MA2 – Lineare Gleichungen mit Formvariablen lösen [Grundlagen, Erklärung, Videoclips, Aufgaben & Tipps]

In dieser Lerneinheit behandeln wir lineare Gleichungen mit Formvariablen und wollen und schauen, wie wir die Formvariablen bei der Lösung der Gleichungen berücksichtigen müssen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme:

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Gleichungen mit Formvariablen lösen | Grundlagen

Das Lösen von Gleichungen mit Formvariablen ist ein wichtiger Teil der Algebra, der darin besteht, allgemeine Lösungen in Abhängigkeit von Parametern oder Koeffizienten zu finden.

Was sind Gleichungen mit Formvariablen?

Gleichungen mit Formvariablen sind Gleichungen, die neben der Unbekannten (z.B. $x$ ) auch andere Variablen enthalten, die als Parameter oder Koeffizienten auftreten. Diese Variablen werden oft als Formvariablen bezeichnet und symbolisieren allgemeine Zahlen oder Funktionen.

Schritte zum Lösen von Gleichungen mit Formvariablen

Identifizieren der Gleichung: Bestimme die Gleichung und die Formvariablen.
Isolieren der Unbekannten: Versuche, die Unbekannte (z.B. $x$ ) auf einer Seite der Gleichung zu isolieren.
Manipulation der Gleichung: Verwende algebraische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), um die Gleichung in eine lösbare Form zu bringen.
Ausdrücken der Unbekannten in Formvariablen: Löse die Gleichung so, dass die Unbekannte als Funktion der Formvariablen dargestellt wird.

In den vorangegangenen Lerneinheiten hast du bereits lineare Gleichungen nach einer Variable x aufgelöst. Hier war x die unbekannte zu bestimmende Variable. In diesem Fall wollen wir auch wieder lineare Gleichungen betrachten und diese nach einer unbekannten Variable auflösen. Wir werden nun aber Gleichungen betrachten, die keine Zahlenwerte mehr (oder nicht nur Zahlenwerte) sondern auch Formvariablen aufweisen.

Formvariablen oder auch Parameter sind keine unbekannten Variablen. Sie bestimmen die Form der Gleichungen und du kannst sie dir als Platzhalter für Zahlenwerte vorstellen.

Schauen wir uns dazu mal ein einfaches Beispiel an.

Beispiel: Dichte!

Die Dichte $\rho$ von Stoffen kannst du über die folgende allgemeine Gleichung bestimmen:

$\rho = \dfrac{V}{m}$ Dichte berechnen

Hier steht V für das Volumen, welches der Stoff einnimmt und m für die Masse (in kg) des betrachteten Stoffs. Dies ist eine festgelegte Gleichung zur Berechnung der Dichte.

Die Dichte ist in diesem Fall die unbekannte Größe, das Volumen und die Masse sind die Formvariablen. Du kannst diese Gleichung also verwenden, um für verschiedene Stoffe die Dichte zu berechnen. Dazu benötigst du lediglich das Volumen und die Masse.

Nun nehmen wir an, du kennst die Dichte und die Masse eines Stoffs. Dann kannst du aus der obigen Gleichung das Volumen berechnen. Dazu musst du die obige Gleichung aber nach der unbekannten Größe (jetzt dem Volumen) auflösen:

$V = \rho \cdot m$ Volumen berechnen

Wir haben also nichts anderes gemacht, als eine Gleichung mit Formvariablen nach der unbekannten Größe umgestellt. In diesem Fall ist das Volumen die unbekannte Variable, Masse und Dichte sind die Formvariablen.

Die obige allgemeine Gleichung zur Bestimmung der Dichte ist also eine Lösungsformel für Dichte, Volumen oder Masse (je nachdem welche Größen gegeben sind). Es gibt unzählige solcher Lösungsformeln, für die am Ende nur noch Zahlenwerte eingesetzt werden müssen.

Wir wollen uns nun anschauen, wie wir Gleichungen mit Formvariablen nach einer unbekannten Variable auflösen können.

Gleichungen mit Formvariablen auflösen

Bei der Lösung von Gleichungen mit Formvariablen löst du diese Gleichung nach der unbekannten Variable auf. Welches die unbekannte Variable ist, muss natürlich vorher bekannt sein.

Bei der Lösung solcher Gleichungen gehst du genau so vor, wie bei der Auflösung von linearen Gleichungen und führst auf beiden Seiten der Gleichung genau dieselben Berechnungen durch.

