an, schneidet also nie die x-Achse. Hier können wir also keine Nullstelle der 1.Ableitung ermitteln.

$\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1 = 0$

Wir lösen nun die quadratische Gleichung in der Klammer nach x auf. Dazu verwenden wir die Mitternachtsformel:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Hierbei gilt: ax² + bx + c

Für unser Beispiel gilt:

$a = \frac{1}{2}$ , $b = \frac{1}{2}$ , $c = -1$

Einsetzen in die Mitternachtsformel:

$x_{1,2} = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$

$x_{e1} = \frac{-\frac{1}{2} + \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1)}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$

$x_{e2} = \frac{-\frac{1}{2} - \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1)}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -2$

Wir haben möglicherweise Extremwerte bei x_e1 = 1 und x_e2 = -2 gegeben. Um das zu überprüfen benötigen wir die 2. Ableitung.

Zweite Ableitung bilden und x-Werte einsetzen

Wir bilden aus der 1.Ableitung die 2.Ableitung:

$f'(x) = e^{2x}(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1)$

Wir bilden die 2.Ableitung, indem wir die Produktregel anwenden:

$f(x) = u(x) \cdot v(x)$

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)$

Für unsere Funktion gilt:

$u(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1$

$v(x) = e^{2x}$

Ableiten:

$u'(x) = x + \frac{1}{2}$

Die e-Funktion leiten wir mittels Kettenregel ab. Dazu leiten wir den Exponenten $2x$ ab und multiplizieren diesen mit der gegebenen e-Funktion:

$(2x)' = 2$

$v'(x) = 2 \cdot e^{2x}$

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)$

$f'(x) = (x + \frac{1}{2}) \cdot e^{2x} + 2 \cdot e^{2x}\cdot (\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1)$

Wir klammern die e-Funktion aus:

$f'(x) = e^{2x}[(x + \frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1)]$

$f'(x) = e^{2x}[x + \frac{1}{2} + x^2 + x - 2]$

Es ergibt sich:

$f''(x) = e^{2x}(x^2 + 2x - 1,5)$ 2.Ableitung

Wir können nun die ermittelten x-Werte aus der 1.Ableitung einsetzen:

$f''(x = 1) = e^{2 \cdot 1}(1^2 + 2 \cdot 1 - 1,5) = 1,5e^2 > 0$ Minimum

$f''(x = -2) = e^{2 \cdot (-2)}((-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 1,5) = -1,5e^{-4} = -1,5\frac{1}{e^4} < 0$ Maximum

Extrempunkt bestimmen

Wir wissen nun also, dass bei x = 1 ein Minimum und bei x = -2 ein Maximum gegeben ist. Um nun den Punkt angegeben zu können, benötigen wir den Funktionswert. Dazu setzen wir die ermittelten Extremwerte in die Ausgangsfunktion ein:

$f(x = 1) = \frac{1}{4} e^{2 \cdot 1} \cdot (1^2 - 2) = -\frac{1}{4}e^2$

$f(x = -2) = \frac{1}{4} e^{2 \cdot (-2)} \cdot ((-2)^2 - 2) = \frac{1}{2} e^{-4} = \frac{1}{2e^4}$

Wir haben demnach die beiden folgenden Extrempunkte gegeben:

$H(-2 | \frac{1}{2e^4})$

$T(1 | -\frac{1}{4}e^2)$

Extrempunkte

Die Extrempunkte sind gegeben bei:

$H(-2 | \frac{1}{2e^4})$

$T(1 | -\frac{1}{4}e^2)$

Wir haben die Extrempunkte der e-Funktion ermittelt.

Anwendung der Extremwertanalyse

Mathematik: Optimierung und Funktionsanalyse.
Wirtschaft: Maximierung von Gewinn oder Minimierung von Kosten.
Naturwissenschaften: Analyse von Wachstumsprozessen und Zerfallsprozessen.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was sind Extremwerte?

Extremwerte sind Punkte, an denen eine Funktion ihre höchsten (Maximum) oder niedrigsten (Minimum) Werte erreicht.

2. Wie findet man Extremwerte bei e-Funktionen?

Durch Berechnung der ersten und zweiten Ableitungen und Überprüfung der Bedingungen für Maxima und Minima.

3. Warum sind Extremwerte wichtig?

Sie helfen, das Verhalten und die Struktur von Funktionen zu verstehen und sind in vielen Bereichen wie Optimierung, Wirtschaft und Naturwissenschaften von Bedeutung.

4. Was ist der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremwerten?

Lokale Extremwerte sind die höchsten oder niedrigsten Werte in einer Umgebung, während globale Extremwerte die höchsten oder niedrigsten Werte im gesamten Definitionsbereich der Funktion sind.

5. Kann eine e-Funktion mehr als ein Extremwert haben?

Ja, insbesondere modifizierte e-Funktionen können mehrere lokale Maxima und Minima haben.

Zusammenfassung

Die Bestimmung von Extremwerten bei e-Funktionen erfordert die Berechnung der ersten und zweiten Ableitungen sowie die Überprüfung der kritischen Punkte. Diese Methode ist in Mathematik, Wirtschaft und Naturwissenschaften von großer Bedeutung und hilft, das Verhalten und die Struktur von Funktionen präzise zu verstehen. Exponentialfunktionen wie $f(x) = e^x$ und ihre Modifikationen spielen eine zentrale Rolle bei der Modellierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen, was ihre Analyse besonders relevant macht.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie Ableiten mit der Produktregel abläuft.

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