(Ma2-19) Gleichsetzungsverfahren

In dieser Lerneinheit schauen wir uns mal lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannte an und wie du diese mittels Gleichsetzungsverfahren lösen kannst.

Du kennst bereits lineare Gleichungen mit den zwei Unbekannten $x$ und $y$ in der Form:

$y = 5x + 15$

Stellst du diese Gleichung so um, dass die Unbekannten auf einer Seite sind, so erhältst du:

$y - 5x = 15$

Sind nun mehrere Gleichungen gegeben, so sprechen wir von einem Gleichungssystem:

Gleichungssystem

I. $y - 5x = 15$

II. $4y + 2x = 20$

Lineare Gleichungssysteme

In dem obigen Gleichungssystem sind zwei lineare Gleichungen gegeben, die jeweils die beiden Unbekannten Variablen $y$ und $x$ aufweisen. In einem Gleichungssystem geht es darum, die Unbekannten (hier: $x$ und $y$ ) so zu bestimmen, dass alle Gleichungen erfüllt werden. Die obige Gleichung I ist zum Beispiel für $y = 20$ und $x = 1$ erfüllt:

I. $20 - 5 \cdot 1 = 15$

II. $15 = 15$

Die Gleichung I. ist erfüllt, weil auf beiden Seite derselbe Wert steht. Setzen wir nun $y = 20$ und $x = 1$ in die Gleichung II. ein, so ergibt sich:

I. $4 \cdot 20 + 2 \cdot 1 = 20$

II. $82 \neq 20$

Die Gleichung ist nicht erfüllt, weil 82 ungleich 20 sind. Demnach ist die Lösung des Gleichungssystems nicht $y = 20$ und $x = 1$ .

undefiniert

Los geht's!

Unser Ziel ist es nun diejenigen Werte für $x$ und $y$ zu finden, für die beide Gleichungen und damit das Gleichungssystem erfüllt sind. Hierfür stehen uns unter anderem das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren zur Verfügung. Alle drei Verfahren führen zum selben Ergebnis. Wir schauen uns im Folgenden das Gleichsetzungsverfahren an.

Gleichsetzungsverfahren

Aus dem vorangegangenen Lerntext weißt du bereits, wie der Schnittpunkt zweier Geraden grafisch und rechnerisch bestimmt wird. Rechnerisch wird der Schnittpunkt zweier Geraden bestimmt, indem beide Geraden gleich gesetzt werden und dann nach $x$ aufgelöst wird. Beim Gleichsetzungsverfahren passiert genau das: Die gegebenen zwei Gleichungen werden jeweils nach $y$ aufgelöst und dann gleich gesetzt. Die sich ergebende Gleichung wird dann nach $x$ aufgelöst.

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Gleichsetzungsverfahren!

Gegeben seien die beiden linearen Gleichungen:

I. $2y + 5x = 18$

II. $6 + x = 2y$

Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems!

Lösung

Wir wenden hier das Gleichsetzungsverfahren an, um das lineare Gleichungssystem zu lösen. Im ersten Schritt überführen wir die beiden Gleichungen in die Normalform. Bei der Normalform wird die Funktion so aufgelöst, dass die allgemeine Funktionsgleichung für lineare Funktionen resultiert:

$y = mx + b$

Wir formen also die beiden Gleichungen so um, dass $y$ auf einer Seite alleine steht. Starten wir mit der Gleichung I:

$2y + 5x = 18$ | $-5x$

$2y = -5x + 18$ | $:2$

$y = -2,5x + 9$

Danach betrachten wir die Gleichung II:

$6 + x = 2y$

$2y = 6 + x$ | $:2$

$y = 3 + 0,5x$

Wir haben nun in beiden Fällen die Normalform gegeben. Als nächstes werden beide Gleichungen gleich gesetzt und dann nach $x$ aufgelöst:

$y = y$

$-2,5x + 9 = 3 + 0,5x$ | $+2,5x$

$9 = 3x + 3$ | $-3$

$6 = 3x$ | $:3$

$2 = x$

Wir haben für $x = 2$ erhalten. Im nächsten Schritt setzen wir den $x$ -Wert in eine der beiden Gleichungen ein, um den $y$ -Wert zu erhalten:

I. $y = -2,5 \cdot 2 + 9 = 4$

Zur Probe kannst du den $x$ -Wert auch in die Gleichung II einsetzen. Es muss derselbe $y$ -Wert resultieren:

II. $y = 3 + 0,5 \cdot 2 = 4$

Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ergibt:

$L = \{(2|4)\}$

Es handelt sich hierbei um den Schnittpunkt der beiden linearen Gleichungen.

In dem folgenden Video zeigen wir dir, wie du mittels Gleichsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten lösen kannst.

Lernclip

Gleichsetzungsverfahren

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir die was lineare Umkehrfunktionen sind.

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