In dieser Lerneinheit behandeln wir den Dreisatz bei Zuordnungen. Wir betrachten hierbei die proportionale und die antiproportionale Zuordnung ohne jedes mal aufwendig die Wertetabelle zu erstellen, um ein bestimmte Größe zu berechnen.
Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema. Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme: Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik
Dreisatz bei Zuordnungen | Grundlagen
Den Dreisatz benötigst du im Alltag ständig. Willst du zum Beispiel deine Freunde zum Pizzaessen einladen, so ist der Preis pro Person angegeben. Damit du den Gesamtpreis berechnen kannst, benötigst du zum Beispiel den Dreisatz.
Was ist der Dreisatz?
Der Dreisatz ist eine mathematische Methode, mit der man aus drei gegebenen Größen eine vierte Größe berechnen kann, wenn diese Größen in einem proportionalen Verhältnis zueinander stehen. Der Satz ist besonders nützlich, um Probleme der direkten oder indirekten Proportionalität zu lösen.
Video| Dreisatz bei proportionaler und antiproportionaler Zuordnung
Im folgenden Video schauen wir uns den Dreisatz bei proportionaler und antiproportionaler Zuordnung an:
Dreisatz | Proportional
Schauen wir uns kurz an, wie ein Dreisatz aufgebaut ist. Dazu ist es sinnvoll direkt mit einem Beispiel zu starten:
Du bist mit fünf Freunden unterwegs und möchtest gleich zu Anfang eine Runde Bier ausgeben. Die Runde kostet dich einen Preis von 13,80 €. Danach stoßen noch drei weitere Freunde dazu.
Wie viel musst du für drei weitere Bier bezahlen?
Erstmal musst du natürlich ermitteln, welche Größen du hier in der Aufgabenstellung gegeben hast. Einmal hast du die Anzahl der Personen (deine Freunde und du) mit sechs gegeben. Dann hast du den Preis für die gesamte Runde mit 13,80 € gegeben. Dies ist die gegebene Zuordnung. Für 6 Personen zahlst du also 13,80 €. Das ist die obere Zuordnung, die Ausgangszuordnung.
6 Personen – 13,80 €
Die Idee des Dreisatzes ist es nun zunächst den Bierpreis für 1 Person zu berechnen, indem du die linke Seite durch 6 dividierst. Bei der proportionalen Zuordnung dividierst du dann auch die rechte Seite durch 6:
6 Personen – 13,80 €
1 Person – 2,30 €
Von dieser 1 Person ausgehend, kannst du nun den Preis für 3 Personen berechnen, indem du beide Seite mit 3 multiplizierst:
6 Personen – 13,80 €
1 Person – 2,30 €
3 Person – 6,90 €
Im obigen Fall handelt es sich um eine proportionale Zuordnung: Steigt die Anzahl der Personen, so steigt auch der Gesamtpreis. Das bedeutet, dass du auf beiden Seiten dieselbe Berechnung durchführen musst.
Diese Berechnung kannst du auch als Gleichung darstellen. Schau dir dazu die Seite mit dem gesuchten Wert mal an. In unserem Beispiel ist das die Seite mit den Preisen. Wie genau gehst du vor, um auf den gesuchten Wert, also die 6,90 € zu kommen?
Zunächst teilst du 13,80 € durch 6 Personen, danach multiplizierst du mit 3 Personen:
Für eine Proportionale Zuordnung kannst du dann den Satz wie folgt anwenden (siehe folgende Grafik):
Dreisatz | Antiproportional
Auch hier betrachten wir ein Beispiel, um den Dreisatz bei der antiproportionalen Zuordnung zu ermitteln.
Es ist Hochsommer und du willst dich abkühlen. Dazu stellst du ein Planschbecken in deinem Garten auf. Da du keinen Wasserschlauch besitzt, musst du dein Planschbecken ganz altmodisch mittels Eimern füllen. Zum Glück hast du noch zwei Freunde dabei, die dir helfen. Ihr schafft es zu dritt das Planschbecken in 200 Minuten zu befüllen. Das dauert!
