[MA2] Antiproportionale Zuordnung

In dieser Lerneinheit schauen wir uns die antiproportionale Zuordnung an.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme:

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Antiproportionale Zuordnung | Grundlagen

Antiroportionale Zuordnung ist ein grundlegendes Konzept in der Mathematik, das häufig in verschiedenen Anwendungsbereichen wie Physik, Wirtschaft und Technik vorkommt.

Was ist eine antiproportionale Zuordnung?

Eine antiproportionale Zuordnung beschreibt eine Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine Größe immer im gleichen, jedoch entgegengesetzten Verhältnis zu einer anderen Größe steht. Das bedeutet, wenn eine Größe sich ändert, ändert sich die andere Größe entgegengesetzt im gleichem Verhältnis.

Bei der antiproportionalen Zuordnung sind Ausgangsgröße und zugeordnete Größe – wie bei der proportionalen Zuordnung – voneinander abhängig. Die Abhängigkeit sieht hier aber etwas anders aus.

Liegt eine antiproportionale Zuordnung vor, so ändert sich die zugeordnete Größe genau entgegengesetzt zur Ausgangsgröße.

Merk’s dir!

Verdoppelt sich zum Beispiel die Ausgangsgröße, so halbiert sich die zugeordnete Größe. Wird also die Ausgangsgröße mit dem Antiproportionalitätsfaktor c multipliziert, so wird die zugeordnete Größe mit dem Faktor c dividiert und umgekehrt. Du siehst also, dass die Änderung der zugeordneten Größe genau umgekehrt zur Änderung der Ausgangsgröße erfolgt.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Beispiel: Antiproportionale Zuordnung!

Dein Chef hat einen Produktionsauftrag erhalten, den du bearbeiten sollst. Wenn du den Produktionsauftrag auf 4 Maschinen gleichzeitig erledigst, dann ist dieser in 7,5 Stunden abgeschlossen. Du willst den Auftrag aber in 2,5 Stunden schaffen, weil dann deine Schicht endet.

Wie viele Maschinen benötigst du dann?

Hierbei handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. Je mehr Maschinen, desto weniger Zeit benötigst du für den Auftrag. Hierbei ist die Ausgangsgröße die Anzahl der Maschinen und die zugeordnete Größe die Zeit in Stunden.

Zuordnung:

Anzahl der Maschinen $\mapsto$ benötigte Zeit

Antiproportionale Zuordnung | Wertetabelle

Schauen wir uns die Zuordnung mal in einer Wertetabelle an:

Du kannst dir also zur Berechnung einfach eine Wertetabelle anlegen und von der Ausgangsgröße (Anzahl der Maschinen) ausgehend zunächst die Zeit für 1 Maschine berechnen. Dafür musst du die 4 Maschinen durch 4 dividieren, um auf 1 Maschine zu gelangen.

Auf der Seite der zugeordneten Werte führst du bei der antiproportionalen Zuordnung nun die Gegenrechnung aus. Du multiplizierst also die 7,5 Stunden mit der Zahl 4 und erhältst die Zeit, welche 1 Maschine für den Auftrag benötigt (30 Stunden).

Danach kannst du von der ersten Zeile ausgehend alle weiteren Werte berechnen. Um auf die Anzahl von 12 Maschinen zu kommen, musst du 1 Maschine mit 12 multiplizieren. Auf der rechten Seite führst du nun wieder die Umkehrrechnung aus. Du dividierst die 30 Stunden durch 12 und erhältst 2,5 Stunden.

Merk’s dir!

Bei der antiproportionalen Zuordnung wird auf beiden Seiten zwar der selbe Faktor verwendet, allerdings genau die Gegenrechnung durchgeführt.

Bei dieser Aufgabenstellung kannst du das Ergebnis natürlich auch erhalten, indem du dir den gegebenen zugeordneten Wert anschaust, also die 7,5 h und überlegst, wie du zu den gewünschten 2,5 h gelangst (rechte Seite in der 2. Tabelle). Hierfür musst du die 7,5 h durch 3 teilen. Um auf die Anzahl der Maschinen zu gelangen musst du auf der linken Seite die Gegenrechnung ausführen, also 4 Maschinen mal 3 und das ergibt 12 Maschinen. Hierbei handelt es sich um die Dreisatzrechnung, die in der folgenden Lerneinheit behandelt wird.

Das Ergebnis dieser Aufgabe ist also, dass 12 Maschinen benötigt werden, um den Auftrag in 2,5 Stunden fertigzustellen.

Antiproportionalitätsfaktor und Zuordnungsvorschrift

Der Antiproportionalitätsfaktor $c$ ist der Wert der zugeordneten Größe bei einer Einheit der Ausgangsgröße. Du kannst den Antiproportionalitätsfaktor wie folgt berechnen:

Antiproportionalitätsfaktor | Formel

$c = \text{zugeordnete Größe} \cdot \text{Ausgangsgröße}$

Im obigen Beispiel sind 4 Maschinen gegeben, die eine Zeit von 7,5 Stunden benötigen. Da du die Anzahl der Maschinen suchst, die 2,5 Stunden benötigen, ist die zugeordnete Größe die gesuchte Größe (Anzahl der Maschinen) und die gegebene Größe die Ausgangsgröße (Stunden).

Der Antiproportionalitätsfaktor lautet demnach:

$c = 7,5 h \cdot 4 \text{Maschinen} = 30$

Die Zuordnungsvorschrift bei der antiproportionalen Zuordnung lautet allgemein:

Zuordnungsvorschrift | Formel

$x \mapsto c \cdot \frac{1}{x}$

Setzt du nun den Antiproportionalitätsfaktor für das obige Beispiel ein, so ergibt sich die Zuordnungsvorschrift für das Beispiel zu:

$x \mapsto 30 \cdot \frac{1}{x}$

Probe:

Wie viel Zeit benötigst du bei 3 Maschinen?

$3 \text{Maschinen} \mapsto 30 \cdot \frac{1}{3} = 10 h$

Antiproportionale Zuordnung | Koordinatensystem

Die obige Zuordnung kann in einem Koordinatensystem dargestellt werden:

Im obigen Koordinatensystem ist die antiproportionale Zuordnung eingetragen. Hierbei handelt es sich um eine fallende Funktion, denn je mehr Maschinen (x-Achse) verwendet werden, desto schneller ist der Auftrag beendet (y-Achse). Demnach fällt die Funktion.

Was kommt als Nächstes?

Jetzt kennst du die Antiproportionale Zuordnung, weshalb wir in der nächsten Lerneinheit die Anwendung des Dreisatzes bei der proportionalen und antiproportionalen Zuordnung betrachten.

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