(Ma2-16) Funktionsgleichung von linearen Funktionen bestimmen

In dieser Lerneinheit wollen wir uns mal anschauen, wie du die Funktionsgleichung bestimmen von linearen Funktionen kannst.

Du weißt aus der vorherigen Lerneinheit bereits wie die Steigung und der Steigungswinkel von linearen Funktionen berechnet wird.

Funktionsgleichung bestimmen – Grundlagen

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion kannst du bestimmen, wenn du

die Steigung $m$ und den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse $b$ kennst.
die Steigung $m$ und einen Punkt P auf dem linearen Funktionsgraphen kennst.
den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse $b$ und einen Punkt P auf dem linearen Funktionsgraphen kennst.
zwei Punkte auf dem linearen Funktionsgraphen kennst.

Für die Angabe der Funktionsgleichung müssen die Steigung $m$ und der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse $b$ bekannt sein. Wir schauen uns alle drei Varianten in dieser Lerneinheit mal genauer an. Außerdem zeigen wir dir, wie du bestimmst, ob bestimmte Punkte auf einer linearen Funktion liegen oder nicht.

Funktionsgleichung bestimmen: Steigung und Schnittpunkt bekannt

Funktionsgleichung bestimmen 1 — Funktionsgleichung bestimmen

Wir wollen für die obige lineare Funktion die Funktionsgleichung bestimmen. Die Steigung beträgt $m = 2$ , der Schnittpunkt mit der y-Achse ist bei $b = -3$ gegeben. Wir können nun mittels der Steigung $m$ und dem Schnittpunkt der Funktion mit der $y$ -Achse die Funktionsgleichung der obigen Funktion bestimmen.

Für den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ist der x-Wert immer Null. Es gilt also immer der Punkt (0 | b). In unserem Beispiel also (0 | -3).

Für die Steigung haben wir $m = 2$ ermittelt. Wir können nun aus der Steigung und dem Schnittpunkt mit der y-Achse für die lineare Funktion die Funktionsgleichung bestimmen. Dazu betrachten wir die allgemeine Funktionsgleichung:

$f(x) = mx + b$ bzw.

$y = m x + b$

Wir setzen nun $b = -3$ und $m = 2$ ein:

$\boxed{f(x) = 2x - 3}$ Funktionsgleichung

Und haben die Funktionsgleichung der obigen Funktion bestimmt. Wir können nun wieder für $x$ alle reellen Zahlen einsetzen und erhalten dann den dazugehörigen Funktionswert. Setzen wir zum Beispiel für $x = 1$ ein, so erhalten wir:

$f(1) = 2 \cdot 1 + 4 = 6$

Der Punkt (1|6) befindet sich auf dem linearen Funktionsgraphen.

Merk's dir!

Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade bzw. geradlinig.

Der Schnittpunkt zwischen linearer Funktion und der y-Achse weist hierbei stets die Koordinaten P(0|b) auf.

Für die Steigung $m$ einer linearen Funktion musst du dir merken, dass im Nenner der Schritt in x-Richtung und im Zähler die Schritte in y-Richtung stehen.

Funktionsgleichung bestimmen: Steigung und Punkt bekannt

Funktionsgleichung bestimmen 2 — Funktionsgleichung bestimmen

In der obigen Grafik ist die Steigung der linearen Funktion gegeben sowie ein Punkt auf der Funktion. Wir können mittels der allgemeinen Funktionsgleichung für lineare Funktionen die Funktionsgleichung der obigen Funktion aus der gegebenen Steigung und dem gegebenen Punkt bestimmen. Dazu setzen wir die Steigung $m = -2,3$ und den Punkt P(5|-11) in die Funktionsgleichung ein:

$f(x) = mx + b$

Ein Punkt P(x|y) bzw. P(x | f(x)) wird so eingesetzt, dass der erste Wert anstelle von $x$ eingesetzt wird und der zweite Wert anstelle von $y$ bzw. $f(x)$ . Der Punkt (5|-11) wird also wie folgt eingesetzt:

$-11 = -2,3 \cdot 5 + b$

Wir können nun $b$ berechnen, indem wir die Funktionsgleichung nach $b$ auflösen:

$- 11 = -2,3 \cdot 5 + b$

$-11 = -11,5 + b$ | $+11,5$

$- 11 + 11,5 = b$

$0,5 = b$

Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ist bei $b = 0,5$ gegeben. Die Funktionsgleichung für die obige Funktion beträgt also:

$\boxed{f(x) = -2,3 x + 0,5}$

Bei dieser Vorgehensweise ist der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse nicht bekannt und muss zunächst berechnet werden.

