MA2 – Funktionen darstellen [Grundlagen, Erklärung, Videoclips, Aufgaben & Tipps]

In dieser Lerneinheit zeigen wir die was Funktionen sind und wie du Funktionen darstellen kannst.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme:

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Funktionen darstellen | Grundlagen

Funktionen darstellen | Wertetabelle oder Koordinatensystem

Das Darstellen von Funktionen ist ein grundlegender Teil der Mathematik, der es ermöglicht, Beziehungen zwischen Variablen zu visualisieren und zu analysieren.

Was bedeutet „Funktionen darstellen“?

Das Darstellen von Funktionen bedeutet, die Beziehung zwischen einer unabhängigen Variablen (oft $x$ ) und einer abhängigen Variablen (oft $y$ ) graphisch, algebraisch oder tabellarisch zu präsentieren. Dies hilft, das Verhalten und die Eigenschaften der Funktion zu verstehen.

Methoden zur Darstellung von Funktionen

Graphische Darstellung: Zeichnen der Funktion in einem Koordinatensystem, um die Beziehung zwischen x und y zu visualisieren.
Algebraische Darstellung: Verwendung einer Gleichung, um die Funktion darzustellen, z.B. $y = f (x)$ .
Tabellarische Darstellung: Erstellen einer Tabelle, die ausgewählte Werte von $x$ und die entsprechenden Werte von y zeigt.

Schritte zur graphischen Darstellung einer Funktion

Bestimmen der Funktionsgleichung: Identifizieren der Gleichung, die die Beziehung zwischen x und y beschreibt, z.B. $y = 2 x + 3$ .
Erstellen einer Wertetabelle: Wähle einige Werte für $x$ und berechne die entsprechenden Werte für y.
Zeichnen des Koordinatensystems: Zeichne ein Koordinatensystem mit x- und y-Achsen.
Punkte eintragen: Trage die in der Wertetabelle berechneten Punkte in das Koordinatensystem ein.
Funktion einzeichnen: Verbinde die Punkte, um den Verlauf der Funktion zu zeigen.

Nachdem wir uns Zuordnungen angeschaut haben und du bereits weist, wie Gleichungen und Ungleichungen gelöst werden, lernst du innerhalb der folgenden Lerneinheiten die linearen Funktionen bzw. Geraden kennen.

Wir zeigen dir im Zusammenhang mit – Funktionen darstellen – wie du,

Geraden einzeichnest,
die Steigung von Geraden bestimmst,
die Schnittpunkte mit der x-Achse ermittelst,
den Schnittpunkt zweier Geraden berechnest

Schauen wir uns in dieser Lerneinheit zunächst einmal die Definition einer Funktion an und wie sich Funktionen darstellen lassen.

Funktionen darstellen | Definition

Eine Funktion ist nichts anderes als die eindeutige Zuordnung zweier Mengen. Dabei wird jedem Element der Definitionsmenge $D$ genau ein Element der Wertemenge $W$ zugeordnet. Die Elemente aus der Definitionsmenge $D$ werden meist mit $x$ bezeichnet und auf der waagerechten Achse, der Abzisse, abgetragen. Die Werte aus der Wertemenge $W$ bezeichnet man mit $y$ oder $f(x)$ (“f von x”) und werden auf der senkrechten Achse, der Ordinate, abgetragen.

Man schreibt auch:

Funktion darstellen

$y = f(x)}$

Hierbei ist $f(x)$ der Funktionswert $f$ an der Stelle $x$ , diesen können wir auch mit $y$ bezeichnen.

Merk’s dir!

Die Definitionsmenge $D$ einer Funktion ist die Menge aller unabhängigen Variablen. Die Wertemenge $W$ einer Funktion ist die Menge aller Funktionswerte, die aus den Elementen der Definitionsmenge entstehen.

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

Beispiel!

Du sitzt in der Technikerschule und wartest auf die Verteilung der Ergebnisse der letzten Matheprüfung. Insgesamt haben 30 Techniker/innen an der Prüfung teilgenommen. Die Auswertung fällt wie folgt aus:

Note	1,0	1,3	1,7	2,0	2,3	2,7	3,0	3,3	3,7	4,0	5,0
Anzahl Prüflinge	1	2	2	4	6	4	3	3	2	2	1

Bei dieser Zuordnung handelt es sich um eine Funktion, da jeder Prüfling für die Prüfung nur eine Note erhalten kann. Umgekehrt kann aber eine Note an mehrere Prüflinge vergeben werden. So haben zum Beispiel insgesamt 6 Prüflinge eine 2,3 erhalten. Es kann aber kein Prüfling zwei Noten erhalten. Demnach handelt es sich bei der Note um die Wertemenge und bei der Anzahl der Prüflinge um die Definitionsmenge.

Merk’s dir!

Jeder Wert der Definitionsmenge kann nur einen Wert der Wertemenge erhalten.

Funktionen darstellen | Möglichkeiten

Wir wollen uns nun mal anschauen, wie sich eindeutige Zuordnungen also Funktionen darstellen lassen.

Du kannst Funktionen darstellen durch

einen Sachtext.
eine Wertetabelle.
einen Graphen.
eine Funktionsgleichung.

Variante 1 | Sachtext

In einem Baumarkt kostet eine Packung Batterien 2,50 €.

Bei dieser Zuordnung handelt es sich um eine Funktion, da jede Packung Batterien nur einen Preis erhalten kann. Umgekehrt kann aber der Preis an mehrere Packungen Batterien vergeben werden. So kann eine zweite Packung Batterien ebenfalls 2,50 € kosten. Die Packung Batterien kann aber nicht mehrere Preise erhalten.

