(Ma2-25) Gauß Algorithmus

In dieser Lerneinheit behandeln wir das Gaußsche Eliminationsverfahren auch als Gauß Algorithmus bezeichnet.

Der Gauß Algorithmus dient zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei unbekannten Variablen.

Zum besseren Verständnis des Gaußschen Algorithmus schauen wir uns den Ablauf anhand eines ausführlichen Beispiels an.

Gauß Algorithmus: Ablauf

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem mit den drei unbekannten Variablen x, y, z:

(1) $2x + 3y - 4z = 5$

(2) $x +2z = 0$

(3) $-5x - 4y + 3z = -1$

Das Ziel ist es nun die Lösungen für diese Variablen zu erhalten, so dass alle drei gegebenen Gleichungen erfüllt sind.

Schritt 1: Gleichungssystem in Matrix übertragen

Im ersten Schritt werden die gegebenen linearen Gleichungen in eine Matrix überführt. Dabei werden die unbekannten Variablen in der ersten Zeile abgetragen und die gegebenen Gleichungen untereinander aufgeführt.

$\begin{huge} \left( \begin{array}{r|rrr|r} (1) & 2 & 3 & -4 & 5 \\ (2) & 1 & 0 & 2 & 0 \\ (3) & -5 & -4 & 3 & -1 \end{array} \right) \end{huge}$

Schritt 2: Elementare Zeilenumformungen

Im nächsten Schritt musst du mittels versuchen elementarer Zeilenumformungen die Stufenform zu erreichen:

Wir versuchen nun also die Gleichungen so umzuformen, dass unterhalb Stufen Nullen entstehen. Dazu wenden wir elementare Zeilenumformungen an.

undefiniert

Elementare Zeilenumformungen:

Elementare Zeilenumformungen sind:

Vertauschen von zwei Zeilen,
Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl (außer $0$ )
Addition/Subtraktion des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

Dazu starten wir zunächst mit dem dem Wert unterhalb der obersten Stufe (Wert 1) und wenden die elementaren Zeilenumformungen so an, dass dort eine Null entsteht.

Wir können eine Null erzeugen (Zeile 2, Spalte 1), indem wir die zweite Zeile (2) mit -2 multiplizieren und dann die Zeile (1) und die Zeile (2) miteinander addieren:

$1 \cdot (-2) + 2 = 0$

Für die anderen Werte der Zeile (2) ergibt sich dann:

$0 \cdot (-2) + 3 = 3$

$2 \cdot (-2) - 4 = -8$

$0 \cdot (-2) + 5 = 5$

Wir erhalten also:

$\begin{huge} \left( \begin{array}{r|rrr|r} (1) & 2 & 3 & -4 & 5 \\ (2) & 0 & 3 & -8 & 5 \\ (3) & -5 & -4 & 3 & -1 \end{array} \right) \end{huge}$

Im nächsten Schritt betrachten wir den Wert ganz unten links (Wert 5) und versuchen nun hier ebenfalls eine Null zu erzeugen. Dazu wenden wir wieder die Elementaren Umformungen an. Es ist sinnvoll die Zeilen (3) und (1) miteinander zu addieren. Dazu muss aber die Zeile (3) mit 2 und die Zeile (1) mit 5 multipliziert werden:

Wir erhalten dann für die Zeile (3):

$-5 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 0$

$-4 \cdot 2 + 3 \cdot 5 =7$

$3 \cdot 2 + -4 \cdot 5 = -14$

$-1 \cdot 2 + 5 \cdot 5 = 23$

Es ergibt sich somit:

$\begin{huge} \left( \begin{array}{r|rrr|r} (1) & 2 & 3 & -4 & 5 \\ (2) & 0 & 3 & -8 & 5 \\ (3) & 0 & 7 & -14 & 23 \end{array} \right) \end{huge}$

Wir müssen nun noch eine weitere Null erzeugen (Wert 7). Dazu verwenden wir die Gleichung (3) und die Gleichung (2). Mit der Gleichung (1) können wir hier nicht arbeiten, weil ansonsten die andere Null in Gleichung (3) wieder verschwinden würden.