Wie lange würdet ihr brauchen, wenn ihr noch 2 Freunde dazu holt (also 5 Personen)?
Erstmal musst du natürlich ermitteln, welche Größen du hier in der Aufgabenstellung gegeben hast. Einmal hast du die Anzahl der Personen (deine Freunde und du) mit 3 gegeben. Dann hast du die Dauer für die Befüllung des Pools mit 200 Minuten gegeben. Dies ist die gegebene Zuordnung. Mit 3 Personen benötigst du 200 Minuten. Das ist die obere Zuordnung, die Ausgangszuordnung.
3 Personen – 200 min
Die Idee des Dreisatzes ist es nun zunächst die Zeit für eine Person zu berechnen. Wir haben hier nun aber eine antiproportionale Zuordnung gegeben. Um auf eine Person zu kommen, dividierst du die linke Seite durch 3, auf der rechten Seite führst du hingegen die Gegenrechnung durch und multiplizierst mit 3:
3 Personen – 200 min
1 Person – 600 min
Von dieser einen Person ausgehend, kannst du die Dauer für 5 Personen berechnen. Dafür multiplizierst du die linke Seite mit 5. Auf der rechten Seite führst du hingegen die Gegenrechnung durch und dividierst durch 5:
1 Person – 600 min
5 Person – 120 min
Im obigen Fall handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung: Steigt die Anzahl der Personen, so sinkt die Dauer der Befüllung. Das bedeutet, dass du auf beiden Seiten genau entgegengesetzt rechnen musst.
Diese Berechnung kannst du auch als Gleichung darstellen. Schau dir dazu die Seite mit dem gesuchten Wert mal an. In unserem Beispiel ist das die Seite mit den Zeiten. Wie genau gehst du vor, um auf den gesuchten Wert, also die 120 min zu kommen?
Zunächst multiplizierst du mit 3 Personen, danach dividierst du durch 5 Personen:
Anwendung des Dreisatzes
- Mathematik: In der Mathematik wird der Satz häufig verwendet, um proportionale Probleme zu lösen.
- Physik: In der Physik hilft der Satz, Beziehungen zwischen verschiedenen physikalischen Größen zu berechnen.
- Wirtschaft: In der Wirtschaft wird der Satz verwendet, um Kosten, Preise und andere wirtschaftliche Kennzahlen zu berechnen.
Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)
1. Was ist der Dreisatz?
Der Dreisatz ist eine Methode zur Berechnung von proportionalen Beziehungen zwischen drei gegebenen Größen, um eine vierte Größe zu finden.
2. Wie funktioniert der direkte Dreisatz?
Beim direkten Dreisatz stehen die Größen in einem direkten Verhältnis zueinander, und die Berechnung erfolgt durch Anwendung des Verhältnisses der bekannten Größen.
3. Wie funktioniert der indirekte Dreisatz?
Beim indirekten Dreisatz stehen die Größen in einem umgekehrten Verhältnis zueinander, und die Berechnung erfolgt durch Anwendung des umgekehrten Verhältnisses der bekannten Größen.
4. Wo wird der Dreisatz angewendet?
Der Dreisatz wird in Mathematik, Physik, Wirtschaft und vielen anderen Bereichen angewendet, um proportionale Beziehungen zu berechnen.
Zusammenfassung
Der Dreisatz ist eine grundlegende Methode, um proportionale Zuordnungen zu berechnen. Mit zwei Hauptarten, dem direkten und dem indirekten Dreisatz, und klar definierten Schritten zur Berechnung, bietet der Dreisatz eine einfache und effektive Möglichkeit, proportionale Probleme zu lösen. Diese Konzepte finden praktische Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Mathematik, Physik und Wirtschaft. Mit diesen Kenntnissen kannst du schnell und korrekt mit dem Dreisatz arbeiten.
In der kommenden Kurseinheit befassen wir uns ausführlich mit Linearen Gleichungen.
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