(Ma2-13) Funktionen darstellen

In dieser Lerneinheit zeigen wir die was Funktionen sind und wie du Funktionen darstellen kannst.

Nachdem wir uns Zuordnungen angeschaut haben und du bereits weist, wie Gleichungen und Ungleichungen gelöst werden, lernst du innerhalb der folgenden Lerneinheiten die linearen Funktionen bzw. Geraden kennen.

Wir zeigen dir im Zusammenhang mit – Funktionen darstellen – wie du,

Geraden einzeichnest,
die Steigung von Geraden bestimmst,
die Schnittpunkte mit der x-Achse ermittelst,
den Schnittpunkt zweier Geraden berechnest

Schauen wir uns in dieser Lerneinheit zunächst einmal die Definition einer Funktion an und wie sich Funktionen darstellen lassen.

Funktionen darstellen: Definition

Eine Funktion ist nichts anderes als die eindeutige Zuordnung zweier Mengen. Dabei wird jedem Element der Definitionsmenge $D$ genau ein Element der Wertemenge $W$ zugeordnet. Die Elemente aus der Definitionsmenge $D$ werden meist mit $x$ bezeichnet und auf der waagerechten Achse, der Abzisse, abgetragen. Die Werte aus der Wertemenge $W$ bezeichnet man mit $y$ oder $f(x)$ (“f von x”) und werden auf der senkrechten Achse, der Ordinate, abgetragen.

Man schreibt auch:

$\boxed{y = f(x)}$

Hierbei ist $f(x)$ der Funktionswert $f$ an der Stelle $x$ , diesen können wir auch mit $y$ bezeichnen.

Merk's dir!

Die Definitionsmenge $D$ einer Funktion ist die Menge aller unabhängigen Variablen. Die Wertemenge $W$ einer Funktion ist die Menge aller Funktionswerte, die aus den Elementen der Definitionsmenge entstehen.

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Funktion

Du sitzt in der Technikerschule und wartest auf die Verteilung der Ergebnisse der letzten Matheprüfung. Insgesamt haben 30 Techniker/innen an der Prüfung teilgenommen. Die Auswertung fällt wie folgt aus:

Note	1,0	1,3	1,7	2,0	2,3	2,7	3,0	3,3	3,7	4,0	5,0
Anzahl Prüflinge	1	2	2	4	6	4	3	3	2	2	1

Bei dieser Zuordnung handelt es sich um eine Funktion, da jeder Prüfling für die Prüfung nur eine Note erhalten kann. Umgekehrt kann aber eine Note an mehrere Prüflinge vergeben werden. So haben zum Beispiel insgesamt 6 Prüflinge eine 2,3 erhalten. Es kann aber kein Prüfling zwei Noten erhalten. Demnach handelt es sich bei der Note um die Wertemenge und bei der Anzahl der Prüflinge um die Definitionsmenge.

Merk's dir!

Jeder Wert der Definitionsmenge kann nur einen Wert der Wertemenge erhalten.

Funktionen darstellen

Wir wollen uns nun mal anschauen, wie sich eindeutige Zuordnungen also Funktionen darstellen lassen.

Du kannst Funktionen darstellen durch

einen Sachtext.
eine Wertetabelle.
einen Graphen.
eine Funktionsgleichung.

Sachtext

In einem Baumarkt kostet eine Packung Batterien 2,50 €.

Bei dieser Zuordnung handelt es sich um eine Funktion, da jede Packung Batterien nur einen Preis erhalten kann. Umgekehrt kann aber der Preis an mehrere Packungen Batterien vergeben werden. So kann eine zweite Packung Batterien ebenfalls 2,50 € kosten. Die Packung Batterien kann aber nicht mehrere Preise erhalten.

undefiniert

Sachtext: Funktion

Jeder Packung Batterien wird also genau ein Preis zugeordnet. Die Packung Batterien ist die Definitionsmenge $D$ , der Preis die Wertemenge $W$ .

In diesem Fall umfasst die Definitionsmenge $D$ alle positiven ganzen Zahlen $\mathbb{N}^+$ , da keine negative Menge an Batterien gekauft werden kann und die Packung nicht geteilt werden kann. Die Wertmenge $W$ umfasst alle positiven reellen Zahlen $\mathbb{R}^+$ , da kein negativer Preis bezahlt werden kann.

Wertetabelle

Wir können die Beziehung zwischen der Packung Batterien $x$ und dem Preis $y$ auch in Tabellenform darstellen. Wir tragen hierzu in die Tabelle ein, welcher Preis $y$ für $x = 1,2,3...$ Packungen Batterien bezahlt werden muss.

Preis	2,50 €	5 €	7,5 €	10 €	12,5 €	15 €	17,50	20 €	22,5 €	25€
Packungen Batterien	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Funktionen darstellen

Funktionsgraph

Wir können die Funktion auch grafisch in einem Koordinatensystem darstellen. Hierbei wird die Definitionsmenge $D$ (Packung Batterien) auf der $x$ -Achse abgetragen, die Wertemenge $W$ (Preis) auf der y-Achse. Dabei trägst du die zusammengehörigen Zuordnungen als Punkt im Koordinatensystem ein, so zum Beispiel:

P1(1|2,50€)

Der erste Punkt spiegelt die erste Zuordnung wider. Bei 1 Packung Batterien beträgt der Preis 2,50 €.

Merk's dir!

Bei der Angabe von Punkten in einem Koordinatensystem steht der x-Wert immer an erster und der y-Wert an zweiter Stelle.

Schauen wir uns die obige eindeutige Zuordnung, also Funktion, mal im Koordinatensystem an:

Du siehst, dass insgesamt 10 Punkte in das Koordinatensystem übertragen wurden. Hierbei handelt es sich um die Zuordnungen aus der Wertetabelle. Du kannst diese Punkte nun miteinander verbinden. Du erhältst dann den Funktionsgraphen. Überlege dir vorher, ob die Funktion im Koordinatenursprung P(0,0) beginnt. Wenn du 0 Packungen Batterien kaufst, dann musst du 0 € als Preis zahlen. Demnach beginnt die Funktion im Koordinatenursprung:

Funktionen darstellen

Funktionsgleichung

Eine Funktion kann ebenfalls mit einer Funktionsgleichung dargestellt werden. Mit Hilfe der Funktionsgleichung lässt sich jeder Funktionswert direkt berechnen.

Für unser Beispiel lautet die Funktionsgleichung:

$f(x) = 2,5 x$ bzw. $y = 2,5 x$

Die Schreibweise $f(x)$ gibt den Funktionswert an der Stelle $x$ an, den wir auch $y$ nennen können. In unserem Beispiel ist der Funktionswert der Preis.

Mithilfe der Funktionsgleichung können wir nun den Funktionswert $f(x)$ bzw. $y$ an jeder beliebigen Stelle berechnen. So können wir zum Beispiel den Funktionswert (Preis) für eine Menge von $x = 10.000$ Packungen Batterien bestimmen:

$f(10.000)=2,5 \cdot 10.000 = 25.000 €$

Bei einer Menge von 10.000 Packungen Batterien zahlst du einen Preis von 25.000 €.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nach dem Thema Funktionen darstellen, wollen wir uns in der folgenden Lerneinheit die linearen Funktionen mal genauer anschauen.

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