(Ma2-26) Cramersche Regel | Determinantenverfahren

In dieser Lerneinheit betrachten wir die Cramersche Regel zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei unbekannten Variablen.

Die Cramersche Regel ist nach dem Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer benannt, der das Verfahren in der ersten Hälfte des 18. Jahrhundert entwickelt hat. Das Verfahren kann auf ein Gleichungssystem angewendet werden, welches genau so viele Gleichungen wie unbekannte Variablen aufweist. Man spricht dann von einem quadratischen linearen Gleichungssystem.

Damit du das Verfahren vollständig verstehst, schauen wir uns den Ablauf anhand eines ausführlichen Beispiels an.

Cramersche Regel: Ablauf

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem:

(1) $x_1 - x_2 + 2x_3 = 6$

(2) $2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 11$

(3) $3x_1 + 2x_2 + x_3 = 8$

Schritt 1: Koeffizientenmatrix aufstellen

Im ersten Schritt übertragen wir nun die Koeffizienten in eine Matrix, die sogenannte Koeffizientenmatrix (die Ergebnisspalte wird nicht mit übertragen):

$\begin{huge}\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\2 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} \end{huge}$

Schritt 2: Determinante berechnen (Regel von Sarrus)

Wir berechnen als nächstes die Determinante der obigen Koeffizientenmatrix. Bei einer gegebenen 3X3-Matrix können wir dazu die Regel von Sarrus anwenden:

Die Vorgehensweise nach der Regel von Sarrus ist im obigen Bild erläutert. In der folgenden Box findest du diese nochmals verfasst.

undefiniert

Vorgehensweise: Regel von Sarrus

Zunächst fügst du die ersten beiden Spalten hinten an die gegebene Matrix an.
Danach bildest du Diagonalen. Zunächst die Diagonalen die von oben links nach unten rechts verlaufen (dabei startest du beim ersten Koeffizienten). Es müssen immer drei Koeffizienten auf einer Diagonalen liegen.
Danach bildest du die Diagonalen ausgehend vom ersten Koeffizienten der letzten Zeile von unten links nach oben rechts.
Die Koeffizienten auf den Diagonalen werden dann miteinander multipliziert und das Ergebnis entweder addiert (siehe Determinanten von links oben nach rechts unten) oder subtrahiert (siehe Determinanten von links unten nach rechts oben).
Am Ende erhältst du die Determinante.

Für unser Beispiel erhältst du also als Determinante der Koeffizientenmatrix:

$D = \begin{huge}\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\2 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} \end{huge} = -15$

Schritt 3: Hilfsdeterminanten berechnen (Regel von Sarrus)

Wir starten nun damit die Ergebnisspalte (siehe rechte Seite vom Gleichheitszeichens des linearen Gleichungssystems) zu verwenden und Hilfsdeterminanten zu berechnen.

Wir fügen dazu die Ergebnisspalte zunächst in die erste Spalte ein, danach in die zweite Spalte und zum Schluss in die dritte Spalte. Wir erhalten somit drei Matrizen, für welche wir jeweils die Determinanten berechnen müssen:

Cramersche Regel, Hilfsdeterminanten — Cramersche Regel

Wir ersetzen somit die gegebenen Spalten durch die Ergebnisspalte und berechnen dann im nächsten Schritt die Determinanten mittels Regel von Sarrus:

Nachdem du die Hilfsdeterminanten bestimmt hast, kannst du als nächstes damit beginnen, die unbekannten Variablen zu berechnen.

Schritt 4: Unbekannte Variablen berechnen

Zur Bestimmung der unbekannten Variablen berechnest du die folgenden Quotienten:

$\boxed{x_1 = \dfrac{D_{x_1}}{D}}$ x₁ berechnen

$\boxed{x_2 = \dfrac{D_{x_2}}{D}}$ x₂ berechnen

$\boxed{x_3 = \dfrac{D_{x_3}}{D}}$ x₃ berechnen

Einsetzen der berechneten Determinanten:

$x_1 = \dfrac{-15}{-15} = 1$

$x_2 = \dfrac{-15}{-15} = 1$

$x_3 = \dfrac{-45}{-15} = 3$

Die Lösung des linearen Gleichungssystem ist also:

$L = \{x_1, x_2, x_3 \} = \{1, 1, 3 \}$

Der Gauß Algorithmus (vorangegangene Lerneinheit) und die Cramersche Regel führen zum selben Ergebnis. Da innerhalb der Praxis häufig nicht allzu große Gleichungssysteme vorkommen, ist die Cramersche Regel schneller durchführbar, als der Gauß Algorithmus. Außerdem kann die Regel nach Cramer programmiert werden, so dass sich auch umfangreiche Gleichungssysteme berechnen lassen.

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In der folgenden Lerneinheit findest du eine ausführliche Formelsammlung zu diesem Onlinekurs.

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