(Ma2-18) Schnittpunkt zweier Geraden

Wir wollen uns in dieser Lerneinheit mal anschauen, wie der Schnittpunkt zweier Geraden (auch: lineare Funktionen) bestimmt wird.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Damit du dir das ganze auch vorstellen kannst, betrachten wir die folgende Grafik:

In der obigen Grafik siehst du zwei lineare Funktionen bzw. Geraden die sich in einem gemeinsamen Punkt, dem Schnittpunkt, schneiden. Den Schnittpunkt zweier Geraden kannst du entweder – wie oben gezeigt – grafisch oder aber rechnerisch ermitteln.

Grafisch bestimmst du den Schnittpunkt, indem du die beiden Geraden einzeichnest und dann den Punkt abliest, in welchem sie sich schneiden. Diese Vorgehensweise kann aber dazu führen, dass der Schnittpunkt nicht genau angegeben wird. Gründe dafür können ungenaue Maßangaben oder aber eine ungenaue Einzeichnung der Geraden sein.

Rechnerisch bestimmst du den Schnittpunkt, indem du die Funktionsgleichung beider Geraden gleich setzt. Denn im gemeinsamen Schnittpunkt haben beide Geraden genau denselben Funktionswert f(x) und auch denselben x-Wert. Deswegen kannst du, nachdem du beide Geraden gleich gesetzt hast, den gemeinsamen x-Wert bestimmen, indem du die Gleichung nach $x$ auflöst. Den dann ermittelten $x$ -Wert setzt du in einer der beiden Geraden ein, um den Funktionswert $f(x)$ zu erhalten.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Beispiel: Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel: Schnittpunkt zweier Geraden

Gegeben seien die beiden linearen Funktionen $f(x) = 5x - 16$ und $g(x) = -4x + 20$ .

In welchem Punkt schneiden sich beide Geraden?

Wir wollen den gemeinsamen Schnittpunkt ermitteln, bei welchem der Funktionswert $f(x)$ und der $x$ -Wert gleich sind. Dazu setzen wir die beiden Funktionen gleich:

$f(x) = g(x)$ also $5x - 16 = -4x + 20$

Der nächste Schritt ist das Auflösen der Funktion nach $x$ :

$5x - 16 = -4x + 20$ | $+4x$

$9x - 15 = 20$ | $+16$

$9x = 36$ | $:9$

$x = 4$

Die beiden Funktionen schneiden sich bei $x = 4$ . Um den Funktionswert zu bestimmen, musst du nun einfach den berechneten $x$ -Wert in eine der beiden Geraden einsetzen:

$f(x) = 5 \cdot 4 - 16 = 4$

Für die andere Gerade muss derselbe Funktionswert resultieren:

$g(x) = -4 \cdot 4 + 20 = 4$

Die beiden Funktionen schneiden sich also im Punkt S(4 | 4). In der nachfolgenden Grafik sind die beiden Geraden und deren gemeinsamer Schnittpunkt eingezeichnet:

Beispiel: Schnittpunkt zweier Geraden — Beispiel: Schnittpunkt

Vorgehensweise: Schnittpunkt zweier Geraden!

Um zu bestimmen, wo genau der Punkt liegt, in welchem sich beide Geraden schneiden, musst du wie folgt vorgehen:

1.Beide Funktionen gleich setzen.

2.Die Gleichung nach x auflösen. Du erhältst den gemeinsamen x-Wert.

3.Den berechneten x-Wert in eine der beiden Funktionen einsetzen, um den y-Wert zu erhalten.

Schauen wir uns dazu mal die folgenden Beispiele an.

Schnittpunkt zweier linearer Funktionen

Schau dir die nachfolgenden Aufgaben genau und und versuche zunächst die einzelnen Aufgaben selbstständig zu lösen. Die Lösungen sollen dir bei der Überprüfung deiner Berechnungen helfen.

Beispiel 1 : Schnittpunkt zweier Geraden

Aufgabenstellung

Gegeben seien die beiden linearen Funktionen:

$f(x) = -0,8x + 2,8$

$g(x) = 0,5x - 6,3$

In welchen Punkt schneiden sich die beiden Funktionen?

Lösung

Zur Bestimmung des Schnittpunktes müssen wir beide Funktionen zunächst gleichsetzen:

$-0,8x + 2,8 = 0,5x - 6,3$

Danach lösen wir die obige Gleichung nach $x$ auf:

$-0,8x + 2,8 = 0,5x - 6,3$ | $-0,5x$

$-1,3x + 2,8 = -6,3$ | $-2,8$

$-1,3x = - 9,1$ | $:-1,3$

$x = 7$

Dann setzen wir den ermittelten $x$ -Wert in eine der beiden Gleichungen ein, um den y-Wert zu berechnen:

$f(x) = -0,8x \cdot 7 + 2,8 = -2,8$

Die beiden Funktionen schneiden sich bei S(7|-2,8).

Beispiel 2 : Schnittpunkt zweier Geraden

Aufgabenstellung

Gegeben seien die beiden Geraden:

$f(x) = 5x + 15$

$g(x) = 4$

In welchen Punkt schneiden sich die beiden Geraden?

Lösung

Zur Bestimmung des Schnittpunktes müssen wir beide Funktionen zunächst gleichsetzen:

$5x + 15 = 4$

Danach lösen wir die obige Gleichung nach $x$ auf:

$5x + 15 = 4$ | $-15$

$5x = -11$ | $:5$

$x = -2,2$

Dann setzen wir den ermittelten $x$ -Wert in eine der beiden Gleichungen ein, um den y-Wert zu berechnen:

$f(x) = 6 \cdot -2,2 + 15 = 4$

Wir haben hier eine Gerade $g(x)$ gegeben, die parallel zur x-Achse verläuft und den Schnittpunkt mit der y-Achse bei $y = 4$ aufweist. Die beiden Geraden schneiden sich bei S(-2,2|4).

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir jetzt das Thema Schnittpunkt zweier Geraden behandelt haben, betrachten wir in der folgenden Lerneinheit lineare Gleichungssysteme mit zwei unbekannten Variablen.

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