In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie du lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten mittels Additionsverfahren /Subtraktionsverfahren lösen kannst.
Beim Additionsverfahren / Subtraktionsverfahren werden die Gleichungen in einem Gleichungssystem entweder miteinander addiert oder voneinander subtrahiert, je nachdem, was zur gewünschten Lösung führt.
Ziel ist es durch die Addition bzw. Subtraktion eine der unbekannten Variablen (x oder y) zu eliminieren, damit letztlich nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrig bleibt. Diese Gleichung kann dann nach der verbleibenden Variablen aufgelöst werden.
Beispiel: Additionsverfahren
Damit du das Verfahren nachvollziehen kannst, schauen wir uns zunächst ein ganz einfaches Beispiel an:
Gleichungssystem
I. 2x + 4y = 5
II. -2x + 2y = 7
Der erste Schritt den du beim Additionsverfahren durchführen musst, ist zu entscheiden, welche Unbekannte (also entweder x oder y) du eliminieren möchtest. Eliminieren bedeutet, dass diese Unbekannte wegfällt.
Dein Ziel ist es beide Gleichungen miteinander zu addieren. Dabei kannst du einfach die Terme die untereinander stehen miteinander addieren. Du siehst, dass die Gleichung I: 2x und Gleichung II: -2x aufweisen. Wenn du nun beide Terme miteinander addierst, dann erhältst du:
2x
+ -2x
= 0
Die Variable x würde also wegfallen, wenn wir die beiden Gleichungen miteinander addieren. Natürlich müssen wir die Addition für die gesamte Gleichung durchführen:
2x + 4y = 5
+ -2x + 2y = 7
_____________
0 + 6y = 12
6y = 12
Wir haben es nun also geschafft, dass eine Unbekannte wegfällt. Wir können die resultierende Gleichung nun nach y auflösen:
6y = 12 |:6
y = 2
Als nächstes setzt du y = 2 in eine der obigen Ausgangsgleichungen ein:
I. 2x + 4 · 2 = 5
2x + 8 = 5 |-8
2x = -3 |:2
x = -1,5
Du hast nun beide Unbekannten mittels Additionsverfahren gelöst.
Beispiel: Subtraktionsverfahren
Das Subtraktionsverfahren ist nichts anderes, nur dass beide Gleichungen voneinander subtrahiert werden. Schauen wir uns dazu mal ein weiteres Beispiel an:
I. -5x + 3y = 20
II. 7x + 3y = 14
Du siehst, dass 3y in beiden Gleichungen vorkommt. Wenn du nun die II. von der I. subtrahierst, dann fällt dieser Term weg und damit die unbekannte Variable y:
-5x + 3y = 20
–(7x + 3y = 14)
Du ziehst nun also die Terme untereinander ab:
-5x + 3y = 20
–7x – 3y = -14
____________
-12x + 0 = 6
-12x = 6
Als nächstes löst du nach x auf:
-12x = 6 |:(-12)
x = -0,5
Danach setzt du x = -0,5 in eine der beiden obigen Gleichungen ein und löst nach y auf:
I. -5 · (-0,5) + 3y = 20
2,5 + 3y = 20 |-2,5
3y = 17,5 |:3
y = 5,83
Additionsverfahren / Subtraktionsverfahren mit Umformungen
Natürlich kann es auch vorkommen, dass du zunächst Gleichungen umformen musst, bevor du das Additionsverfahren / Subtraktionsverfahren anwenden kannst. Schauen wir uns dazu das folgende Beispiel an:
I. 3x – y = 7
II. -x + 2y = -1
Bei diesem Gleichungssystem kannst du die beiden Gleichungen nicht sofort miteinander addieren oder voneinander subtrahieren. Hier musst du zunächst eine Gleichung umformen, damit du weiter rechnen kannst. Überlege dir zunächst welche Variable du eliminieren möchtest.
Willst du x entfernen, dann könntest du die II. Gleichung mit 3 multiplizieren und dann die Addition durchführen:
I. 3x – y = 7
II. -x + 2y = -1 |·3
Das ergibt:
I. 3x – y = 7
II. -3x + 6y = -3
Du kannst nun beide Gleichungen miteinander addieren, damit fällt die Variable x weg:
3x – y = 7
+ -3x + 6y = -3
___________
0 + 5y = 4
5y = 4
Auflösen nach y:
5y = 4 |:5
y =0,8
Einsetzen in die Gleichung I:
I. 3x – 0,8 = 7 |+0,8
3x + = 7,8 |:3
x = 2,6
Sollst du das Additionsverfahren bzw. Subtraktionsverfahren zur Berechnung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten durchführen, dann hilft dir die folgende Vorgehensweise:
1.Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst.
2. Überlege welche Umformungen du ggfs. durchführen musst
3. Addiere oder subtrahiere die Gleichungen, so dass eine Unbekannte wegfällt.
4. Lösen nach der verbleibenden Unbekannten auf.
5. Berechne die andere Unbekannte, indem du die verbleibende Unbekannte in eine der Gleichungen einsetzt.
In den folgenden beiden Videos zeigen wir euch, wie das Additionsverfahren funktioniert.
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten kannst du also mittels Gleichsetzungsverfahren (vorige Lerneinheit), Additions- bzw. Subtraktionsverfahren sowie dem Einsetzungsverfahren (folgende Lerneinheit)lösen. Sollte nicht explizit angegeben sein, welches Verfahren du verwenden sollst, kannst du dir eines der Verfahren aussuchen.
In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie das Einsetzungsverfahren funktioniert.
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