MA2 – Lineare Funktionen [Grundlagen, Erklärung, Videoclips, Aufgaben & Tipps]

In dieser Lerneinheit schauen wir uns eine lineare Funktion an.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme:

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Lineare Funktionen | Grundlagen

Das Verständnis und die Darstellung von linearen Funktionen sind grundlegende Konzepte in der Algebra.

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine mathematische Funktion, die eine gerade Linie im Koordinatensystem darstellt. Sie hat die allgemeine Form: $y = mx + b$ wobei:

y die abhängige Variable ist,
x die unabhängige Variable ist,
m die Steigung der Geraden ist,
b der y-Achsenabschnitt (y-Intercept) ist.

Eigenschaften von linearen Funktionen

Gerade Linie: Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine gerade Linie.
Konstante Steigung: Die Steigung $m$ gibt die Steilheit der Geraden an und ist konstant.
y-Achsenabschnitt: Der Wert b ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Schritte zur graphischen Darstellung einer linearen Funktion

Bestimmen der Funktionsgleichung: Identifiziere die Gleichung der Form $y= m x + b$ .
Erstellen einer Wertetabelle: Wähle einige Werte für x und berechne die entsprechenden Werte für y.
Zeichnen des Koordinatensystems: Zeichne ein Koordinatensystem mit x- und y-Achsen.
Punkte eintragen: Trage die in der Wertetabelle berechneten Punkte in das Koordinatensystem ein.
Gerade einzeichnen: Verbinde die Punkte, um die gerade Linie zu erhalten.

Damit dir der Einstieg in die Funktionen ohne Probleme gelingt, beginnen wir mit den linearen Funktionen. In späteren Kursen kommen noch weitere Funktionen, wie zum Beispiel die quadratischen Funktionen, Exponentialfunktionen und Wurzelfunktionen dazu.

In dieser Lerneinheit zeigen wir dir

was eine lineare Funktion ist.
die Funktionsgleichung von linearen Funktion.
wie du die Steigung einer linearen Funktion bestimmst.
lineare Funktionen mit negativer Steigung sowie ohne Steigung.

Lineare Funktion | Funktionsgleichung

Den Namen haben die linearen Funktionen aus dem Lateinischen Wort “linearis“, welches soviel bedeutet wie “aus einer Linie bestehend“. Eine lineare Funktion ist demnach linienförmig bzw. geradlinig und wird auch häufig als Gerade bezeichnet.

Lineare Funktionen | Darstellung im Koordinatensystem

In der obigen Grafik siehst du eine lineare Funktion. Die obige Funktion hat die Funktionsgleichung:

Funktionsgleichung

$f(x) = x + 4$

Die Definitionsmenge $D$ der gegebenen Funktion umfasst dabei alle reellen Zahlen:

Definitionsmenge

$D = \{x \in \mathbb{R} \}$

In Worten: $x$ ist Element aller reellen Zahlen. Das bedeutet, dass du für $x$ alle reellen Zahlen einsetzen kannst, auch die negativen reellen Zahlen. Setzt du zum Beispiel die reelle Zahl 4,25 in die Funktionsgleichung ein, so erhältst du den folgenden Funktionswert:

$f(x) = 4,25 + 4 = 8,25$

Es ergibt sich also der Punkt (4,25 | 8,25) im Koordinatensystem. Die Funktion verläuft genau durch diesen Punkt:

Lineare Funktionen | Punkt auf der Geraden im Koordinatensystem

Setzt du also in die Funktionsgleichung für $x$ reelle Zahlen ein, so erhältst du den Funktionswert $f(x)$ an der Stelle $x$ . Zusammen bilden diese Werte einen Punkt (x|y) auf dem linearen Funktionsgraphen. Setzt du in die obige Funktion zum Beispiel $-4$ ein, so erhältst du:

$f(-4) = -4 + 4 = 0$

Bei $x = -4$ nimmt die Funktion den Wert Null an. Der Punkt ist also (-4|0). Hierbei handelt es sich um den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse.

Setzt du hingegen $x = 0$ in die Funktion ein, so erhältst du:

$f(0) = 0 + 4 = 4$

Bei $x = 0$ nimmt die Funktion den Wert 4 an. Der Punkt ist also (0|4). Hierbei handelt es sich um den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.

Merk’s dir!

Dort wo der Funktionswert Null ( $f(x) = 0$ ) ist, ist der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse gegeben.

Dort wo der x-Wert Null ( $x = 0$ ) ist, ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse gegeben.

Funktionsgleichung | Lineare Funktion

Eine lineare Funktion weist immer die folgende allgemeine Funktionsgleichung auf:

Funktionsgleichung: Lineare Funktion

$f(x) = m x + b$

Hierbei ist $m$ die Steigung der Funktion und $b$ der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Steigung linearer Funktionen

Die Steigung von Funktionen ist besonders wichtig, weil diese anzeigt, ob die Funktion steigt oder fällt und ob sie steil oder flach verläuft. Mithilfe der Steigung kann auch die Funktionsgleichung einer Funktion bestimmt werden.

Schauen wir uns mal die nachfolgende lineare Funktion an:

Steigung linearer Funktionen | Übersicht im Koordinatensystem

Schauen wir uns für die obige lineare Funktion die Steigung $m$ an. Dazu beginnen wir an einem beliebigen Punkt auf der Funktion. So können wir hier zum Beispiel genau im Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse beginnen. Von dort aus gehen wir einen Schritt in x-Richtung (waagerecht) und danach so viele Schritte in y-Richtung (senkrecht), bis wir die Funktion erreichen. Im obigen Beispiel starten wir also bei (0|4) und gehen 1 Schritt in positive x-Richtung. Wir müssen dann 2 Schritte in positive y-Richtung gehen (von 4 zu 6), um den Funktionsgraphen zu erreichen.

