(Ma2-14) Lineare Funktionen

In dieser Lerneinheit schauen wir uns eine lineare Funktion an.

Damit dir der Einstieg in die Funktionen ohne Probleme gelingt, beginnen wir mit den linearen Funktionen. In späteren Kurse kommen noch weitere Funktionen, wie zum Beispiel die quadratischen Funktionen, Exponentialfunktionen und Wurzelfunktionen dazu.

In dieser Lerneinheit zeigen wir dir

was eine lineare Funktion ist.
die Funktionsgleichung von linearen Funktion.
wie du die Steigung einer linearen Funktion bestimmst.
lineare Funktionen mit negativer Steigung sowie ohne Steigung.

Lineare Funktion

Den Namen haben die linearen Funktionen aus dem Lateinischen Wort “linearis“, welches soviel bedeutet wie “aus einer Linie bestehend“. Eine lineare Funktion ist demnach linienförmig bzw. geradlinig und wird auch häufig als Gerade bezeichnet.

In der obigen Grafik siehst du eine lineare Funktion. Die obige Funktion hat die Funktionsgleichung:

$f(x) = x + 4$ Funktionsgleichung

Die Definitionsmenge $D$ der gegebenen Funktion umfasst dabei alle reellen Zahlen:

$D = \{x \in \mathbb{R} \}$ Definitionsmenge

In Worten: $x$ ist Element aller reellen Zahlen. Das bedeutet, dass du für $x$ alle reellen Zahlen einsetzen kannst, auch die negativen reellen Zahlen. Setzt du zum Beispiel die reelle Zahl 4,25 in die Funktionsgleichung ein, so erhältst du den folgenden Funktionswert:

$f(x) = 4,25 + 4 = 8,25$

Es ergibt sich also der Punkt (4,25 | 8,25) im Koordinatensystem. Die Funktion verläuft genau durch diesen Punkt:

Setzt du also in die Funktionsgleichung für $x$ reelle Zahlen ein, so erhältst du den Funktionswert $f(x)$ an der Stelle $x$ . Zusammen bilden diese Werte einen Punkt (x|y) auf dem linearen Funktionsgraphen. Setzt du in die obige Funktion zum Beispiel $-4$ ein, so erhältst du:

$f(-4) = -4 + 4 = 0$

Bei $x = -4$ nimmt die Funktion den Wert Null an. Der Punkt ist also (-4|0). Hierbei handelt es sich um den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse.

Setzt du hingegen $x = 0$ in die Funktion ein, so erhältst du:

$f(0) = 0 + 4 = 4$

Bei $x = 0$ nimmt die Funktion den Wert 4 an. Der Punkt ist also (0|4). Hierbei handelt es sich um den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.

Merk's dir!

Dort wo der Funktionswert Null ( $f(x) = 0$ ) ist, ist der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse gegeben.

Dort wo der x-Wert Null ( $x = 0$ ) ist, ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse gegeben.

Funktionsgleichung: Lineare Funktion

Eine lineare Funktion weist immer die folgende allgemeine Funktionsgleichung auf:

$\boxed{f(x) = m x + b}$ Funktionsgleichung: Lineare Funktion

Hierbei ist $m$ die Steigung der Funktion und $b$ der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Steigung linearer Funktionen

Die Steigung von Funktionen ist besonders wichtig, weil diese anzeigt, ob die Funktion steigt oder fällt und ob sie steil oder flach verläuft. Mithilfe der Steigung kann auch die Funktionsgleichung einer Funktion bestimmt werden.

Schauen wir uns mal die nachfolgende lineare Funktion an:

Schauen wir uns für die obige lineare Funktion die Steigung $m$ an. Dazu beginnen wir an einem beliebigen Punkt auf der Funktion. So können wir hier zum Beispiel genau im Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse beginnen. Von dort aus gehen wir einen Schritt in x-Richtung (waagerecht) und danach so viele Schritte in y-Richtung (senkrecht), bis wir die Funktion erreichen. Im obigen Beispiel starten wir also bei (0|4) und gehen 1 Schritt in positive x-Richtung. Wir müssen dann 2 Schritte in positive y-Richtung gehen (von 4 zu 6), um den Funktionsgraphen zu erreichen.

Für die Steigung gilt, dass der Schritt in x-Richtung im Nenner und der Schritt in y-Richtung im Zähler steht:

$m = \frac{2}{1} = 2$

Die Steigung ist positiv, da wir beide Schritte in positive Achsenrichtung vornehmen. Damit handelt es sich um eine steigende Funktion.

Negative Steigung

Schauen wir uns mal an, wie eine lineare Funktion mit negativer Steigung aussieht:

In der obigen Grafik siehst du eine lineare Funktion mit negativer Steigung. Das erkennst du bereits daran, dass die Funktion von oben nach unten abfällt. Wir schauen uns wieder an, wie die Steigung berechnet wird. Dazu beginnst du wieder bei einem beliebigen Punkt auf der Funktion, hier: P(0|1). Du gehst 1 Schritt in positive $x$ -Richtung (waagerecht) und dann – um die Funktion zu erreichen – 5-Schritte in negative y-Richtung (senkrecht). Demnach schreibst du:

$m = \frac{-5}{1} = -5$

Die Steigung ist negativ. Es handelt sich also um eine abfallende Funktion. Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ist bei $b = 1$ gegeben. Du kannst nun wieder die Funktionsgleichung bestimmen:

$f(x) = m x + b$

$f(x) = -5x + 1$

Du siehst nun, dass vor dem $x$ ein negativer Wert (-5) steht. Das bedeutet, dass es sich hierbei um eine fallende lineare Funktion handelt.

Merk's dir!

Je nachdem welches Vorzeichen die Steigung aufweist, ist eine lineare Funktion bzw. Gerade steigend oder fallend. Ist die Steigung $m$ positiv sp spricht man von einer positiven Steigung und einer steigenden Gerade. Ist die Steigung $m$ hingegen negativ, so spricht man von einer negativen Steigung und damit fallenden Funktion.

Es gilt außerdem, dass je größer die Steigung $m$ ist, desto steiler verläuft die linearer Funktion und je kleiner demzufolge die Steigung $m$ ist, desto flacher verläuft die lineare Funktion.

Dazu kannst du dir folgendes merken:

Ist die Steigung m > 1, desto steiler steigt sie an. Ist die Steigung m < 1 desto flacher steigt sie an.

Ist die Steigung m < –1, desto steiler fällt sie. Ist die Steigung m > –1 desto flacher fällt sie.

Lineare Funktion ohne Steigung / ohne absolutes Glied

Lineare Funktionen können auch überhaupt keine Steigung aufweisen, dann ist $m = 0$ gegeben und die Funktionsgleichung der lineare Funktion hat die folgende Form:

$f(x) = b$

Ist dies der Fall, so verläuft der Funktionsgraph der linearen Funktion immer parallel zur x-Achse.

Es ist ebenfalls möglich, dass eine lineare Funktion kein absolutes Glied besitzt. Dann ist $b = 0$ und die Funktionsgleichung der lineare Funktion hat die folgende Form:

$f(x) = mx$

Ist dies der Fall, so verläuft der Funktionsgraph der linearen Funktion durch den Koordinatenursprung P(0|0). Man spricht dann von einer Ursprungsgeraden.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der nachfolgenden Lerneinheit schauen wir uns mal an, wie die Funktionsgleichung von linearen Funktionen bestimmt werden kann.

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