MA2 – Lineare Umkehrfunktion [Grundlagen, Verwendung, Tipps]

In dieser Lerneinheit behandeln wir die lineare Umkehrfunktion.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme:

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Lineare Umkehrfunktion – Grundlagen

Umkehrfunktion linearer Funktionen, Lineare Umkehrfunktion

Was ist eine lineare Umkehrfunktion?

Eine lineare Umkehrfunktion ist die Umkehrung einer linearen Funktion. Wenn du eine lineare Funktion hast, kannst du ihre Umkehrfunktion finden, indem du die Funktion so umstellst, dass die ursprüngliche Variable $x$ als Funktion der ursprünglichen Ausgabe $y$ geschrieben wird. Dies ist nützlich, um den ursprünglichen Eingangswert zu bestimmen, wenn du den Ausgangswert kennst.

Du kennst bereits eine lineare Funktion in der Schreibweise:

Lineare Funktion

$y = 5x + 20$

Um für die obige Funktion die Umkehrfunktion berechnen zu können, musst du wie folgt vorgehen:

Vorgehensweise: Umkehrfunktion bestimmen

1.Lineare Funktion nach x auflösen

2.Die beiden Variablen x und y tauschen

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.

Beispiel: Umkehrfunktion bestimmen!

Gegeben sei die lineare Funktion

$y = 5x + 20$

Bestimme die Umkehrfunktion!

1.Lineare Funktion nach x-auflösen

Zunächst lösen wir nun die lineare Funktion nach x auf:

$y = 5x + 20$ | $-20$

$y -20 = 5x$ | $:5$

$\dfrac{1}{5}y - 4 = x$

bzw.

$x = \dfrac{1}{5}y - 4$

2.Vertauschen der beiden Variablen x und y

Wir müssen nun noch die beiden Variablen vertauschen und erhalten dann:

$y = \dfrac{1}{5}x - 4$ Lineare Umkehrfunktion

Lineare Umkehrfunktion | Umkehrabbildung: Grafisch

Du hast die lineare Umkehrfunktion der gegeben linearen Funktion berechnet. Schauen wir uns die beiden Funktionen mal grafisch an:

Lineare Umkehrfunktion, Darstellung im Koordinatensystem, Umkehrabbildung

Du siehst oben in grün die lineare Funktion y = 5x + 20 und in rot die lineare Umkehrfunktion y = 1/5x – 4. Mittig liegt in schwarz die Funktion y = x.

Die Funktion y = x ist nichts anderes als die Winkelhalbierende der beiden Funktionen. Sie liegt also genau in der Mitte des Winkels zwischen der lineare Funktion und der linearen Umkehrfunktion. Von der Funktion y = x zur linearen Funktion und zur linearen Umkehrfunktion ist also derselbe Winkel von 33,69° gegeben. Insgesamt ergibt sich dann also ein Winkel zwischen Funktion und Umkehrfunktion von 67,38°.

Des Weiteren siehst du 4 Punkte eingezeichnet. Starten wir mit den blauen Punkten.

Du siehst, dass für die lineare Funktion P(0/20) der x-Wert = 0 und der y-Wert = 20 ist. Die Funktion schneidet also die y-Achse bei 20.

Für die Umkehrfunktion hingegen ist der Punkt P(20/0) gegeben. Hier ist x = 20 und y=0 (genau umgekehrt). Es handelt sich somit um den Schnittpunkt mit der x-Achse bei 20.

Für die lilafarbenen Punkte gilt, dass die lineare Funktion die x-Achse bei -4 schneidet also bei P(-4/0) und die lineare Umkehrfunktion die y-Achse bei -4 also P(0/-4). Auch hier sind die Punkte genau umkehrt gegeben.

Merk’s dir!

Für lineare Funktionen ist es immer möglich, die lineare Umkehrfunktion zu bilden, da jedem y-Wert genau ein x-Wert zugeordnet werden kann.

Aufgabe: Lineare Umkehrfunktionen

Schauen wir uns nochmal ein Beispiel zur Bestimmung einer linearen Umkehrfunktion an.

Aufgabe 1 : Umkehrfunktion bestimmen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die lineare Funktion

$y = -16x + 64$

Bestimme die lineare Umkehrfunktion!

Lösung

Zunächst lösen wir die Funktion nach x auf:

$y = -16x + 64$ | $-64$

$y - 64 = -16x$ | $:(-16)$

$-\dfrac{1}{16}y + 4 = x$

$x = -\dfrac{1}{16} y + 4$

2. Tauschen der beiden Variablen x und y:

$y = -\dfrac{1}{16}x + 4$ Lineare Umkehrfunktion

Grafisch ergibt sich dann:

Lineare Umkehrfunktion, Grafische Darstellung im Koordinatensystem

Anwendung der Umkehrfunktion linearer Funktionen

Mathematik: Bestimmung des ursprünglichen Eingabewerts, wenn der Ausgangswert bekannt ist.
Informatik: Umkehrbare Transformationen in der Datenverarbeitung.
Physik: Umkehrung linearer Modelle zur Bestimmung von Eingangswerten aus gemessenen Ausgangswerten.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist eine lineare Umkehrfunktion?

Eine lineare Umkehrfunktion ist die Funktion, die die Ausgabe einer linearen Funktion zurück in die ursprüngliche Eingangsvariable umwandelt.

2. Wie finde ich die Umkehrfunktion einer linearen Funktion?

Vertausche die Variablen x und y und löse nach der neuen y auf.

3. Gibt es immer eine Umkehrfunktion für lineare Funktionen?

Ja, solange die Steigung $m$ nicht null ist, hat jede lineare Funktion eine Umkehrfunktion.

4. Warum sind Umkehrfunktionen wichtig?

Umkehrfunktionen ermöglichen es, den ursprünglichen Eingabewert einer Funktion zu bestimmen, wenn der Ausgangswert bekannt ist.

5. Wie kann ich überprüfen, ob meine Umkehrfunktion korrekt ist?

Setze die Umkehrfunktion in die ursprüngliche Funktion ein und prüfe, ob du die Identität $x = x$ zurückbekommst.

Zusammenfassung

Die lineare U-Funktion ist die Umkehrung einer linearen Funktion, die $= mx + b$ in $x$ als Funktion von $y$ umwandelt. Um diese zu finden, vertauscht man die Variablen und löst nach der neuen $y$ auf. Diese U-Funktion ist in vielen Bereichen nützlich, um den ursprünglichen Eingabewert zu bestimmen, wenn der Ausgangswert bekannt ist.

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit findest du die Formelsammlung zum Kurs Zuordnungen und lineare Funktionen!

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