(Ma2-21) Lineare Umkehrfunktion

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Inhaltsverzeichnis:

In dieser Lerneinheit behandeln wir die lineare Umkehrfunktion.

 

Umkehrfunktion linearer Funktionen

 

Du kennst bereits eine lineare Funktion in der Schreibweise:

 

y = 5x + 20          Lineare Funktion

 

Um für die obige Funktion die Umkehrfunktion berechnen zu können, musst du wie folgt vorgehen:

 

undefiniert
Vorgehensweise: Umkehrfunktion bestimmen

1.Lineare Funktion nach x auflösen

2.Die beiden Variablen x und y tauschen

 

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.

 

undefiniert
Beispiel: Umkehrfunktion bestimmen

Gegeben sei die lineare Funktion

y = 5x + 20

 

Bestimme die Umkehrfunktion!

 

1.Lineare Funktion nach x-auflösen

Zunächst lösen wir nun die lineare Funktion nach x auf:

 

y = 5x + 20     |-20

 

y -20 = 5x     |:5

 

\dfrac{1}{5}y - 4 = x

 

bzw.

 

x = \dfrac{1}{5}y - 4

 

2.Vertauschen der beiden Variablen x und y

Wir müssen nun noch die beiden Variablen vertauschen und erhalten dann:

 

y = \dfrac{1}{5}x - 4          Lineare Umkehrfunktion

 


Lineare Umkehrfunktion: Grafisch


Du hast die lineare Umkehrfunktion der gegeben linearen Funktion berechnet. Schauen wir uns die beiden Funktionen mal grafisch an:

 

Lineare Umkehrfunktion

 

 

Du siehst oben in grün die lineare Funktion y = 5x + 20 und in rot die lineare Umkehrfunktion y = 1/5x – 4. Mittig liegt in schwarz die Funktion y = x.

Die Funktion y = x ist nichts anderes als die Winkelhalbierende der beiden Funktionen. Sie liegt also genau in der Mitte des Winkels zwischen der lineare Funktion und der linearen Umkehrfunktion. Von der Funktion y = x zur linearen Funktion und zur linearen Umkehrfunktion ist also derselbe Winkel von 33,69° gegeben. Insgesamt ergibt sich dann also ein Winkel zwischen Funktion und Umkehrfunktion von 67,38°.

 

Desweiteren siehst du 4 Punkte eingezeichnet. Starten wir mit den blauen Punkten.

Du siehst, dass für die lineare Funktion P(0/20) der x-Wert = 0 und der y-Wert = 20 ist. Die Funktion schneidet also die y-Achse bei 20.

Für die Umkehrfunktion hingegen ist der Punkt P(20/0) gegeben. Hier ist x = 20 und y=0 (genau umgekehrt). Es handelt sich somit um den Schnittpunkt mit der x-Achse bei 20.

 

Für die lilafarbenen Punkte gilt, dass die lineare Funktion die x-Achse bei -4 schneidet also bei P(-4/0) und die lineare Umkehrfunktion die y-Achse bei -4 also P(0/-4). Auch hier sind die Punkte genau umkehrt gegeben.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Für lineare Funktionen ist es immer möglich, die lineare Umkehrfunktion zu bilden, da jedem y-Wert genau ein x-Wert zugeordnet werden kann.

 


Beispiel: Lineare Umkehrfunktionen


Schauen wir uns nochmal ein Beispiel zur Bestimmung einer linearen Umkehrfunktion an.

 


Beispiel 1 : Umkehrfunktion bestimmen


Aufgabenstellung

Gegeben sei die lineare Funktion 

 

y = -16x + 64

 

Bestimme die lineare Umkehrfunktion!

 

Lösung
  1. Zunächst lösen wir die Funktion nach x auf:

 

y = -16x + 64     |-64

 

y - 64 = -16x     |:(-16)

 

-\dfrac{1}{16}y + 4 = x

 

x = -\dfrac{1}{16} y + 4

 

2. Tauschen der beiden Variablen x und y:

 

y = -\dfrac{1}{16}x + 4          Lineare Umkehrfunktion

 

Grafisch ergibt sich dann:

Umkehrfunktion linearer Funktionen

 

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der nachfolgenden Lerneinheit findest du die Formelsammlung zum Kurs Zuordnungen und lineare Funktionen!

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