(Ma2-22) Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten: Einsetzungsverfahren

Nachdem du zur Lösung von linearen Gleichungssystemen das Gleichsetzungs- und Additionsverfahren kennengelernt hast, wollen wir uns in dieser Lerneinheit das Einsetzungsverfahren anschauen.

Das Einsetzungsverfahren ist eine weitere Möglichkeit ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten zu lösen.

undefiniert

Vorgehensweise: Einsetzungsverfahren

1. Eine Gleichung wird zunächst nach einer Variable aufgelöst (nach y oder nach x).

2. Danach wird die Gleichung aus 1. in die andere Gleichung eingesetzt. Bei diesem Schritt wird eine Variable eliminiert.

3. Die aus 2. resultierende Gleichung wird nach der verbleibenden Variable aufgelöst (nach x oder nach y).

4. Danach wird das Ergebnis in die Gleichung aus 1. eingesetzt, um die andere Variable zu berechnen.

Zum besseren Verständnis der oben angegebenen Vorgehensweise schauen wir uns mal ein Beispiel an.

Beispiel: Einsetzungsverfahren

I. $6x - 2y = 24$

II. $4x + 8y = 44$

1. Zunächst lösen wir eine Gleichung nach einer Variable auf. So zum Beispiel die Gleichung I nach y:

I. $6x - 2y = 24$ | $-6x$

$-2y = 24 - 6x$ | $:(-2)$

$y = -12 + 3x$

2. Danach setzen wir die Gleichung aus 1. in die andere (also die II. Gleichung) ein:

II. $4x + 8y = 64$

$4x + 8 (-12 + 3x) = 44$

Wir haben jetzt die Variable y eliminiert. Innerhalb der Gleichung ist also nur noch die Variable x gegeben.

3. Wir können nun die Gleichung nach x auflösen:

$4x + 8 (-12 + 3x) = 44$ |Klammer auflösen

$4x - 96 + 24x = 44$ |Zusammenfassen

$28x - 96 = 44$ | $+96$

$28x = 140$ | $:28$

$x = 5$

4. Das Ergebnis aus 3. können wir dann in die Gleichung aus 1. einsetzen um y zu berechnen:

$y = -12 + 3x$

$y = -12 + 3 \cdot 5 = 3$

Am besten führst du danach eine Probe durch, indem du beide Variablen in beide Gleichungen einsetzt:

I. $6x - 2y = 24$

II. $4x + 8y = 44$

Einsetzen:

I. $6 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 24$

II. $4 \cdot 5 + 8 \cdot 3 = 44$

Die Gleichungen sind erfüllt, damit ist die Lösung des linearen Gleichungssystems ermittelt.

Im folgenden Video zeigen wir dir nochmals, wie das Einsetzungsverfahren funktioniert.

Lernclip

Einsetzungsverfahren

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem wir das Thema Einsetzungsverfahren behandelt haben, zeigen wir dir in der folgenden Lerneinheit was lineare Umkehrfunktionen sind und wie du diese berechnest.

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