Für die Steigung gilt, dass der Schritt in x-Richtung im Nenner und der Schritt in y-Richtung im Zähler steht:

$m = \frac{2}{1} = 2$

Die Steigung ist positiv, da wir beide Schritte in positive Achsenrichtung vornehmen. Damit handelt es sich um eine steigende Funktion.

Negative Steigung

Schauen wir uns mal an, wie eine lineare Funktion mit negativer Steigung aussieht:

In der obigen Grafik siehst du eine lineare Funktion mit negativer Steigung. Das erkennst du bereits daran, dass die Funktion von oben nach unten abfällt. Wir schauen uns wieder an, wie die Steigung berechnet wird. Dazu beginnst du wieder bei einem beliebigen Punkt auf der Funktion, hier: P(0|1). Du gehst 1 Schritt in positive $x$ -Richtung (waagerecht) und dann – um die Funktion zu erreichen – 5-Schritte in negative y-Richtung (senkrecht). Demnach schreibst du:

$m = \frac{-5}{1} = -5$

Die Steigung ist negativ. Es handelt sich also um eine abfallende Funktion. Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ist bei $b = 1$ gegeben. Du kannst nun wieder die Funktionsgleichung bestimmen:

$f(x) = m x + b$

$f(x) = -5x + 1$

Du siehst nun, dass vor dem $x$ ein negativer Wert (-5) steht. Das bedeutet, dass es sich hierbei um eine fallende lineare Funktion handelt.

Merk’s dir!

Je nachdem welches Vorzeichen die Steigung aufweist, ist eine lineare Funktion bzw. Gerade steigend oder fallend. Ist die Steigung $m$ positiv sp spricht man von einer positiven Steigung und einer steigenden Gerade. Ist die Steigung $m$ hingegen negativ, so spricht man von einer negativen Steigung und damit fallenden Funktion.

Es gilt außerdem, dass je größer die Steigung $m$ ist, desto steiler verläuft die linearer Funktion und je kleiner demzufolge die Steigung $m$ ist, desto flacher verläuft die lineare Funktion.

Dazu kannst du dir folgendes merken:

Ist die Steigung m > 1, desto steiler steigt sie an. Ist die Steigung m < 1 desto flacher steigt sie an.

Ist die Steigung m < –1, desto steiler fällt sie. Ist die Steigung m > –1 desto flacher fällt sie.

Lineare Funktion ohne Steigung / ohne absolutes Glied

Lineare Funktion ohne Steigung | Übersicht im Koordinatensystem

Lineare Funktionen können auch überhaupt keine Steigung aufweisen, dann ist $m = 0$ gegeben und die Funktionsgleichung der lineare Funktion hat die folgende Form:

$f(x) = b$

Ist dies der Fall, so verläuft der Funktionsgraph der linearen Funktion immer parallel zur x-Achse.

Ursprungsgerade | Darstellung im Koordinatensystem

Es ist ebenfalls möglich, dass eine lineare Funktion kein absolutes Glied besitzt. Dann ist $b = 0$ und die Funktionsgleichung der lineare Funktion hat die folgende Form:

$f(x) = mx$

Ist dies der Fall, so verläuft der Funktionsgraph der linearen Funktion durch den Koordinatenursprung P(0|0). Man spricht dann von einer Ursprungsgeraden.

Anwendung von Linearen Funktionen

Mathematik: Grundlagen der Algebra und der Analysis.
Physik: Darstellung von Gleichgewichts- und Proportionalitätsbeziehungen.
Wirtschaft: Analyse von linearen Kosten-, Einnahmen- und Gewinnfunktionen.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist eine lineare Funktion?

Eine Funktion, die eine gerade Linie im Koordinatensystem darstellt und die Form $y = mx + b$ hat.

2. Was bedeutet die Steigung m?

Die Steigung m gibt die Steilheit der Geraden an und beschreibt, wie stark y sich ändert, wenn x um eine Einheit zunimmt.

3. Was ist der y-Achsenabschnitt b?

Der y-Achsenabschnitt b ist der Wert von y, wenn . Es ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

4. Wie zeichnet man eine lineare Funktion?

Erstelle eine Wertetabelle, trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte, um die Gerade zu zeichnen.

5. Warum sind lineare Funktionen wichtig?

Lineare Funktionen sind grundlegende mathematische Werkzeuge, die in vielen Bereichen wie Mathematik, Physik und Wirtschaft verwendet werden.

Zusammenfassung

Lineare Funktionen sind wesentliche mathematische Konzepte, die durch ihre Gleichung der Form $y = mx + b$ definiert sind. Sie stellen gerade Linien im Koordinatensystem dar und haben eine konstante Steigung sowie einen y-Achsenabschnitt.

Durch das Erstellen von Wertetabellen und das Zeichnen von Graphen können diese Funktionen visualisiert und analysiert werden.

Lineare Funktionen finden in verschiedenen wissenschaftlichen und wirtschaftlichen Bereichen Anwendung und sind grundlegende Werkzeuge zur Analyse und Modellierung von Daten und Beziehungen.

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit schauen wir uns mal an, wie die Funktionsgleichung von linearen Funktionen bestimmt werden kann.

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