Wir wollen uns in dieser Lerneinheit mal anschauen, wie der Schnittpunkt zweier Geraden (auch: lineare Funktionen) bestimmt wird.
Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema. Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme: Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik
Schnittpunkt zweier Geraden | Grundlagen
Was ist der Schnittpunkt zweier Geraden?
Der Schnittpunkt zweier Geraden ist der Punkt, an dem sich die beiden Geraden im Koordinatensystem schneiden. Dieser Punkt hat spezifische x- und y-Koordinaten, die beide Geradengleichungen gleichzeitig erfüllen.
Damit du dir das ganze auch vorstellen kannst, betrachten wir die folgende Grafik:
In der obigen Grafik siehst du zwei lineare Funktionen bzw. Geraden die sich in einem gemeinsamen Punkt, dem Schnittpunkt, schneiden. Den Schnittpunkt zweier Geraden kannst du entweder – wie oben gezeigt – grafisch oder aber rechnerisch ermitteln.
Grafisch bestimmst du den Schnittpunkt, indem du die beiden Geraden einzeichnest und dann den Punkt abliest, in welchem sie sich schneiden. Diese Vorgehensweise kann aber dazu führen, dass der Schnittpunkt nicht genau angegeben wird. Gründe dafür können ungenaue Maßangaben oder aber eine ungenaue Einzeichnung der Geraden sein.
Rechnerisch bestimmst du den Schnittpunkt, indem du die Funktionsgleichung beider Geraden gleich setzt. Denn im gemeinsamen Schnittpunkt haben beide Geraden genau denselben Funktionswert f(x) und auch denselben x-Wert. Deswegen kannst du, nachdem du beide Geraden gleich gesetzt hast, den gemeinsamen x-Wert bestimmen, indem du die Gleichung nach 
auflöst. Den dann ermittelten -Wert setzt du in einer der beiden Geraden ein, um den Funktionswert 
zu erhalten.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.
Beispiel | Schnittpunkt zweier Geraden
Gegeben seien die beiden linearen Funktionen 
und 
.
In welchem Punkt schneiden sich beide Geraden?
Wir wollen den gemeinsamen Schnittpunkt ermitteln, bei welchem der Funktionswert und der -Wert gleich sind. Dazu setzen wir die beiden Funktionen gleich:
also
Der nächste Schritt ist das Auflösen der Funktion nach :
|
|
|
Die beiden Funktionen schneiden sich bei 
. Um den Funktionswert zu bestimmen, musst du nun einfach den berechneten -Wert in eine der beiden Geraden einsetzen:
Für die andere Gerade muss derselbe Funktionswert resultieren:
Die beiden Funktionen schneiden sich also im Punkt S(4 | 4). In der nachfolgenden Grafik sind die beiden Geraden und deren gemeinsamer Schnittpunkt eingezeichnet:
Um zu bestimmen, wo genau der Punkt liegt, in welchem sich beide Geraden schneiden, musst du wie folgt vorgehen:
1.Beide Funktionen gleich setzen.
2.Die Gleichung nach x auflösen. Du erhältst den gemeinsamen x-Wert.
3.Den berechneten x-Wert in eine der beiden Funktionen einsetzen, um den y-Wert zu erhalten.
Schauen wir uns dazu mal die folgenden Aufgaben an.
Aufgaben | Schnittpunkt zweier linearer Funktionen
Schau dir die nachfolgenden Aufgaben genau und und versuche zunächst die einzelnen Aufgaben selbstständig zu lösen. Die Lösungen sollen dir bei der Überprüfung deiner Berechnungen helfen.
Aufgabe 1 : Schnittpunkt zweier Geraden
Gegeben seien die beiden linearen Funktionen:
In welchen Punkt schneiden sich die beiden Funktionen?
Zur Bestimmung des Schnittpunktes müssen wir beide Funktionen zunächst gleichsetzen:
Danach lösen wir die obige Gleichung nach auf:
|
|
|
Dann setzen wir den ermittelten -Wert in eine der beiden Gleichungen ein, um den y-Wert zu berechnen:
Die beiden Funktionen schneiden sich bei S(7|-2,8).
Aufgabe 2 : Schnittpunkt zweier Geraden
Gegeben seien die beiden Geraden:
In welchen Punkt schneiden sich die beiden Geraden?
Zur Bestimmung des Schnittpunktes müssen wir beide Funktionen zunächst gleichsetzen:
Danach lösen wir die obige Gleichung nach auf:
|
|
Dann setzen wir den ermittelten -Wert in eine der beiden Gleichungen ein, um den y-Wert zu berechnen:
Wir haben hier eine Gerade 
gegeben, die parallel zur x-Achse verläuft und den Schnittpunkt mit der y-Achse bei 
aufweist. Die beiden Geraden schneiden sich bei S(-2,2|4).
Anwendung der Steigung und des Steigungswinkels
- Mathematik: Analyse und Darstellung von Schnittpunkten von Geraden.
- Physik: Bestimmung von Schnittpunkten in Bewegungs- und Kraftdiagrammen.
- Wirtschaft: Analyse von Angebots- und Nachfragekurven.
Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)
1. Was ist der Schnittpunkt zweier Geraden?
Der Schnittpunkt ist der Punkt, an dem sich zwei Geraden im Koordinatensystem schneiden.
2. Wie findet man den Schnittpunkt zweier Geraden?
Setze die beiden Geradengleichungen gleich, löse die Gleichung nach x auf und berechne dann die y-Koordinate.
3. Was bedeutet ein Schnittpunkt für die Grafik der Funktionen?
Der Schnittpunkt zeigt den exakten Punkt an, an dem sich die beiden Geraden treffen.
4. Können zwei Geraden mehr als einen Schnittpunkt haben?
Nein, zwei lineare Geraden können höchstens einen Schnittpunkt haben, es sei denn, sie sind identisch (dann haben sie unendlich viele Schnittpunkte) oder parallel (dann haben sie keinen Schnittpunkt).
5. Warum sind Schnittpunkte wichtig?
Schnittpunkte sind wichtig, um Interaktionen und Wechselwirkungen zwischen zwei Funktionen zu verstehen.
Zusammenfassung
Der Schnittpunkt zweier Geraden ist der Punkt, an dem sich die beiden Geraden schneiden. Um diesen zu finden, setzt man die Geradengleichungen gleich, löst die resultierende Gleichung nach x auf und berechnet dann die y-Koordinate.
Dieses Konzept ist in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Wirtschaft wichtig, um Schnittpunkte und Wechselpunkte von Funktionen zu bestimmen.
Nachdem wir jetzt das Thema Schnittpunkt zweier Geraden behandelt haben, betrachten wir in der folgenden Lerneinheit lineare Gleichungssysteme mit zwei unbekannten Variablen.
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