Funktionsgleichung bestimmen: Punkt und Schnittpunkt bekannt

Funktionsgleichung 3 — Funktionsgleichung bestimmen

In der obigen Grafik ist ein Punkt auf der linearen Funktion gegeben sowie der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse. Nicht gegeben ist die Steigung $m$ , welche wir zunächst berechnen müssen. Dazu verwenden wir wieder die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion und setzen den Punkt P(-5 | 7,5) und den Schnittpunkt b = -1,5 in diese ein:

$f(x) = mx + b$

$7,5 = m \cdot (-5) - 1,5$ | $+1,5$

$7,5 + 1,5 = m \cdot (-5)$

$9 = m \cdot (-5)$ | $:(-5)$

$\frac{9}{-5} = m$

$-1,8 = m$

Die Steigung der Funktion beträgt $m = -1,8$ . Wir erhalten damit die folgende Funktionsgleichung:

$\boxed{f(x) = -1,8 x - 1,5}$

Nachdem du nun weißt, wie die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmt wird, wollen wir uns nun noch anschauen, wie du herausfindest, ob bestimmte Punkte auf einer Funktion liegen oder nicht.

Funktionsgleichung bestimmen: Zwei Punkte bekannt

Funktionsgleichung bestimmen – Lineare Funktion aus zwei Punkten

Gegeben seien die beiden Punkte P(-2|10) und Q(4|-10), die beide auf der linearen Funktion liegen. Du kannst nun mithilfe dieser beiden Punkte den Funktionsgraphen zeichnerisch bestimmen, indem du beide Punkte miteinander verbindest und die Funktion verlängerst. Willst du hingegen die Funktionsgleichung bestimmen, dann musst du zunächst die Steigung berechnen. Die Steigung aus zwei Punkten wird wie folgt berechnet:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Du ziehst also einfach die y-Werte und die x-Werte der beiden Punkte voneinander ab. Wichtig ist hierbei nur, dass der y-Wert und der x-Wert desselben Punktes untereinander liegen!

Die Steigung beträgt für die obige Funktion:

$m = \dfrac{10 - (-10)}{-2 - 4} = \dfrac{10 + 10}{-2 - 4} = \dfrac{20}{-6} == -3,33$

Die Steigung der Funktion beträgt $m = -3,33$ . Es liegt eine negative Steigung vor, damit ist die Funktion fallend. Um nun die Funktionsgleichung zu bestimmen, kannst du wie bereits oben gezeigt vorgehen und in die Funktionsgleichung einen der beiden Punkte sowie die Steigung einsetzen, um den Schnittpunkt $b$ mit der y-Achse zu bestimmen:

$10 = -3,33 \cdot (-2) + b$

$10 = 6,66 + b$ | $-6,66$

$3,34 = b$

Die Funktionsgleichung lautet demnach:

$y = -3,33x + 3,34$

Im folgenden Video zeigt dir Jessica, wie du die Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmst.

Lernclip

Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Funktionsgleichung bestimmen: Punkte auf Funktionen

Sollst du herausfinden, ob Punkte auf einer Funktion liegen, so setzt du den $x$ -Wert in die gegebene Funktionsgleichung ein und schaust, ob derselbe Funktionswert resultiert, wie im Punkt angegeben. Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Punkte auf Funktionen

Gegeben sei die lineare Funktion $f(x) = 2,5 x + 20$ . Prüfe ob die folgenden Punkte auf der Funktion liegen:

(4|30), (5|35), (16,4|61), (14,8|61)

Du setzt nun die x-Werte der Punkte in die gegebene Funktion ein:

(4|30): $f(x) = 2,5 \cdot 4 + 20 = 30$ Punkt liegt auf der Funktion

(5|35): $f(x) = 2,5 \cdot 5 + 20 = 32,5$ Punkt liegt nicht auf der Funktion

(16,4|61): $f(x) = 2,5 \cdot 16,4 + 20 = 61$ Punkt liegt auf der Funktion

(14,8|61): $f(x) = 2,5 \cdot 14,8 + 20 = 57$ Punkt liegt nicht auf der Funktion

Ist der Funktionswert mit dem zweiten Wert des Punktes identisch, dann liegt der Punkt auf der Funktion, ansonsten nicht.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit schauen wir uns an, wie die Nullstellen von linearen Funktionen bestimmt werden.

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