MA3 – Ableitung mittels Produktregel [Grundlagen, Beispiele, Tipps]

In diesem Kursabschnitt befassen wir und ausführlich mit der Produktregel. Du erlernst, was die Kettenregel ist, wann du diese anwenden musst und wie diese funktioniert.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Produktregel | Grundlagen

Die Produktregel wird gebraucht, wenn eine Funktion, die aus einem Produkt mit zwei Faktoren besteht, abgeleitet werden soll. Dazu werden die zwei gegebenen Faktoren der Funktion zu eigenen Teilfunktionen u(x) und v(x). Für diese Teilfunktionen kannst du dann die Ableitungen u'(x) und v'(x) vornehmen. Mit der Produktregel erhältst du dann aus diesen Angaben die Ableitung f'(x) der gesamten Funktion .

Was ist die Produktregel?

Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung, die es ermöglicht, die Ableitung eines Produkts von zwei Funktionen zu berechnen. Diese Regel ist unverzichtbar, wenn Funktionen multipliziert werden und ihre Ableitungen bestimmt werden sollen.

Grundprinzipien

Produkt zweier Funktionen: Wenn $u(x)$ und $v(x)$ zwei differenzierbare Funktionen sind, dann ist das Produkt $y = u(x) \cdot v(x)$ .
Die Produktregel: Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen durch die Summe der Produkte der Ableitungen jeder Funktion und der jeweils anderen Funktion gegeben ist:
$\frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x) ] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Produktregel: Formel

Zunächst betrachtest du die Ausgangsfunktion f(x) mit ihren beiden Faktoren u(x) und v(x):

Ausgangsfunktion

$f(x) = u(x) \cdot v(x)$

BEISPIEL mit Funktion aus zwei Faktoren

Beispiel!

$f(x) = 5x \cdot (1-x^2)$

Wir haben hier eine Funktion gegeben, die aus zwei Faktoren besteht. Zum einen die lineare Funktion u(x) = 5x und zum die quadratische Funktion v(x) = (1-x²) innerhalb der Klammer. Beide Funktionen sind durch ein Multiplikationszeichen voneinander getrennt. Damit liegt die Funktion als Produkt vor und wir können hier die Produktregel anwenden.

Wir können hier die Produktregel anwenden, um die gesamte Funktion abzuleiten.

Die Produktregel lautet wie folgt:

Produktregel

$f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)$

BEISPIEL mit Ableitung der Funktionen

Beispiel!

Wir betrachten weiterhin das obige Beispiel. u(x) und v(x) haben wir bereits innerhalb der Ausgangsfunktion gegeben. Als nächstes bilden wir die Ableitungen der beiden Funktionen:

$u(x) = 5x \; \rightarrow \; u'(x) = 5$

$v(x) = 1-x^2 \; \rightarrow \; v'(x) = -2x$

Wir können nun die Produktregel anwenden:

$f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)$

Einsetzen der Teilfunktionen und Ableitungen:

$f'(x) = 5x \cdot (-2x) + (1-x^2) \cdot 5$

Zusammenfassen:

$f'(x) = -10x^2 + (5-5x^2)$

$f'(x) = -10x^2 + 5 - 5x^2$

$f'(x) = -15x^2 + 5$

Merk’s dir!

In diesem einfachen Beispiel können wir natürlich einfach die Klammer der Ausgangsfunktion ausmultiplizieren und dann die Ableitung bilden (ohne Produktregel):

$f(x) = 5x \cdot (1-x^2) = 5x - 5x^3$

$f'(x) = 5-15x^2$

Das Ergebnis ist in diesem Beispiel schneller, als bei Anwendung der Produktregel. Später betrachten wir aber e-Funktionen und ln-Funktionen und hier ist es unumgänglich die Produktregel zu verwenden:

$f(x) = e^{5x} \cdot (1-x^2)$

Wie für diese Funktion unter Anwendung der Produktregel die Ableitung gebildet wird, erfährst du in einer späteren Lektion dieses Kurses.

Anwendungsbeispiel: Produktregel

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Funktion:

$f(x) = 2x^5 \cdot (3x^7 - 5x)$

Bestimme die Ableitung unter Anwendung der Produktregel!

Lösung

Wir haben eine Funktion gegeben, die als Produkt vorliegt und aus zwei Faktoren besteht (das Multiplikationszeichen trennt die beiden Faktoren voneinander):

$u(x) = 2x^5$

$v(x) = 3x^7 - 5x$

Wir bilden nun die Ableitungen der beiden Teilfunktionen:

$u'(x) = 10x^4$

$v'(x) = 21x^6 - 5$

Als nächstes wenden wir die Produktregel an:

$f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)$

Einsetzen der Teilfunktionen und Ableitungen:

$f'(x) = 2x^5 \cdot (21x^6 - 5) + (3x^7 - 5x) \cdot 10x^4$

Zusammenfassen:

$f'(x) = (42x^{11} - 10x^5) + (30x^{11} - 50x^5)$

$f'(x) = 42x^{11} - 10x^5 + 30x^{11} - 50x^5$

$f'(x) = 72x^{11} - 60x^5$

Auch hier ist es natürlich möglich die Ableitung ohne Produktregel vorzunehmen, indem wir einfach die Klammer der Ausgangsfunktion auflösen:

$f(x) = 2x^5 \cdot (3x^7 - 5x) = 6x^{12} - 10x^6$

$f'(x) = 72x^{11} - 60x^5$

Wir wollen aber für spätere Ableitungen lernen und vor allem festigen, wie die Ableitung mittels Produktregel funktioniert.

Anwendung der Produktregel

Mathematik: Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen.
Physik: Analyse von Bewegungen und Kräften, bei denen Produkte von Funktionen auftreten.
Ingenieurwissenschaften: Modellierung und Simulation von Systemen, die durch Produkte von Funktionen beschrieben werden.
Wirtschaft: Optimierung und Analyse von Funktionen, die Produkte mehrerer Variablen beinhalten.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist die Produktregel?

Die Produktregel ist eine Methode zur Berechnung der Ableitung eines Produkts von zwei Funktionen.

2. Wie funktioniert die Produktregel?

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen durch die Summe der Produkte der Ableitungen jeder Funktion und der jeweils anderen Funktion gegeben ist.

3. Wann wird die Produktregel angewendet?

Die Produktregel wird angewendet, wenn die zu differenzierende Funktion das Produkt von zwei oder mehr Funktionen ist.

4. Kann die Produktregel für mehr als zwei Funktionen verwendet werden?

Ja, die Produktregel kann iterativ auf Produkte von mehr als zwei Funktionen angewendet werden.

5. Was sind typische Anwendungsbereiche der Produktregel?

Typische Anwendungsbereiche sind Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaften und Wirtschaft.

Zusammenfassung

Die Produktregel ist eine grundlegende Technik in der Differentialrechnung, die die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen ermöglicht.

Durch das Identifizieren der einzelnen Funktionen und deren Ableitungen kann die Produktregel systematisch angewendet werden, um die gesuchte Ableitung zu finden.

Diese Regel ist in vielen Bereichen der Mathematik und angewandten Wissenschaften von großer Bedeutung und wird häufig verwendet, um komplexe Differenzierungsprobleme zu lösen.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie Ableiten mit der Kettenregel abläuft.

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