(Ma2-21) Lineare Umkehrfunktion

In dieser Lerneinheit behandeln wir die lineare Umkehrfunktion.

Du kennst bereits eine lineare Funktion in der Schreibweise:

$y = 5x + 20$ Lineare Funktion

Um für die obige Funktion die Umkehrfunktion berechnen zu können, musst du wie folgt vorgehen:

undefiniert

Vorgehensweise: Umkehrfunktion bestimmen

1.Lineare Funktion nach x auflösen

2.Die beiden Variablen x und y tauschen

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.

undefiniert

Beispiel: Umkehrfunktion bestimmen

Gegeben sei die lineare Funktion

$y = 5x + 20$

Bestimme die Umkehrfunktion!

1.Lineare Funktion nach x-auflösen

Zunächst lösen wir nun die lineare Funktion nach x auf:

$y = 5x + 20$ | $-20$

$y -20 = 5x$ | $:5$

$\dfrac{1}{5}y - 4 = x$

bzw.

$x = \dfrac{1}{5}y - 4$

2.Vertauschen der beiden Variablen x und y

Wir müssen nun noch die beiden Variablen vertauschen und erhalten dann:

$y = \dfrac{1}{5}x - 4$ Lineare Umkehrfunktion

Lineare Umkehrfunktion: Grafisch

Du hast die lineare Umkehrfunktion der gegeben linearen Funktion berechnet. Schauen wir uns die beiden Funktionen mal grafisch an:

Du siehst oben in grün die lineare Funktion y = 5x + 20 und in rot die lineare Umkehrfunktion y = 1/5x – 4. Mittig liegt in schwarz die Funktion y = x.

Die Funktion y = x ist nichts anderes als die Winkelhalbierende der beiden Funktionen. Sie liegt also genau in der Mitte des Winkels zwischen der lineare Funktion und der linearen Umkehrfunktion. Von der Funktion y = x zur linearen Funktion und zur linearen Umkehrfunktion ist also derselbe Winkel von 33,69° gegeben. Insgesamt ergibt sich dann also ein Winkel zwischen Funktion und Umkehrfunktion von 67,38°.

Desweiteren siehst du 4 Punkte eingezeichnet. Starten wir mit den blauen Punkten.

Du siehst, dass für die lineare Funktion P(0/20) der x-Wert = 0 und der y-Wert = 20 ist. Die Funktion schneidet also die y-Achse bei 20.

Für die Umkehrfunktion hingegen ist der Punkt P(20/0) gegeben. Hier ist x = 20 und y=0 (genau umgekehrt). Es handelt sich somit um den Schnittpunkt mit der x-Achse bei 20.

Für die lilafarbenen Punkte gilt, dass die lineare Funktion die x-Achse bei -4 schneidet also bei P(-4/0) und die lineare Umkehrfunktion die y-Achse bei -4 also P(0/-4). Auch hier sind die Punkte genau umkehrt gegeben.

Merk's dir!

Für lineare Funktionen ist es immer möglich, die lineare Umkehrfunktion zu bilden, da jedem y-Wert genau ein x-Wert zugeordnet werden kann.

Beispiel: Lineare Umkehrfunktionen

Schauen wir uns nochmal ein Beispiel zur Bestimmung einer linearen Umkehrfunktion an.

Beispiel 1 : Umkehrfunktion bestimmen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die lineare Funktion

$y = -16x + 64$

Bestimme die lineare Umkehrfunktion!

Lösung

Zunächst lösen wir die Funktion nach x auf:

$y = -16x + 64$ | $-64$

$y - 64 = -16x$ | $:(-16)$

$-\dfrac{1}{16}y + 4 = x$

$x = -\dfrac{1}{16} y + 4$

2. Tauschen der beiden Variablen x und y:

$y = -\dfrac{1}{16}x + 4$ Lineare Umkehrfunktion

Grafisch ergibt sich dann:

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der nachfolgenden Lerneinheit findest du die Formelsammlung zum Kurs Zuordnungen und lineare Funktionen!

Was gibt es noch bei uns?

Finde die richtige Schule für dich!

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media)? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:

Was ist Technikermathe.de?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!

Interaktive Übungsaufgaben

Trainingsbereich

Quizfrage 1

Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?

Auszüge aus unserem Kursangebot

Hat dir dieses Thema gefallen? – Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen

ENT3 (Energetische Berechnungen) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an.

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 19,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs
++ Günstiger geht’s nicht!! ++

Oder direkt >> Mitglied << werden und >> Zugriff auf alle 22 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat
++ Besser geht’s nicht!! ++