(Ma2-15) Steigung und Steigungswinkel

Wir schauen uns in dieser Lerneinheit die Steigung linearer Funktionen mal genauer an.

Zunächst musst du wissen, dass die Steigung bei linearen Funktionen immer konstant ist, d.h. in jedem Punkt gleich. Ausnahme bildet natürlich die Gerade, welche parallel zur x-Achse verläuft. Eine lineare Funktion hat die folgende allgemeine Funktionsgleichung:

$\boxed{f(x) = m x + b}$

Hierbei ist $m$ die Steigung der Funktion. Die Steigung einer linearen Funktion ist sehr einfach zu bestimmen. Dazu suchst du dir einen Punkt auf der Funktion und gehst von dort aus einen Schritt in x-Richtung (waagerecht) und dann so viele Schritte in y-Richtung (senkrecht), bis du die Funktion wieder erreichst. Schauen wir uns das mal in der folgenden Grafik an:

Steigung linearer Funktionen — Steigung konstant

Du siehst in der obigen Grafik eine lineare Funktion, für welche zwei Steigungen eingezeichnet sind. Die erste Steigung beginnt im Punkt P(1|0) auf der y-Achse. Von diesem Punkt ausgehend gehen wir beliebig 1 Schritt in x-Richtung. Danach müssen wir so viele Schritte in y-Richtung gehen, bis die Funktion erreicht wird. Demnach gehen wir 0,5 Schritte in y-Richtung.

Bei einer linearen Funktion kannst du auch mehr als einen Schritt in x-Richtung gehen, wie in der zweiten Steigung gezeigt. Dort beginnt die Steigung im Punkt P(2|2). Von dort gehen wir beliebig 2 Schritte in x-Richtung und dann 1 Schritt in y-Richtung, um die Funktion wieder zu erreichen.

Die Steigung bestimmt sich dann wie folgt:

$\boxed{m = \dfrac{\text{Schritte in y-Richtung}}{\text{Schritte in x-Richtung}}}$

Setzen wir nun für beide Steigungen die Schritte ein, so erhalten wir:

$m = \dfrac{0,5}{1} = 0,5$

$m = \dfrac{1}{2} = 0,5$

Die Steigung ist für beide identisch, denn bei linearen Funktionen ist die Steigung in jedem Punkt gleich.

Steigung aus zwei Punkten

Die Steigung einer linearen Funktion kann auch mithilfe von zwei Punkten P und Q – die auf dem Funktionsgraphen liegen – berechnet werden. Sind also zwei Punkte gegeben und du sollst daraus die Steigung berechnen, dann wendest du die folgende Gleichung an:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Hast du also zwei Punkte gegeben, so ziehst du im Zähler die beiden y-Koordinaten voneinander ab und im Nenner die beiden x-Koordinaten.

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Steigung aus zwei Punkten!

Gegeben seien die beiden Punkte P (2|1) und Q(1|3).

Bestimme die Steigung!

Du hast zwei Punkte gegeben. Du kannst jetzt zum Beispiel die Funktion zeichnen, indem du beide Punkte einträgst und diese dann miteinander verbindest (nur bei linearen Funktionen möglich). Dann hast du die Funktion gezeichnet und kannst wie oben bereits gezeigt die Steigung bestimmen. Hast du aber keine Zeit/Möglichkeit/Notwendigkeit die Funktion zu zeichnen, dann kannst du die Steigung auch ganz einfach rechnerisch aus den beiden Punkten ermitteln:

$m = \dfrac{3 - 1}{1-2} = \dfrac{2}{-1} = -2$

oder

$m = \dfrac{1-3}{2-1} = \dfrac{-2}{1} = -2$

Es ergibt sich eine Steigung von -2. Da die Steigung negativ ist, handelt es sich hier um eine fallende Funktion.

Welchen Punkt du von welchem abziehst ist egal, es resultiert dasselbe Ergebnis. Merke dir nur, dass der y-Wert und der x-Wert eines Punktes untereinander stehen müssen.

Steigungswinkel

Der Steigungswinkel ist nichts anderes als der Winkel von der Funktion zur Waagerechten. Es wird auch häufig von einem Neigungswinkel gesprochen. So kennst du mit Sicherheit das folgende Straßenschild:

Dieses Straßenschild zeigt die Steigung der Straße von 10% auf. Die 10%-Steigung bezieht sich auf die Waagerechte. Wir wollen uns nun anschauen, wie der Steigungswinkel berechnet wird. Schauen wir uns dazu die folgende Grafik mal genauer an:

Steigung und Steigungswinkel linearer Funktionen — Steigungswinkel

In der obigen Grafik siehst du eine lineare Funktion, für welche die Steigung eingezeichnet ist.

Aus der Steigung kannst du den Steigungswinkel der Funktion ganz einfach mittels der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck berechnen. Das Steigungsdreieck ist nämlich nichts anderes als ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel (=90°-Winkel) ist oben mit einem Punkt eingezeichnet.

Wir suchen den Steigungswinkel $\alpha$ . Dies ist der Winkel von der Funktion zur Waagerechten.

Steigungswinkel bestimmen

Betrachten wir die obige Grafik. Hier ist die waagerechte Linie des Steigungsdreiecks die Ankathete (liegt an dem Winkel $\alpha$ ), die senkrechte Linie die Gegenkathete (liegt gegenüber vom Winkel $\alpha$ ). Demnach können wir hier den Tanges anwenden:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{-1}{4}$ .