Sachtext: Funktion

Jeder Packung Batterien wird also genau ein Preis zugeordnet. Die Packung Batterien ist die Definitionsmenge $D$ , der Preis die Wertemenge $W$ .

In diesem Fall umfasst die Definitionsmenge $D$ alle positiven ganzen Zahlen $\mathbb{N}^+$ , da keine negative Menge an Batterien gekauft werden kann und die Packung nicht geteilt werden kann. Die Wertmenge $W$ umfasst alle positiven reellen Zahlen $\mathbb{R}^+$ , da kein negativer Preis bezahlt werden kann.

Variante 2 | Wertetabelle

Wir können die Beziehung zwischen der Packung Batterien $x$ und dem Preis $y$ auch in Tabellenform darstellen. Wir tragen hierzu in die Tabelle ein, welcher Preis $y$ für $x = 1,2,3...$ Packungen Batterien bezahlt werden muss.

Preis	2,50 €	5 €	7,5 €	10 €	12,5 €	15 €	17,50	20 €	22,5 €	25€
Packungen Batterien	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Funktionen darstellen

Variante 3 | Funktionsgraph

Wir können die Funktion auch grafisch in einem Koordinatensystem darstellen. Hierbei wird die Definitionsmenge $D$ (Packung Batterien) auf der $x$ -Achse abgetragen, die Wertemenge $W$ (Preis) auf der y-Achse. Dabei trägst du die zusammengehörigen Zuordnungen als Punkt im Koordinatensystem ein, so zum Beispiel:

P1(1|2,50€)

Der erste Punkt spiegelt die erste Zuordnung wider. Bei 1 Packung Batterien beträgt der Preis 2,50 €.

Merk’s dir!

Bei der Angabe von Punkten in einem Koordinatensystem steht der x-Wert immer an erster und der y-Wert an zweiter Stelle.

Schauen wir uns die obige eindeutige Zuordnung, also Funktion, mal im Koordinatensystem an:

Funktionen darstellen | Eindeutige Zuordnung im Koordinatensystem

Du siehst, dass insgesamt 10 Punkte in das Koordinatensystem übertragen wurden. Hierbei handelt es sich um die Zuordnungen aus der Wertetabelle. Du kannst diese Punkte nun miteinander verbinden. Du erhältst dann den Funktionsgraphen. Überlege dir vorher, ob die Funktion im Koordinatenursprung P(0,0) beginnt. Wenn du 0 Packungen Batterien kaufst, dann musst du 0 € als Preis zahlen. Demnach beginnt die Funktion im Koordinatenursprung:

Funktionen darstellen

Variante 4 | Funktionsgleichung

Eine Funktion kann ebenfalls mit einer Funktionsgleichung dargestellt werden. Mit Hilfe der Funktionsgleichung lässt sich jeder Funktionswert direkt berechnen.

Für unser Beispiel lautet die Funktionsgleichung:

$f(x) = 2,5 x$ bzw. $y = 2,5 x$

Die Schreibweise $f(x)$ gibt den Funktionswert an der Stelle $x$ an, den wir auch $y$ nennen können. In unserem Beispiel ist der Funktionswert der Preis.

Mithilfe der Funktionsgleichung können wir nun den Funktionswert $f(x)$ bzw. $y$ an jeder beliebigen Stelle berechnen. So können wir zum Beispiel den Funktionswert (Preis) für eine Menge von $x = 10.000$ Packungen Batterien bestimmen:

$f(10.000)=2,5 \cdot 10.000 = 25.000 €$

Bei einer Menge von 10.000 Packungen Batterien zahlst du einen Preis von 25.000 €.

Anwendung der Darstellung von Funktionen

Mathematik: Verständnis und Analyse von Funktionen und deren Verhalten.
Physik: Darstellung von physikalischen Gesetzen und Beziehungen.
Wirtschaft: Visualisierung von ökonomischen Modellen und Daten.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was bedeutet „eine Funktion darstellen“?

Es bedeutet, die Beziehung zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variablen graphisch, algebraisch oder tabellarisch zu präsentieren.

2. Wie erstellt man eine Wertetabelle?

Wähle einige Werte für x und berechne die entsprechenden Werte für y mithilfe der Funktionsgleichung.

3. Warum ist die graphische Darstellung von Funktionen wichtig?

Sie hilft, das Verhalten und die Eigenschaften der Funktion zu visualisieren und zu analysieren.

4. Was ist eine lineare Funktion?

Eine Funktion, die eine Gerade im Koordinatensystem darstellt, z.B. y=2x+3.

5. Kann jede Funktion graphisch dargestellt werden?

Ja, jede Funktion kann graphisch dargestellt werden, obwohl einige Funktionen komplexere Graphen haben als andere.

Zusammenfassung

Das Darstellen von Funktionen ist eine wesentliche Fähigkeit in der Mathematik, die es ermöglicht, Beziehungen zwischen Variablen zu visualisieren und zu analysieren. Es gibt verschiedene Methoden zur Darstellung, einschließlich graphischer, algebraischer und tabellarischer Darstellungen.

Durch das Zeichnen von Funktionen in einem Koordinatensystem können wir das Verhalten und die Eigenschaften der Funktion besser verstehen.

Diese Methoden sind in der Mathematik, Physik, Wirtschaft und vielen anderen Bereichen von grundlegender Bedeutung.

Was kommt als Nächstes?

Nach dem Thema Funktionen darstellen, wollen wir uns in der folgenden Lerneinheit die linearen Funktionen mal genauer anschauen.

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