(Ma2-11) Bruchgleichungen lösen

Nachdem du weißt, wie lineare Gleichungen nach der Variable x aufgelöst werden, wollen wir in dieser Lerneinheit eine Bruchgleichung lösen.

Vorgehensweise: Bruchgleichung lösen

Wir wollen auch hier die Lösungsmengen von Bruchgleichungen ermitteln, indem wir diese nach der Variable $x$ auflösen. Schauen wir uns dazu mal eine Bruchgleichung an:

Wir wollen nun die obige Bruchgleichung lösen. Dazu müssen wir die Gleichung nach der Variable $x$ auflösen. Schauen wir uns mal Schritt-für-Schritt an, wie du hierbei vorgehen musst.

1.Schritt: Terme ohne Bruch und mit Bruch trennen (Bruchgleichung lösen)

Im ersten Schritt schaust du dir die Bruchgleichung an und bringst alle Terme ohne Bruch auf eine Seite. Du siehst oben die -15 auf der linken Seite und die +30 auf der rechten Seite. Wir bringen nun die -15 auf die rechte Seite, so dass auf der rechten Seite die Terme ohne Bruch stehen und auf der linken Seite die Terme mit Bruch:

Damit die -15 auf der linken Seite weg fällt, musst du +15 rechnen: -15 + 15 = 0. Die +15 musst du auch auf der rechten Seite berücksichtigen: 30 + 15 = 45.

Du siehst nun, dass auf der linken Seite die Brüche stehen und auf der rechten Seite die Terme ohne Bruch. Es ist egal auf welcher Seite du die Brüche und auf welcher Seite du die Terme ohne Bruch stehen hast. Die Umformung der Gleichung solltest du so vornehmen, dass wenige Berechnungen notwendig sind. So ist es sinnvoll die -15 auf die rechte Seite zu bringen und nicht die +30 auf die linke Seite und dann noch die Brüche auf die rechte Seite.

2.Schritt: Gemeinsamen Nenner bilden

Ist mehr als ein Bruch gegeben, so musst du den gemeinsamen Nenner aller gegebenen Brüche finde. Wir haben hier zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern gegeben (3 und 5). Wir müssen nun einen gemeinsamen Nenner finden.

undefiniert

Gemeinsamer Nenner!

Der gemeinsame Nenner muss durch beide Nenner (hier: 5 und 3) teilbar sein. Wir suchen also das Vielfache der gegebenen Nenner. Dabei musst du einfach die beiden Nenner miteinander multiplizieren. Berücksichtigst du eine Zahl im Nenner, so musst du diese Zahl auch im Zähler berücksichtigen.

Der gemeinsame Nenner ist das gemeinsame Vielfache, welches du erhältst, wenn du beide Nenner miteinander multiplizierst. Den linken Nenner musst du also mit 5 multiplizieren und den rechten mit 3. Die Zähler darfst du hierbei nicht vergessen. Den linken Zähler musst du mit 5, den rechten mit 3 multiplizieren. Es ergeben sich zwei Brüche mit gleichem Nenner, die nun zu einem Bruch zusammengefasst werden können:

3. Schritt: Zähler zusammenfassen

Nachdem du die beiden Brüche zu einem Bruch mit dem gemeinsamen Nenner zusammengefasst hast, kannst du nun anfangen im Zähler die Klammern aufzulösen und den Zähler zusammenzufassen:

4. Schritt: Nach x auflösen

Du hast es nun fast geschafft. Es ist noch ein Bruch gegeben, der nun nach $x$ aufgelöst werden kann. Dabei ist es wichtig zunächst den Nenner zu eliminieren. Damit der Nenner auf der linken Seite weg fällt, musst du die Gleichung mit 15 multiplizieren. Danach hast du eine lineare Gleichung gegeben, die du – wie in den vorangegangenen Lerneinheiten gezeigt – nach $x$ auflösen kannst.

Es ergibt sich als Lösung aufgerundet $x = 37,95$ . Als Lösungsmenge ergibt sich demnach für die obige Bruchgleichung:

$L = \{37,95\}$

Videos: Bruchgleichungen

In den nachfolgenden beiden Videos zeigen wir dir, wie du die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von Bruchgleichungen bestimmst.

Die nachfolgende Aufgabe soll dir helfen, Bruchgleichungen zu lösen.

Beispiel 1 : Bruchgleichung lösen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Bruchgleichung:

$\dfrac{16}{x-4} = \dfrac{10}{x}$

a) Gebe die Definitionsmenge an!

b) Bestimme die Lösungsmenge!