Die rechte Seite vom Gleichheitszeichens entspricht genau der Steigung m. Somit ergibt sich also der Zusammenhang, dass die Steigung $m$ und der Tangens des gesuchten Steigungswinkels $\alpha$ gleich sind:

$\boxed{m = \tan(\alpha)}$

Wir können aus diesem Zusammenhang als nächstes den Steigungswinkel berechnen:

$-0,25 = \tan{\alpha}$

Um nun daraus den Winkel $\alpha$ berechnen zu können, musst du auf beiden Seiten die Umkehrfunktion des Tangens anwenden, den Arkustangens ( $\tan^{-1}$ ). Auf der rechten Seite fällt der Tangens weg, auf der linken Seite bleibt er stehen:

$\tan^{-1}(-0,25) = \alpha$

Du kannst die linke Seite nun in den Taschenrechner eingeben und erhältst:

$-14,04^\circ = \alpha$

Der Winkel von der Waagerechten zur Funktion beträgt 14,04°. Das Minuszeichen zeigt dir an, dass es sich hierbei um eine Funktion handelt, die eine negative Steigung aufweist.

Merk's dir!

Ist ein positiver Winkel gegeben, so ist die Steigung ebenfalls positiv. Die Funktion steigt demnach. Um eine steigende Funktion zu erhalten musst du den Winkel von der Waagerechten ausgehend in einer Linksdrehung abtragen.

Bei einem negativen Winkel ist auch die Steigung negativ. Es handelt sich dann um eine fallende Funktion. In diesem Fall musst du den Winkel von der Waagerechten ausgehend in einer Rechtsdrehung abtragen.

In den folgenden drei Videos zeigt Jessica dir, wie du die Steigung und den Steigungswinkel bestimmst und wie du aus einem gegebenen Punkt und dem Steigungswinkel die Funktion zeichnerisch ermittelst.

Lernclips

Steigung und Steigungswinkel bestimmen!

Schauen wir uns nun mal ein Beispiele zur Berechnung des Steigungswinkels an:

Steigungswinkel bestimmen

Wir betrachten als nächstes zwei Beispiele zur Berechnung des Steigungswinkels von linearen Funktionen.

Beispiel 1 : Steigungswinkel bestimmen

Aufgabenstellung

Gegeben sei eine lineare Funktion mit einer Steigung von $m = 0,8$ . Die Funktion verläuft durch den Punkt P(0|2).

Bestimme den Steigungswinkel der Funktion!

Zeichne die Funktion!

Lösung

Der Steigungswinkel wird aus der Steigung ganz einfach mittels Tangens bestimmt:

$\tan(\alpha) = m$

$\tan(\alpha) = 0,8$

Als nächstes müssen wir die untere Gleichung nach dem Winkel $\alpha$ auflösen, indem wir den Arkustangens auf beiden Seiten anwenden. Auf der linken Seite bleibt der Winkel stehen, auf der rechten Seite muss der Arkustangens berücksichtigt werden.

$\alpha = \tan^{-1} (0,8)$

Das Ergebnis ist:

$m = 38,66^\circ$

Der Winkel von der Funktion zur Waagerechten beträgt 38,66°. Die Steigung ist positiv, demnach ist auch der Winkel positiv. Es handelt sich also um eine steigende Funktion.

Wir wissen nun also, dass die Funktion steigend ist und einen Winkel zur Waagerechten von 38,66° aufweist. Desweiteren kennen wir einen Punkt P(0|2), durch welchen die Funktion verläuft. Wir können nun ganz einfach die Funktion einzeichnen, indem wir vom gegebenen Punkt ausgehend eine waagerechte Linie zeichnen (Hilfslinie) und dann einen Winkel von 38,66° (in einer Linksdrehung) abtragen. Die Linksdrehung deshalb, weil der Winkel positiv ist und sich eine steigende Funktion ergeben muss.

Beispiel 2 : Steigungswinkel bestimmen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende lineare Funktion:

$f(x) = -1,6 x + 4$

Bestimme den Steigungswinkel der Funktion!

Lösung

Um den Steigungswinkel bestimmen zu können, benötigen wir die Steigung der Funktion. Du solltest bereits wissen, dass eine lineare Funktion die folgende allgemeine Funktionsgleichung aufweist:

$f(x) = mx + b$

Hierbei ist $m$ die Steigung der Funktion. In der gegebenen Funktionsgleichung ist also die Steigung $m = -1,6$ . Wir können nun den Steigungswinkel berechnen:

$\tan(\alpha) = m$

$\tan(\alpha ) = -1,6$

$\alpha = \tan^{-1} (-1,6)$

$\alpha = -57,99^\circ$

Der Steigungswinkel der Funktion beträgt -57,99°. Das negative Vorzeichen gibt – wie bei der Steigung – an, dass die Funktion fällt.

Bei dieser Variante kannst du entweder die Funktion mittels Funktionsgleichung zeichnen, indem du für $x$ die Werte einsetzt. Alternativ ziehst du, ausgehend vom Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse (b = 4), eine waagerechte Hilfslinie und trägst den Winkel $\alpha = 57,99^\circ$ in einer Rechtsdrehung (da negativ) von der Waagerechten ausgehend ab. Es handelt sich um eine Funktion mit einer negativen Steigung, demnach ist auch der Winkel negativ und die Funktion fällt. Die Angabe der Winkel erfolgt immer als Betrag (ohne Vorzeichen).

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie du die Funktionsgleichung von linearen Funktionen bestimmst.

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