(Ma2-17) Nullstellen linearer Funktionen

Wir schauen uns in dieser Lerneinheit an, wie du für eine lineare Funktion grafisch und rechnerisch die Nullstelle bestimmen kannst.

“Nullstellen von Funktionen sind ganz allgemein die Schnittpunkte der gegebenen Funktion mit der x-Achse, also mit der Abzisse.”

Wir wollen uns mal anschauen, wie die Nullstellen grafisch und rechnerisch bestimmt werden können. Schauen wir uns dazu die folgende lineare Funktion an:

Nullstelle bestimmen — Nullstelle der Funktion

Die obige lineare Funktion schneidet die x-Achse bei $x = 3$ und bei $f(x) = 0$ . Willst du den Schnittpunkt als Punkt angeben so gilt:

S(3/0)

Hierbei gilt, dass die y-Koordinate des Schnittpunktes der Funktion mit der x-Achse immer Null ist. Es reicht demnach aus, die x-Koordinaten anzugeben. Diese x-Koordinaten wird auch als Nullstelle bezeichnet. Damit ist klar, dass es sich hierbei um den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse handelt.

Nullstelle bestimmen

Bei einer linearen Funktion gibt es nur eine Nullstelle, demnach also nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse. Diesen Wert kannst du – wie oben gezeigt – entweder grafisch bestimmen, indem du die Funktion einzeichnest und die Nullstelle abliest oder du bestimmst die Nullstelle rechnerisch.

Die zweite Variante ist häufig die bevorzugte, weil sie sehr schnell geht und der berechnete Wert exakt bestimmt werden kann. Bei der grafischen Variante kann es passieren, dass die Nullstelle nicht exakt abgelesen wird, wenn der Maßstab ungünstig gewählt oder die Funktion nicht genau eingezeichnet wurde.

undefiniert

Nullstelle berechnen!

Die Nullstellen von Funktionen werden allgemein wie folgt berechnet:

Zunächst setzt du die Funktion gleich Null: $f(x) = 0$
Danach löst du die Funktion nach $x$ auf.

Du setzt also die Funktion zunächst gleich Null. Das machst du, weil du den x-Wert berechnen möchtest, bei welchem der y-Wert gleich Null ist:

$f(x) = 0$

Das ist nämlich genau der Schnittpunkt mit der x-Achse, also die gesuchte Nullstelle. Um den x-Wert zu bestimmen, musst du dann die Funktion nach x auflösen. Das kennst du bereits aus den Lerneinheiten Lösen linearer Gleichungen.

Wir schauen uns dazu ein Beispiel an.

undefiniert

Beispiel: Nullstelle berechnen!

Gegeben sei die folgende Funktion:

$\boxed{f(x) = 15x - 25}$

Berechne die Nullstelle der Funktion!

1.Zunächst setzt du die Funktion gleich Null:

$\boxed{15x - 25 = 0}$

2.Danach löst du die Funktion nach $x$ auf:

$\boxed{15x - 25 = 0}$ | $+25$

$15x = 25$ | $:15$

$x = 1,67$

Die Nullstelle der Funktion ist bei $x = 1,67$ gegeben. An dieser Stelle schneidet die Funktion die x-Achse. Der y-Wert ist an dieser Stelle Null.

Du solltest dir in jedem Fall folgendes merken:

Merk's dir!

Bei linearen Funktionen gibt es genau eine Nullstelle, demnach einen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Die Nullstelle kann grafisch ermittelt werden, indem der Graph eingezeichnet und die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) abgelesen wird.

Die Nullstelle kann auch rechnerisch ermittelt werden, indem die Funktion gleich Null gesetzt und nach $x$ aufgelöst wird.

++ Videoclip – Nullstelle einer Funktion ermitteln ++

Im folgenden Video zeige ich dir, wie du die Nullstelle einer Funktion grafisch und rechnerisch ermittelst:

Nullstelle einer linearen Funktion

Schauen wir uns dazu mal einige Beispiele an.

Nullstellen bestimmen

In den folgenden beiden Aufgaben lernst du, wie die Nullstellen für lineare Funktionen bestimmt werden.

Beispiel 1 : Nullstelle bestimmen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende lineare Funktionsgleichung:

$\boxed{f(x) = -5x + 20}$

An welcher Stelle schneidet die Funktion die x-Achse?

Lösung

Wir wollen hier den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse bestimmen. Hierbei handelt es sich um die Nullstelle der Funktion. Um diese zu berechnen, müssen wir zunächst die Funktion gleich Null setzen:

$\boxed{-5x + 20 = 0}$

Danach lösen wir die obige Funktion nach $x$ auf. Ziel ist es nun, dass $x$ auf einer Seite alleine steht:

$-5x + 20 = 0$ | $-20$

$-5x = -20$ | $:(-5)$

$x = 4$

An der Stelle $x = 4$ bzw. im Punkt (4|0) schneidet die Funktion die x-Achse. Hier ist also eine Nullstelle gegeben.

Beispiel 2 : Nullstelle berechnen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende lineare Funktion:

$\boxed{f(x) = 15x - 210}$

Bestimme die Nullstelle der Funktion!

Lösung

Auch hier geht es wieder darum die Nullstelle der Funktion und damit den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen. Der erste Schritt ist wieder die Funktion gleich Null zu setzen, weil für die Nullstelle der y-Wert zu Null wird:

$f(x) = 0$

also

$15x - 210 = 0$

Danach lösen wir die obige Gleichung nach $x$ auf:

$15x - 210 = 0$ | $+210$

$15x = 210$ | $:15$

$x = 14$

An der Stelle $x = 14$ bzw. im Punkt (15|0) ist die Nullstelle der Funktion gegeben. Hier schneidet die Funktion die x-Achse.

wie gehts weiter?

In der folgenden Lerneinheiten schauen wir uns an, wie du den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen bestimmen kannst.

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