Wir multiplizieren die Gleichung (3) mit 3 und die Gleichung (2) mit -7, damit bei der Addition der beiden Gleichungen eine Null resultiert.

Wir erhalten für die Gleichung (3):

$0 \cdot 3 + 0 \cdot (-7) = 0$

$7 \cdot 3 + 3 \cdot (-7) = 0$

$(-14) \cdot 3 + (-8) \cdot (-7) = 14$

$23 \cdot 3 + 5 \cdot (-7) = 34$

Es ergibt sich demnach:

$\begin{huge} \left( \begin{array}{r|rrr|r} (1) & 2 & 3 & -4 & 5 \\ (2) & 0 & 3 & -8 & 5 \\ (3) & 0 & 0 & 14 & 34 \end{array} \right) \end{huge}$

Die Zeilenstufenform der Matrix ist gegeben. Damit endet der Gauß Algorithmus und wir können damit beginnen die unbekannten Variablen zu bestimmen.

Schritt 3: Unbekannte Variablen bestimmen

Wir starten hier in der letzten Zeile, also mit Gleichung (3) und lesen ab:

(3) $14z = 34$

Auflösen nach der unbekannten Variable z:

$14z = 34$ | $:14$

$z = \dfrac{34}{14}$ |Kürzen

$\boxed{y = \dfrac{17}{7}}$

Danach betrachten wir die Gleichung (2) und lesen ab:

(2) $3y - 8z = 5$

Einsetzen von z = 17/7 und nach y auflösen:

$3y - 8(\dfrac{17}{7})= 5$

$3y - \dfrac{136}{7}= 5$ | $+\dfrac{136}{7}$

$3y = \dfrac{171}{7}$ | $:3$

$\boxed{y = \dfrac{57}{7}}$

Danach betrachten wir die Gleichung (1) und lesen ab:

(1) $2x + 3y - 4z = 5$

Wir setzen z = 17/7 und y = 57/7 ein und lösen nach x auf:

$2x + 3 \cdot \dfrac{57}{7} - 4 \cdot \dfrac{17}{7} = 5$

$2x + \dfrac{171}{7} - \dfrac{68}{7} = 5$

$2x + \dfrac{103}{7} = 5$ | $-\dfrac{103}{7}$

$2x = -\dfrac{68}{7}$ | $:2$

$x = -\dfrac{68}{14}$ |Kürzen

$\boxed{x = -\dfrac{34}{7}}$

Die Lösung des linearen Gleichungssystems beträgt demnach:

$L = \{x, y, z \} = \{-\dfrac{34}{7}, \dfrac{57}{7}, \dfrac{17}{7} \}$

Video: Gauß Algorithmus

In diesem Video zeigen wir dir, wie du den Gauß Algorithmus anwendest:

Lernclip

Gauß Algorithmus

Beispiel: Gauß Algorithmus

Aufgabenstellung

Gegeben sei das folgenden lineare Gleichungssystem mit den drei unbekannten Variablen x₁, x₂ und x₃:

(1) $x_1 - x_2 + 2x_3 = 6$

(2) $2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 11$

(3) $3x_1 + 2x_2 + x_3 = 8$

Bestimme die Lösungen für die drei unbekannten Variablen mittels Gauß Algorithmus!