Betrachten wir hierzu mal ein Beispiel:

Beispiel: Gleichungen mit Formvariablen!

Gegeben sei die folgende Gleichung:

$a^2 = x - 2a(1 + a)$

Löse die Gleichung nach x auf!

Wir wollen die obige Gleichung nach der unbekannten Variable x auflösen. Dazu muss diese auf einer Seite alleine stehen. x steht auf der rechten Seite, also können wir x auf dieser Seite stehen lassen. Auf der rechten Seite sind zwei Glieder gegeben:

Gleichungen mit Formvariablen lösen | 1. Glied und 2. Glied

Wir bringen nun das 2. Glied auf die linke Seite, indem wir auf beiden Seiten +2a(1+a) rechnen, denn dann fällt das 2. Glied auf der rechten Seite weg:

$a^2 + 2a(1+a) = x$ | $+2a(1+a)$

Jetzt schauen wir noch, ob wir die Gleichung zusammenfassen können. Dazu lösen wir zunächst die Klammer auf:

$a^2 + 2a+ 2a^2 = x$

Wir können gleiche Glieder zusammenfassen. So also diejenigen mit a²:

$3a^2 + 2a = x$

Das war nun ein recht einfaches Beispiel, um zu zeigen, dass Gleichungen mit Formvariablen genau so umformt werden, wie Gleichungen mit Zahlenwerten. Grundsätzlich musst du aber bei der Umformung von Gleichungen mit Formvariablen mit den Grundlagen der Mathematik vertraut sein.

Merk’s dir!

Die Grundlagen der Mathematik findest du in unserem Onlinekurs Ma1-Grundlagen der Mathematik.

Schauen wir uns nun aber mal einige komplexere Gleichungen an.

Beispiel: Gleichungen mit Formvariablen

In den folgenden Aufgaben schauen wir uns verschiedene Gleichungen mit Formvariablen an. Die Ergebnisse können hier unterschiedlich ausfallen. Bei manchen Aufgaben resultiert ein Zahlenwert bei anderen Aufgaben bleiben Formvariablen in der Lösung stehen.

Du sollst in den Aufgaben immer nach der gesuchten Variable auflösen. Hier bringt dir der Taschenrechner nichts, weshalb diese Gleichungen gerne in Prüfungen abgefragt werden. Du solltest dir das Lösen solcher Gleichungen also durch häufiges Üben aneignen. Wichtig ist, dass du hier die Grundlagen der Mathematik (Potenzen, Wurzeln, Brüche, Klammern auflösen etc) kennen musst.

Beispiel 1 : Gleichung mit Formvariablen auflösen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Gleichung:

$(a-b)(x+1) = 2(a+b)x + 2a + 2b$

Löse die Gleichung nach x auf!

Lösung

Wir haben hier eine lineare Gleichung gegeben, die nach x aufgelöst werden soll. Da x auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt, musst du dir zunächst überlegen, auf welche Seite du x bringen möchtest. Wir wählen beliebig die linke Seite aus.

Sinnvoll ist es zunächst aber die Klammern aufzulösen, um x frei zu setzen:

$ax + a - bx -b = 2ax + 2bx + 2a + 2b$

Als nächstes kannst du damit beginnen alle Glieder mit x auf die linken Seite zu bringen und alle Glieder ohne x auf die rechte Seite:

$ax + a - bx -b =2ax + 2abx + 2a + 2b$ | $-2ax$

Du kannst -2ax mit ax verrechnen: 1ax – 2ax = -1ax = -ax:

$-ax + a - bx - b = 2bx + 2a + 2b$ | $-2bx$

Du kannst -2bx mit -bx verrechnen: -2bx – 1bx = -3bx:

$-ax + a - 3bx - b = 2a + 2b$ | $-a$

Du kannst 2a und -a miteinander verrechnen: 2a – 1a = 1a = a:

$-ax - 3bx - b = a + 2b$ | $+b$

Du kannst 2b und b miteinander verrechnen:

$-ax - 3bx = -a + 3b$

Wir haben nun alle Glieder mit x auf der linken Seite und alle Glieder ohne x auf der rechten Seite. Wir wollen nun noch, dass x auf der linken Seite alleine steht. Das erreichen wir nur, indem wir x ausklammern:

$x(-a-3b) = a + 3b$

Wir haben nun auf der linken Seite ein Produkt gegeben:

