MA2 – Gleichsetzungsverfahren [Grundlagen, Erklärung, Videoclip, Aufgaben & Tipps]

In dieser Lerneinheit schauen wir uns mal lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannte an und wie du diese mittels Gleichsetzungsverfahren lösen kannst.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme:

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Gleichsetzungsverfahren | Grundlagen

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode, um Schnittpunkte von zwei Geraden zu finden oder um Systeme linearer Gleichungen zu lösen.

Was ist das Gleichsetzungsverfahren?

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Es wird verwendet, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, indem man die beiden Gleichungen gleichsetzt und die resultierende Gleichung nach einer Variablen löst.

Du kennst bereits lineare Gleichungen mit den zwei Unbekannten $x$ und $y$ in der Form:

$y = 5x + 15$

Stellst du diese Gleichung so um, dass die Unbekannten auf einer Seite sind, so erhältst du:

$y - 5x = 15$

Sind nun mehrere Gleichungen gegeben, so sprechen wir von einem Gleichungssystem:

Gleichungssystem

I. $y - 5x = 15$

II. $4y + 2x = 20$

Lineare Gleichungssysteme

In dem obigen Gleichungssystem sind zwei lineare Gleichungen gegeben, die jeweils die beiden Unbekannten Variablen $y$ und $x$ aufweisen. In einem Gleichungssystem geht es darum, die Unbekannten (hier: $x$ und $y$ ) so zu bestimmen, dass alle Gleichungen erfüllt werden. Die obige Gleichung I ist zum Beispiel für $y = 20$ und $x = 1$ erfüllt:

I. $20 - 5 \cdot 1 = 15$

II. $15 = 15$

Die Gleichung I. ist erfüllt, weil auf beiden Seite derselbe Wert steht. Setzen wir nun $y = 20$ und $x = 1$ in die Gleichung II. ein, so ergibt sich:

I. $4 \cdot 20 + 2 \cdot 1 = 20$

II. $82 \neq 20$

Die Gleichung ist nicht erfüllt, weil 82 ungleich 20 sind. Demnach ist die Lösung des Gleichungssystems nicht $y = 20$ und $x = 1$ .

Unser Ziel ist es nun diejenigen Werte für $x$

und $y$

zu finden, für die beide Gleichungen und damit das Gleichungssystem erfüllt sind. Hierfür stehen uns unter anderem das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren zur Verfügung. Alle drei Verfahren führen zum selben Ergebnis. Wir schauen uns im Folgenden das Gleichsetzungsverfahren an.

Beispiel | Gleichsetzungsverfahren

Aus dem vorangegangenen Lerntext weißt du bereits, wie der Schnittpunkt zweier Geraden grafisch und rechnerisch bestimmt wird. Rechnerisch wird der Schnittpunkt zweier Geraden bestimmt, indem beide Geraden gleich gesetzt werden und dann nach $x$ aufgelöst wird. Beim Gleichsetzungsverfahren passiert genau das: Die gegebenen zwei Gleichungen werden jeweils nach $y$ aufgelöst und dann gleich gesetzt. Die sich ergebende Gleichung wird dann nach $x$ aufgelöst.

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

Beispiel: Gleichsetzungsverfahren!

Gegeben seien die beiden linearen Gleichungen:

I. $2y + 5x = 18$

II. $6 + x = 2y$

Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems!

Lösung

Wir wenden hier das Gleichsetzungsverfahren an, um das lineare Gleichungssystem zu lösen. Im ersten Schritt überführen wir die beiden Gleichungen in die Normalform. Bei der Normalform wird die Funktion so aufgelöst, dass die allgemeine Funktionsgleichung für lineare Funktionen resultiert:

$y = mx + b$

Wir formen also die beiden Gleichungen so um, dass $y$ auf einer Seite alleine steht. Starten wir mit der Gleichung I:

$2y + 5x = 18$ | $-5x$

$2y = -5x + 18$ | $:2$

$y = -2,5x + 9$

Danach betrachten wir die Gleichung II:

$6 + x = 2y$

$2y = 6 + x$ | $:2$

$y = 3 + 0,5x$

Wir haben nun in beiden Fällen die Normalform gegeben. Als nächstes werden beide Gleichungen gleich gesetzt und dann nach $x$ aufgelöst:

$y = y$

$-2,5x + 9 = 3 + 0,5x$ | $+2,5x$

$9 = 3x + 3$ | $-3$

$6 = 3x$ | $:3$

$2 = x$

Wir haben für $x = 2$ erhalten. Im nächsten Schritt setzen wir den $x$ -Wert in eine der beiden Gleichungen ein, um den $y$ -Wert zu erhalten:

I. $y = -2,5 \cdot 2 + 9 = 4$

Zur Probe kannst du den $x$ -Wert auch in die Gleichung II einsetzen. Es muss derselbe $y$ -Wert resultieren:

II. $y = 3 + 0,5 \cdot 2 = 4$

Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ergibt:

$L = \{(2|4)\}$

Es handelt sich hierbei um den Schnittpunkt der beiden linearen Gleichungen.

Lernclip | Gleichsetzungsverfahren – lineare Gleichungssysteme

In dem folgenden Video zeigen wir dir, wie du mittels Gleichsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten lösen kannst.

Lernclip | Gleichsetzungsverfahren

Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens

Mathematik: Lösung von linearen Gleichungssystemen und Bestimmung von Schnittpunkten.
Physik: Analyse von Bewegungen und Kräften in Diagrammen.
Wirtschaft: Bestimmung von Gleichgewichtspunkten in Angebots- und Nachfragekurven.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist das Gleichsetzungsverfahren?

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, indem die beiden Gleichungen gleichgesetzt und die resultierende Gleichung nach einer Variablen gelöst wird.

2. Wie funktioniert das Gleichsetzungsverfahren?

Setze die beiden Geradengleichungen gleich, löse die resultierende Gleichung nach x auf und berechne dann die y-Koordinate.

3. Was bedeutet ein Schnittpunkt für die Grafik der Funktionen?

Der Schnittpunkt zeigt den exakten Punkt an, an dem sich die beiden Geraden treffen.

4. Können zwei Geraden mehr als einen Schnittpunkt haben?

Nein, zwei lineare Geraden können höchstens einen Schnittpunkt haben, es sei denn, sie sind identisch (dann haben sie unendlich viele Schnittpunkte) oder parallel (dann haben sie keinen Schnittpunkt).

5. Warum ist das Gleichsetzungsverfahren wichtig?

Das Gleichsetzungsverfahren ist wichtig, um Interaktionen und Wechselwirkungen zwischen zwei linearen Funktionen zu verstehen und Schnittpunkte zu bestimmen.

Zusammenfassung

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Bestimmung des Schnittpunkts zweier Geraden, indem die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt und die resultierende Gleichung nach x und y gelöst wird.

Dieses Verfahren ist in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Wirtschaft wichtig, um Schnittpunkte und Wechselpunkte von Funktionen zu bestimmen.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir die was lineare Umkehrfunktionen sind.

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