MA3 – Eigenschaften von Exponentialfunktionen

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Eine Exponentialfunktion zeichnet sich dadurch aus, dass der Exponent eine Variable ist und die Basis eine feste Größe. Eine Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen, da sie sich der x-Achse immer weiter annähert, ohne sie jedoch zu schneiden. 

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, welchen Aufbau und welche Eigenschaften eine Exponentialfunktion aufweist.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

 

Aufbau Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion weist die folgende Form auf:

 

f(x) = b \cdot a^x      Exponentialfunktion

mit

a > 0

a \neq 1

b \neq 0

Hierbei ist a die Basis. Die Basis a ist eine positive von Null verschiedene reelle Zahl  und ungleich 1. Der Faktor b ist eine beliebige von Null verschiedene reelle Zahl.

 

Bei Exponentialfunktionen ist der Exponent x die Variable und die Basis a ein fest vorgegebener Wert.

 

Beispiele für Exponentialfunktionen

Beispiel!

f(x) = 2^x   Hier ist b = 1 und a = 2.

f(x) = 2,3 \cdot 5^x    Hier ist b = 2,3 und a = 5.

f(x) = -1,8 \cdot 0,5^x     Hier ist b = -1,8 und a = 0,5.

 

Beispiele für keine Exponentialfunktionen

Beispiel!

f(x) = (-2)^x   Hier ist b = 1 und a = -0,5.

Die Basis a der Exponentialfunktion muss positiv und größer als Null sein. In diesem Beispiel ist sie negativ. Für x = 0,5 ist die Funktion beispielsweise nicht definiert:

(-2)^{0,5} = (-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}

Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert. Deswegen dürfen Exponentialfunktionen als Basis nur positive reelle Zahlen (außer Null) aufweisen.

 

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

  • Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen \mathbb{R}.
  • Der Wertebereich sind alle positiven reellen Zahlen \mathbb{R}^+, wenn b > 0 ist und alle negativen reellen Zahlen \mathbb{R}^-, wenn b < 0 ist. 
  • Die Funktion schneidet die y-Achse bei dem Faktor b.
  • Exponentialfunktionen schneiden die x-Achse nicht (keine Nullstellen), sondern haben die x-Achse als Asymptote. Die Exponentialfunktion nähert sich also der x-Achse immer weiter an, schneidet diese aber nie.

Schauen wir uns dazu mal die folgende Grafik an:

Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Eigenschaften von Exponentialfunktionen

 

In der obigen Grafik siehst du die Exponentialfunktion f(x) = 2 \cdot 0,4^x. Hierbei ist b = 2 und gleichzeitig der Schnittpunkt mit der y-Achse. Alle Exponentialfunktionen haben die x-Achse als Asymptote, d.h. sie nähern sich der x-Achse immer weiter an, jedoch ohne sie zu schneiden. Damit liegen für Exponentialfunktionen auch keine Nullstellen vor. Der Wertebereich der obigen Exponentialfunktion sind alle positiven reellen Zahlen, d.h. der Funktionswert ist für alle x immer positiv. Das können wir auch an dem Faktor b erkennen. Ist dieser größer als Null, so befindet sich die Exponentialfunktion oberhalb der x-Achse.

In der nachfolgenden Grafik betrachten wir eine andere Exponentialfunktion:

Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Eigenschaften von Exponentialfunktionen

 

In der obigen Grafik siehst du die Exponentialfunktion f(x) = -2 \cdot 0,8^x. Hierbei ist b = -2 und gleichzeitig der Schnittpunkt mit der y-Achse. Alle Exponentialfunktionen haben die x-Achse als Asymptote, d.h. sie nähern sich der x-Achse immer weiter an, jedoch ohne sie zu schneiden. Damit liegen für Exponentialfunktionen auch keine Nullstellen vor. Der Wertebereich der obigen Exponentialfunktion sind alle negativen reellen Zahlen, d.h. der Funktionswert (y-Wert) ist für alle x immer negativ. Das können wir auch an dem Faktor b erkennen. Ist dieser kleiner als Null, so befindet sich die Exponentialfunktion unterhalb der x-Achse.

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