Nachdem du zur Lösung von linearen Gleichungssystemen das Gleichsetzungs- und Additionsverfahren kennengelernt hast, wollen wir uns in dieser Lerneinheit das Einsetzungsverfahren anschauen.
Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema. Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme: Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik
Einsetzungsverfahren | Lernclip
Im folgenden Video zeigen wir dir, wie das Einsetzungsverfahren funktioniert.
Einsetzungsverfahren | Grundlagen
Was ist das Einsetzungsverfahren?
Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Es wird verwendet, um eine Gleichung in eine andere einzusetzen und so eine der Variablen zu eliminieren. Diese Methode ist besonders nützlich, wenn eine der Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
Das Einsetzungsverfahren ist eine weitere Möglichkeit ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten zu lösen.
1. Eine Gleichung wird zunächst nach einer Variable aufgelöst (nach y oder nach x).
2. Danach wird die Gleichung aus 1. in die andere Gleichung eingesetzt. Bei diesem Schritt wird eine Variable eliminiert.
3. Die aus 2. resultierende Gleichung wird nach der verbleibenden Variable aufgelöst (nach x oder nach y).
4. Danach wird das Ergebnis in die Gleichung aus 1. eingesetzt, um die andere Variable zu berechnen.
Zum besseren Verständnis der oben angegebenen Vorgehensweise schauen wir uns mal ein Beispiel an.
Einsetzungsverfahren | Beispiel
I. 
II. 
1. Zunächst lösen wir eine Gleichung nach einer Variable auf. So zum Beispiel die Gleichung I nach y:
I. |
|
2. Danach setzen wir die Gleichung aus 1. in die andere (also die II. Gleichung) ein:
II. 
Wir haben jetzt die Variable y eliminiert. Innerhalb der Gleichung ist also nur noch die Variable x gegeben.
3. Wir können nun die Gleichung nach x auflösen:
|Klammer auflösen
|Zusammenfassen
|
|
4. Das Ergebnis aus 3. können wir dann in die Gleichung aus 1. einsetzen um y zu berechnen:
Am besten führst du danach eine Probe durch, indem du beide Variablen in beide Gleichungen einsetzt:
I.
II.
Einsetzen:
I. 
II. 
Die Gleichungen sind erfüllt, damit ist die Lösung des linearen Gleichungssystems ermittelt.
Anwendung des Einsetzungsverfahrens
- Mathematik: Lösung linearer Gleichungssysteme.
- Wissenschaft: Analyse von Modellen, die durch lineare Gleichungssysteme beschrieben werden.
- Wirtschaft: Optimierung von Prozessen, die durch lineare Gleichungen beschrieben werden.
Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)
1. Was ist das Einsetzungsverfahren?
Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen durch Einsetzen einer aufgelösten Gleichung in eine andere.
2. Wie funktioniert das Einsetzungsverfahren?
Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst, diese Variable wird in die andere Gleichung eingesetzt, und die resultierende Gleichung wird nach der verbleibenden Variablen gelöst.
3. Wann ist das Einsetzungsverfahren nützlich?
Das Einsetzungsverfahren ist besonders nützlich, wenn eine der Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder leicht aufgelöst werden kann.
4. Kann das Einsetzungsverfahren bei nicht-linearen Gleichungssystemen angewendet werden?
Das Einsetzungsverfahren kann auch bei nicht-linearen Gleichungssystemen angewendet werden, ist aber in der Regel bei linearen Systemen einfacher und direkter.
5. Was ist der Vorteil des Einsetzungsverfahrens gegenüber anderen Methoden?
Der Vorteil des Einsetzungsverfahrens liegt in seiner Einfachheit und der direkten Anwendung, insbesondere wenn eine der Gleichungen leicht nach einer Variablen aufgelöst werden kann.
Zusammenfassung
Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, indem eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst und dieser Ausdruck in die andere Gleichung eingesetzt wird.
Diese Methode ist besonders nützlich und effizient, wenn eine der Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder leicht aufgelöst werden kann.
Das Einsetzungsverfahren findet Anwendung in Mathematik, Wissenschaft und Wirtschaft, um lineare Gleichungssysteme zu lösen und Prozesse zu optimieren.
Nachdem wir das Thema Einsetzungsverfahren behandelt haben, zeigen wir dir in der folgenden Lerneinheit was lineare Umkehrfunktionen sind und wie du diese berechnest.
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