MA3 – Ableitung mittels Kettenregel

Die Kettenregel wird gebraucht, wenn eine verschachtelte Funktion, also eine Funktion in einer Funktion, abgeleitet werden soll. Dazu werden die zwei gegebenen Funktionen zu eigenen Teilfunktionen u(x) und v(x). Für diese Teilfunktionen kannst du dann die Ableitungen u'(x) und v'(x) vornehmen. Mit der Kettenregel erhältst du dann aus diesen Angaben die Ableitung f'(x) der gesamten Funktion.

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, was die Kettenregel ist, wann du diese anwenden musst und wie die Kettenregel funktioniert.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Kettenregel: Formel

Zunächst betrachtest du die Ausgangsfunktion f(x) mit ihren beiden Funktionen u(x) und v(x):

$f(x) = u(v(x))$ Ausgangsfunktion

BEISPIEL

$f(x) = (4x - 6)^4$

Innerhalb der Klammer haben wir eine lineare Funktion 4x-6 gegeben. Diese Funktion steht nun aber in einer Klammer mit dem Exponenten 4. Wir können hier die Kettenregel anwenden, um die Ableitung der gesamten Funktion zu bestimmen. Wir weisen der inneren linearen Funktion nun einen Funktionsnamen zu, z.B. v(x). Damit ergibt sich dann:

$v(x) = 4x - 6$ Innere Funktion

$u(x) = v^4$ Äußere Funktion

Hierbei ist v bei der äußeren Funktion als Variable zu sehen, so wie x.

Merk’s dir!

Natürlich ist es in diesem Fall auch möglich die Klammer aufzulösen, indem diese geteilt wird (4x-6)² · (4x-6)², dann die 2. Binomische Formel für jede Klammer angewendet wird und danach die beiden resultierenden Klammer miteinander aus multipliziert werden. Da dies aber recht aufwendig ist, können wir auch einfach die Kettenregel anwenden.

Die Kettenregel lautet wie folgt:

$f'(x) =v'(x) \cdot u'(x)$ Kettenregel

BEISPIEL

Wir betrachten weiterhin das obige Beispiel. u(x) und v(x) haben wir bereits zugeordnet. Als nächstes bilden wir die Ableitungen der beiden Funktionen:

$v(x) = 4x-6 \; \rightarrow \; v'(x) = 4$

$u(x) = v^4 \; \rightarrow \; u'(x) = 4v^3$

Wir können nun die Kettenregel anwenden:

$f'(x) =v'(x) \cdot u'(x)$

Einsetzen der Ableitungen:

$f'(x) = 4 \cdot 4v^3$

Zusammenfassen:

$f'(x) = 16 \cdot v^3$

Einsetzen von v = v(x) = 4x – 6:

$f'(x) = 16 \cdot (4x-6)^3$

Merk’s dir!

Die Kettenregel können wir noch auf viele andere Funktionen anwenden. Wir werden diese später vor allem bei den verschachtelten e-Funktionen und ln-Funktionen zur Bestimmung der Ableitungen benötigen.

Beispiel 1: Kettenregel mit Wurzel

Wir betrachten jetzt ein paar Beispiele zur Anwendung der Kettenregel.

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Funktion:

$f(x) = \sqrt{2x^2 + 4x - 5}$

Bestimme die Ableitung unter Anwendung der Kettenregel!

Wir haben eine Funktion unter eine Wurzel gegeben. Die Ableitung können wir hier mittels Kettenregel vornehmen. Unter der Wurzel haben wir eine quadratische Funktion gegeben:

$v(x) = 2x^2 + 4x - 5$

$u(x) = \sqrt{v}$

Damit ist die äußere Funktion u(x) die Wurzel und die innere Funktion ist die quadratische Funktion v(x) = v. Die Wurzel können wir auch als Potenz darstellen:

$u(x) = v^{\frac{1}{2}}$

Mithilfe dieser Darstellung können wir ganz “normal” ableiten, so wie wir es gewohnt sind:

$f(x) = ax^n \; \rightarrow \; f'(x) = a\cdot n x^{n-1}$

Wir bilden nun die Ableitungen der beiden Teilfunktionen:

$v'(x) = 4x + 4$

Für die Potenz mit Bruch im Exponenten zeigen wir die Ableitung ausführlich:

$u'(x) = \frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1}$

$u'(x) = \frac{1}{2} v^{-\frac{1}{2}}$

Als nächstes wenden wir die Kettenregel an:

$f'(x) = v'(x) \cdot u'(x)$

Einsetzen der Ableitungen:

$f'(x) = (4x+4) \cdot \frac{1}{2} v^{-\frac{1}{2}}$

Einsetzen von v = v(x) = 2x^2 + 4x – 5:

$f'(x) = (4x+4) \cdot \frac{1}{2} (2x^2+4x-5)^{-\frac{1}{2}}$

Wir können den Ausdruck nun wieder als Wurzel darstellen, da der Exponent 1/2 beträgt. Damit haben wir die Quadratwurzel gegeben. Da wir nun aber einen negativen Exponenten gegeben haben, müssen wir die Wurzel in den Nenner setzen (der Exponent wird dann positiv):

$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Mehr Informationen dazu findest du in unserem Onlinekurs MA1 – Vorkurs zur Mathematik.

Wir wenden das Vorgehen auf unser Beispiel an.

Zunächst den Exponenten positiv machen, indem wir einfach die Potenz in den Nenner setzen:

$f'(x) = (4x+4) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{(2x^2+4x-5)^{\frac{1}{2}}}$

Jetzt können wir die Quadratwurzel bilden und ein wenig zusammenfassen:

$f'(x) = (4x+4) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2x^2+4x-5}}$

$f'(x) = \frac{4x+4}{2\sqrt{2x^2+4x-5}}$

Beispiel 2: Kettenregel mit Sinus

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Funktion:

$f(x) = 5 \cdot sin(x^3)$

Bestimme die Ableitung unter Anwendung der Kettenregel!

Wir haben hier innerhalb der Sinusfunktion eine kubische Funktion gegeben. Die Ableitung können wir hier mittels Kettenregel vornehmen:

$v(x) = x^3$ Innere Funktion

$u(x) = sin(v)$ Äußere Funktion

Wir bilden nun die Ableitungen der beiden Teilfunktionen:

$v'(x) = 3x^2$

$u'(x) = cos(v)$

Ableitung der Trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus im Ableitungskreis:

Ableitungskreis, Cosinus ableiten, sinus ableiten, Trigonometrische Funktionen ableiten, Kettenregel

Als nächstes wenden wir die Kettenregel an:

$f'(x) = v'(x) \cdot u'(x)$

Einsetzen der Ableitungen:

$f'(x) =3x^2 \cdot cos(v)$

Einsetzen von v = v(x) = x³:

$f'(x) =3x^2 \cdot cos(x^3)$

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