(Ma2-17) Nullstellen linearer Funktionen

Inhaltsverzeichnis

Wir schauen uns in dieser Lerneinheit an, wie du für eine lineare Funktion grafisch und rechnerisch die Nullstelle bestimmen kannst.

 

<em>Merk's dir!</em>

“Nullstellen von Funktionen sind ganz allgemein die Schnittpunkte der gegebenen Funktion mit der x-Achse, also mit der Abzisse.”

 

Wir wollen uns mal anschauen, wie die Nullstellen grafisch und rechnerisch bestimmt werden können. Schauen wir uns dazu die folgende lineare Funktion an:

Nullstelle bestimmen
Nullstelle der Funktion

 

 

Die obige lineare Funktion schneidet die x-Achse bei x = 3 und bei f(x) = 0. Willst du den Schnittpunkt als Punkt angeben so gilt:

 

S(3/0)

 

Hierbei gilt, dass die y-Koordinate des Schnittpunktes der Funktion mit der x-Achse immer Null ist. Es reicht demnach aus, die x-Koordinaten anzugeben. Diese x-Koordinaten wird auch als Nullstelle bezeichnet. Damit ist klar, dass es sich hierbei um den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse handelt.

 


Nullstelle bestimmen


Bei einer linearen Funktion gibt es nur eine Nullstelle, demnach also nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse. Diesen Wert kannst du – wie oben gezeigt – entweder grafisch bestimmen, indem du die Funktion einzeichnest und die Nullstelle abliest oder du bestimmst die Nullstelle rechnerisch.

Die zweite Variante ist häufig die bevorzugte, weil sie sehr schnell geht und der berechnete Wert exakt bestimmt werden kann. Bei der grafischen Variante kann es passieren, dass die Nullstelle nicht exakt abgelesen wird, wenn der Maßstab ungünstig gewählt oder die Funktion nicht genau eingezeichnet wurde.

 

undefiniert
Nullstelle berechnen!

Die Nullstellen von Funktionen werden allgemein wie folgt berechnet:

  1. Zunächst setzt du die Funktion gleich Null: f(x) = 0
  2. Danach löst du die Funktion nach x auf.

 

Du setzt also die Funktion zunächst gleich Null. Das machst du, weil du den x-Wert berechnen möchtest, bei welchem der y-Wert gleich Null ist:

 

f(x) = 0

 

Das ist nämlich genau der Schnittpunkt mit der x-Achse, also die gesuchte Nullstelle. Um den x-Wert zu bestimmen, musst du dann die Funktion nach x auflösen. Das kennst du bereits aus den Lerneinheiten Lösen linearer Gleichungen.

 

Wir schauen uns dazu ein Beispiel an.

 

undefiniert
Beispiel: Nullstelle berechnen!

Gegeben sei die folgende Funktion:

 \boxed{f(x) = 15x - 25}

Berechne die Nullstelle der Funktion!

 

1.Zunächst setzt du die Funktion gleich Null:

 

 \boxed{15x - 25 = 0}

 

2.Danach löst du die Funktion nach x auf:

 

 \boxed{15x - 25 = 0}          |+25

15x = 25                |:15

x = 1,67

 

Die Nullstelle der Funktion ist bei x = 1,67 gegeben. An dieser Stelle schneidet die Funktion die x-Achse. Der y-Wert ist an dieser Stelle Null.

 

Nullstelle bestimmen
Nullstelle bestimmen

 

 

 

Du solltest dir in jedem Fall folgendes merken:

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Bei linearen Funktionen gibt es genau eine Nullstelle, demnach einen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Die Nullstelle kann grafisch ermittelt werden, indem der Graph eingezeichnet und die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) abgelesen wird.

Die Nullstelle kann auch rechnerisch ermittelt werden, indem die Funktion gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst wird.

 

++ Videoclip – Nullstelle einer Funktion ermitteln ++

Im folgenden Video zeige ich dir, wie du die Nullstelle einer Funktion grafisch und rechnerisch ermittelst:


Nullstelle einer linearen Funktion 

 

Schauen wir uns dazu mal einige Beispiele an.


Nullstellen bestimmen


In den folgenden beiden Aufgaben lernst du, wie die Nullstellen für lineare Funktionen bestimmt werden.

 


Beispiel 1 : Nullstelle bestimmen


Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende lineare Funktionsgleichung:

 \boxed{f(x) = -5x + 20}

An welcher Stelle schneidet die Funktion die x-Achse?

 

Lösung

Wir wollen hier den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse bestimmen. Hierbei handelt es sich um die Nullstelle der Funktion. Um diese zu berechnen, müssen wir zunächst die Funktion gleich Null setzen:

 

 \boxed{-5x + 20 = 0}

 

Danach lösen wir die obige Funktion nach x auf. Ziel ist es nun, dass x auf einer Seite alleine steht:

 

-5x + 20 = 0          |-20

-5x = -20               |:(-5)

x = 4

 

An der Stelle x = 4 bzw. im Punkt (4|0) schneidet die Funktion die x-Achse. Hier ist also eine Nullstelle gegeben.

 


Beispiel 2 : Nullstelle berechnen


Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende lineare Funktion:

 \boxed{f(x) = 15x - 210}

Bestimme die Nullstelle der Funktion!

 

Lösung

Auch hier geht es wieder darum die Nullstelle der Funktion und damit den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen. Der erste Schritt ist wieder die Funktion gleich Null zu setzen, weil für die Nullstelle der y-Wert zu Null wird:

 

f(x) = 0

also

15x - 210 = 0

 

Danach lösen wir die obige Gleichung nach x auf:

 

15x - 210 = 0         |+210

15x = 210               |:15

x = 14

 

An der Stelle x = 14 bzw. im Punkt (15|0) ist die Nullstelle der Funktion gegeben. Hier schneidet die Funktion die x-Achse.

 

wie gehts weiter?
In der folgenden Lerneinheiten schauen wir uns an, wie du den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen bestimmen kannst.

 

Trainingsbereich

Übrigens….. Als “Mitglied unserer Technikermathe-Community” findest du unter jedem Kurstext zusätzlich einen Trainingsbereich mit vielen interaktiven Übungsaufgaben zur Wissensvertiefung, sowie eine umfangreiche Formelsammlung und Probeklausur am Ende eines jeden Kurses.

 

Was ist Technikermathe.de?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!

Mehr für dich!

Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen
ET6 (Wechselstromtechnik 1) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an. 

Onlinekurs - Technische MechanikOnlinekurs - Wechselstromtechnik 1

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 19,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs 
 ++ Günstiger geht’s nicht!! ++

 Oder direkt >> Mitglied  << werden und >> Zugriff auf alle 22 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat 
++ Besser geht’s nicht!! ++

 

Kennst du eigentlich schon unseren YouTube-Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei:

Technikermathe auf Youtube 

Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf

Technikermathe auf Instagram



Dein Technikermathe.de-Team

Uns gibts auch auf YouTube!

Undzwar mit aktuell über 400 Lernvideos und allen Aufzeichnungen von unseren Webinaren!

Lass uns ein Abo da!

Wenn dir unsere Videos gefallen! Damit hilfst du uns echt mega und es kostet dich keinen Cent!
Zum YouTube Kanal

Schon gewusst?

Aktuell bieten wir über 2500 Lerntexte in über 20 Kursen zu den verschiedensten Themen an! Als Technikermathe.de Mitglied hast du vollen Zugriff auf alle Lerninhalte!
0
    0
    Dein Warenkorb
    Dein Einkaufswagen ist leer.Zurück zum Shop