Lösung

Zunächst überführen wir das lineare Gleichungssystem in eine Matrix:

$\begin{huge} \left( \begin{array}{r|rrr|r} (1) & 1 & -1 & 2 & 6 \\ (2) & 2 & 3 & 2 & 11 \\ (3) & \; \; 3 & \; \; 2 & \; \; 1 & 8 \end{array} \right) \end{huge}$

Danach beginnen wir damit die elementaren Zeilenumformungen so anzuwenden, dass die Stufenform erreicht wird:

Wir wollen nun unterhalb der Stufen Nullen erzeugen. Dabei starten wir mit der Null unter der oberen Stufe (Wert 2):

Dazu addieren wir die Zeile (2) mit der Zeile (1), die wir zuvor mit (-2) multiplizieren:

$2 + 1 \cdot (-2) = 0$

$3 + (-1) \cdot (-2) = 5$

$2 + 2 \cdot (-2) = -2$

$11 + 6 \cdot (-2) = -1$

Es ergibt sich demnach:

$\begin{huge} \left( \begin{array}{r|rrr|r} (1) & 1 & -1 & 2 & 6 \\ (2) & 0 & 5 & -2 & -1 \\ (3) & \; \; 3 & \; \; 2 & \; \; 1 & 8 \end{array} \right) \end{huge}$

Danach wollen wir eine Null unterhalb der erzeugten Null erhalten. Dazu ziehen wir die Zeile (3) und die Zeile (1) heran. Wir addieren die Zeile (3) mit der Zeile (1), die wir zuvor mit -3 multiplizieren:

Wir erhalten dann für die Zeile (3):

$3 + 1 \cdot (-3) = 0$

$2 + (-1) \cdot (-3) = 5$

$1 + 2 \cdot (-3) = -5$

$8 + 6 \cdot (-3) = -10$

Es ergibt sich somit:

$\begin{huge} \left( \begin{array}{r|rrr|r} (1) & 1 & -1 & 2 & 6 \\ (2) & 0 & 5 & -2 & -1 \\ (3) & 0 & 5 & -5 & -10 \end{array} \right) \end{huge}$

Wir benötigen noch eine Null in der letzten Zeile. Diese Null erreichen wir, indem wir die Zeile (3) und die Zeile (2) heranziehen. Die Zeile (1) sollte hier nicht verwendet werden, weil ansonsten die linke Null wieder verschwindet.

Dazu addieren wir die Zeile (3) mit der Zeile (2), die wir zuvor mit -1 multiplizieren (wir können auch die Zeile (3) mit -1 multiplizieren und dann mit Zeile (2) addieren):

$0 + 0 \cdot (-1) = 0$

$5 + 5 \cdot (-1) = 0$

$-5 + (-2) \cdot (-1) = -3$

$-10 + (-1) \cdot (-1) = -9$

Wir erhalten abschließend:

$\begin{huge} \left( \begin{array}{r|rrr|r} (1) & 1 & -1 & 2 & 6 \\ (2) & 0 & 5 & -2 & -1 \\ (3) & 0 & 0 & -3 & -9 \end{array} \right) \end{huge}$

Wir haben die Stufenform erreicht. Demnach endet hier der Gauß Algorithmus und wir können die unbekannten Variablen berechnen. Dazu starten wir mit der Zeile (3) und lesen ab:

(3) $-3x_3 = -9$

Auflösen nach x₃:

$-3x_3 = -9$ | $:(-3)$

$\boxed{x_3 = 3}$

Danach lesen wir die Zeile (2) ab:

(2) $5x_2 -2x_3 = -1$

Einsetzen von x₃ = 3 und nach x₂ auflösen:

$5x_2 -2 \cdot 3 = -1$

$5x_2 - 6 = -1$ | $+6$

$5x_2 = 5$ | $:5$

$\boxed{x_2 = 1}$

Als letztes betrachten wir die Zeile (1) und lesen ab:

(1) $x_1 -x_2 + 2x_3 = 6$

Einsetzen von x2 = 1 und x3 = 3 und nach x1 auflösen:

$x_1 - 1 + 2 \cdot 3 = 6$

$x_1 - 1 + 6 = 6$

$x_1 + 5 = 6$ | $-5$

$\boxed{x_1 = 1}$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du weißt wie der Gauß Algorithmus funktioniert, wollen wir uns in der folgenden Lerneinheit das Determinantenverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei Variablen anschauen.

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