Lösung

a) Für welche Werte für $x$ ist die Funktion definiert? Bei Brüchen sind das alle reellen Zahlen $\mathbb{R}$ außer die Zahlen, bei denen der Nenner zu null wird. Durch Null teilen geht nicht, weshalb für diesen Wert die Gleichung nicht definiert ist.

Du schreibst also:

$D = \mathbb{R} \setminus \{0;4 \}$

In Worten: Die Definitionsmenge enthält alle reellen Zahlen ( $\mathbb{R}$ ) außer (\) 0 und 4.

Ist bei einer Bruchgleichung also die Frage nach der Definitionsmenge, so musst du schauen, wann der Nenner zu Null wird. Dies ist natürlich nur dann notwendig, wenn auch ein $x$ im Nenner steht. Für die obige Bruchgleichung wird der 1. Bruch zu Null, wenn wir $x = 4$ einsetzen, denn:

$4 - 4 = 0$

Für den 2. Bruch wird dieser zu Null, wenn wir $x = 0$ einsetzen.

b) Wir wollen als nächstes die Bruchgleichung lösen, indem wir diese nach x auflösen.

1.Schritt: Terme ohne Bruch und mit Bruch trennen

Wir haben keinen Term ohne Bruch gegeben. Wir können aber die Brüche beide auf eine Seite bringen. Dazu bringen wir den rechten Bruch auf die linke Seite:

$\dfrac{16}{x-4} = \dfrac{10}{x}$ | $-\dfrac{10}{x}$

$\dfrac{16}{x-4} - \dfrac{10}{x} = 0$

Auf der rechten Seite verbleibt Null.

2.Schritt: Gemeinsamen Nenner bilden

Als nächstes bilden wir den gemeinsamen Nenner. Dazu multiplizieren wir wieder beide Nenner miteinander. Wir müssen demnach den Nenner (x-4) mit x multiplizieren und den Nenner x mit (x-4). Wir dürfen auch hier wieder den Zähler nicht vergessen. Das was wir im Nenner multiplizieren, müssen wir auch im Zähler multiplizieren, damit sich der Bruch nicht ändert:

$\dfrac{16}{x-4} - \dfrac{10}{x} = 0$ |Gemeinsamer Nenner

$\dfrac{x \cdot 16}{x \cdot (x-4)} - \dfrac{(x-4) \cdot 10}{(x - 4) \cdot x} = 0$

$\dfrac{x \cdot 16 - (x-4) \cdot 10}{x \cdot (x-4)} = 0$

3. Schritt: Zähler und Nenner zusammenfassen

Wir können nun anfangen den Zähler und Nenner zusammenzufassen:

Zähler:

$\dfrac{x \cdot 16 - (x-4) \cdot 10}{x \cdot (x-4)} = 0$

$\dfrac{16x - (10x-40)}{x \cdot (x-4)} = 0$

$\dfrac{16x - 10x + 40}{x \cdot (x-4)} = 0$

$\dfrac{6x + 40}{x \cdot (x-4)} = 0$

Nenner:

$\dfrac{6x + 40}{x^2 - 4x} = 0$

4. Schritt: Nach x auflösen

Der letzte Schritt ist es nun, dass der Nenner wegfällt. Dazu musst du die Gleichung einfach mit dem Nenner multiplizieren:

$\dfrac{6x + 40}{x^2 - 4x} = 0$ | $\cdot x^2 - 4x$

Was passiert nun?

Auf der linken Seite fällt der Nenner weg und auf der rechten Seite auch, weil dort eine Null steht. Multiplizierst du einen Wert bzw. eine Variable mit Null, so ergibt das wiederum Null. Es verbleibt also:

$6x + 40 = 0$

Du kannst diese lineare Gleichung nun einfach nach $x$ auflösen:

$6x + 40 = 0$ | $-40$

$6x = -40$ | $:6$

$x = -6,67$

Die Lösungsmenge beträgt:

$L = \{-6,67\}$

Probe:

Setzt du nun also 6,67 (grundet) für $x$ ein, so sind beide Seiten gleich:

$\dfrac{16}{x-4} = \dfrac{10}{x}$

$\dfrac{16}{-6,67-4} = \dfrac{10}{-6,67}$

$-1,5 = -1,5$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem wir das Thema Bruchgleichung lösen behandelt haben, schauen wir uns in der folgenden Lerneinheit an, wie Ungleichungen gelöst werden.

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