Gleichungen mit Formvariablen lösen | 1. Faktor und 2. Faktor

Damit x alleine steht, müssen wir nun die Gleichung durch den 2. Faktor (die Klammer) teilen:

$x(-a-3b) = a + 3b$ | $:(-a-3b)$

$x = \dfrac{a + 3b}{(-a-3b)}$

Wir sehen, dass im Zähler und im Nenner die selben Glieder stehen, aber unterschiedliche Vorzeichen. Demnach können wir hier das Vorzeichen im Nenner ausklammern:

$x = \dfrac{a + 3b}{-(a+3b)}$

Wir können nun Zähler und Nenner kürzen. Stell dir dazu vor, du klammerst oben und unten 1 aus:

$x = \dfrac{1(a + 3b)}{-1(a+3b)}$ |Kürzen der Klammern

$x = \dfrac{1}{-1} = -1$

Die unbekannte Variable besitzt also den Wert x =-1.

Beispiel 2: Gleichung mit Formvariable umstellen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Gleichung:

$u = \dfrac{m_1 v_1 + m_2(2v_2-v_1)}{m_1 + m_2}$

Löse die Gleichung nach v₁auf!

Lösung

Zunächst lösen wir die Klammer auf:

$u = \dfrac{m_1 v_1 + 2m_2v_2 - m_2v_1}{m_1 + m_2}$ | $\cdot(m_1 + m_2)$

Als nächstes multiplizieren wir die Gleichung mit dem Nenner, damit der Bruch wegfällt:

$u = \dfrac{m_1 v_1 + 2m_2v_2 - m_2v_1}{m_1 + m_2}$ | $\cdot(m_1 + m_2)$

$u \cdot (m_1 + m_2) = m_1 v_1 + 2m_2v_2 - m_2v_1$

Der nächste Schritt ist alle Glieder ohne v₁ auf die linke Seite zu bringen:

$u \cdot (m_1 + m_2) = m_1 v_1 + 2m_2v_2 - m_2v_1$ | $-2m_2v_2$

$u \cdot (m_1 + m_2) - 2m_2v_2 = m_1 v_1 - m_2v_1$

Danach klammern wir aus v₁ aus:

$u \cdot (m_1 + m_2) - 2m_2v_2 = v_1(m_1 - m_2)$

Wir können nun durch die Klammer teilen, damit sie auf der rechten Seite wegfällt:

$u \cdot (m_1 + m_2) - 2m_2v_2 = v_1(m_1 - m_2)$ | $:(m_1-m_2)$

es ergibt sich somit:

$\dfrac{u (m_1 + m_2) - 2m_2v_2 }{(m_1-m_2)} = v_1$

Anwendung des Lösens von Gleichungen mit Formvariablen

Mathematik: Lösung allgemeiner algebraischer Probleme und Formeln.
Physik: Berechnung von physikalischen Größen als Funktionen von Parametern.
Ingenieurwesen: Analyse von Systemen und Konstruktionen unter verschiedenen Bedingungen.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was sind Formvariablen?

Formvariablen sind Parameter oder Koeffizienten in einer Gleichung, die als allgemeine Zahlen oder Funktionen auftreten.

2. Wie löst man eine Gleichung mit Formvariablen?

Indem man die Unbekannte isoliert und die Gleichung so manipuliert, dass sie als Funktion der Formvariablen dargestellt wird.

3. Warum ist das Lösen von Gleichungen mit Formvariablen wichtig?

Es ermöglicht die allgemeine Lösung von Problemen und die Analyse von Systemen unter verschiedenen Bedingungen.

4. Was ist die Mitternachtsformel?

Eine Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen, gegeben durch $x = \frac{b \pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

5. Kann jede Gleichung mit Formvariablen gelöst werden?

Viele Gleichungen können gelöst werden, aber einige erfordern spezielle Techniken oder haben keine Lösung in geschlossenen Form.

Zusammenfassung

Das Lösen von Gleichungen mit Formvariablen ist ein wichtiger Teil der Algebra, bei dem die Unbekannte als Funktion von Parametern oder Koeffizienten ausgedrückt wird. Die Schritte umfassen das Identifizieren der Gleichung, das Isolieren der Unbekannten, das Manipulieren der Gleichung und das Ausdrücken der Unbekannten in Formvariablen.

Diese Methode findet Anwendung in der Mathematik, Physik und Ingenieurwesen und ermöglicht eine allgemeine Lösung und Analyse von Problemen unter verschiedenen Bedingungen.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir das Lösen von Bruchgleichungen.

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