(Ma2-03) Proportionale Zuordnung

In dieser Lerneinheit behandeln wir die proportionale Zuordnung.

Von einer proportionalen Zuordnung wird dann gesprochen, wenn die Veränderung der Ausgangswerte zu einer proportionalen Veränderung der zugeordneten Werte führt.

Merk's dir!

Vervielfacht oder teilt man also die Ausgangsgröße um einen Faktor (zum Beispiel verdoppeln/halbieren), so vervielfacht oder teilt sich auch die zugeordnete Größe um genau diesen Faktor (verdoppelt sich/halbiert sich).

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Proportionale Zuordnung

Du brauchst mal wieder Vitamine. Die sind während des Lernens auf der Strecke geblieben. Also gehst du in einen Supermarkt, um dich dort mit besonders vitaminreichen Premium Äpfeln einzudecken. Zwei Beutel Premium-Äpfel Inhalt kosten 8 €.

Natürlich entdeckst du sofort den proportionalen Zusammenhang. 2 Beutel Äpfel kosten 8 €. Je mehr Beutel du kaufst, desto mehr Geld musst du bezahlen.

Die Ausgangsgröße ist hier: Beutel Äpfel

Die zugeordnete Größe: Preis in Euro

Merk's dir!

Eine solche proportionale Zuordnung schreibt sich wie folgt:

Ausgangsgröße $\mapsto$ zugeordnete Größe

Beutel Äpfel $\mapsto$ Preis der Äpfel in Euro

Proportionale Zuordnung: Wertetabelle

Tragen wir die Werte zunächst in eine Wertetabelle ein:

Du trägst in die obige Wertetabelle zunächst die in der Aufgabenstellung gegebene Zuordnung in die 1. Zeile ein. Du erhältst 2 Beutel Äpfel für 8 €. Du kannst dann weitere Werte eintragen, je nachdem was in der Aufgabenstellung gefragt ist.

Wir haben nun in der Tabelle alle Werte bis 5 Beutel Äpfel eingetragen. Bei der proportionalen Zuordnung gehst du nun so vor, dass du auf beiden Seiten denselben Faktor verwendest und dieselbe Berechnung ausführst. Willst du nun also von 2 Beutel Äpfel auf 1 Beutel Äpfel kommen, so musst du 2 Beutel durch 2 teilen. Auf der rechten Seite führst du genau dieselbe Berechnung durch, indem du 8 € durch 2 dividierst.

Ist die Ausgangsgröße mit einer Einheit gegebenen (hier: 1 Beutel), so kannst du von dort aus alle weiteren Berechnungen durchführen. Möchtest du also wissen, was 4 Beutel Äpfel kosten, so musst du den 1 Beutel mit 4 multiplizieren. Dieselbe Berechnung führst du auf der rechten Seite durch, um den Preis für 4 Beutel Äpfel zu bestimmen.

Proportionalitätsfaktor und Zuordnungsvorschrift

Der Proportionalitätsfaktor $k$ ist der Wert der zugeordneten Größe bei einer Einheit der Ausgangsgröße. Du kannst den Proportionalitätsfaktor über die folgende Formel berechnen:

$k = \dfrac{\text{zugeordnete Größe}}{\text{Ausgangsgröße}}$ Proportionalitätsfaktor

Im obigen Beispiel waren 2 Beutel Äpfel gegeben, die 8 € kosten. Du rechnest also:

$k = \dfrac{8 \text{EUR}}{2 Beutel} = 4 \text{EUR} / \text{Beutel}$

Du hast nun also den Wert der zugeordneten Größe (4 €) für eine Einheit der Ausgangsgröße (1 Beutel Äpfel) gegeben.

Der Proportionalitätsfaktor lautet demnach:

$k = 4 \text{EUR}/ \text{Beutel}$

Die Zuordnungsvorschrift bei der proportionalen Zuordnung lautet allgemein:

$x \mapsto k \cdot x$

Setzt du nun den Proportionalitätsfaktor für das obige Beispiel ein, so ergibt sich die Zuordnungsvorschrift für das Beispiel zu:

$x \mapsto 4 \text{EUR} / \text{Beutel} \cdot x$

Probe:

Du sollst nun den Preis für 20 Beutel Äpfel berechnen:

$20 Beutel = \mapsto 4 \text{EUR} /\text{Beutel} \cdot 20 \text{Beutel} = 80 \text{EUR}$

Proportionale Zuordnung: Koordinatensystem

Wir können den obigen Zusammenhang in einem Koordinatensystem darstellen:

Koordinatensystem, proportionale Zuordnung — Koordinatensystem: proportionale Zuordnung

In dem obigen Koordinatensystem siehst du auf der x-Achse die Beutel Äpfel. Die Ausgangsgröße (1 Beutel) wurde also verdoppelt (2 Beutel), verdreifacht (3 Beutel), vervierfacht (4 Beutel) und verfünffacht (5 Beutel).

Auf der y-Achse siehst du die Preise, immer in 4 € – Schritten. Die zugeordnete Größe (4 kg) wurde ebenfalls verdoppelt (8 €), verdreifacht (12 €), vervierfacht (16 €) und verfünffacht (20 €).

Merk's dir!

Die Punkte sind bei der proportionalen Zuordnung miteinander verbunden. Ändert sich die Ausgangsgröße (auf der x-Achse) um einen Faktor, so ändert sich die zugeordnete Größe (auf der y-Achse) um denselben Faktor. Außerdem geht der Graf (die Gerade) bei einer proportionalen Zuordnung durch den Koordinatenursprung. Für unser Beispiel gilt, wenn du keine Äpfel einkaufst, so musst du auch nichts bezahlen (0,0).

Natürlich ist es möglich diese Zuordnung beliebig weit fortzusetzen. Wenn du also für einen großen Geburtstag mehrere Apfelkuchen backen möchtest und dafür 7 Beutel Äpfel benötigst, dann würdest du die 7-fache Menge des Ausgangswertes benötigen. Dafür müsstest du dann den 7-fachen Preis der Ausgangsmenge zahlen:

$7 Beutel \mapsto 4 \text{EUR} \cdot 7 \text{Beutel} = 28 \text{EUR}$

Du kannst also die Zuordnung in der Wertetabelle und im obigen Koordinatensystem beliebig weit fortsetzen, sofern genügend Kapazitäten vorhanden sind (genügend Beutel).

undefiniert

Hinweis:

Wir gehen in obigen Fall davon aus, dass es keinen Mengenrabatt gibt. Häufig liest man, dass bei einer größeren Menge der Preis pro Menge sinkt. Dies wäre ein nicht proportionaler Zusammenhang. Diesen wollen wir aber nicht weiter betrachten.

Betrachten wir weitere Beispiele zur proportionalen Zuordnung.

Beispiele: Proportionale Zuordnung

Es folgen zwei weitere Beispiele zur proportionalen Zuordnung:

1.Beispiel: Weg und Zeit
2.Beispiel: Volumen und Gewicht

Beispiel 1: Weg und Zeit

Aufgabenstellung

Ein Fahrzeug bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit. In der Zeit t = 6 h legt das Fahrzeug einen Weg von s = 420 km zurück.

a) Ergänze die Zuordnungstabelle von t = 1h bis t = 8 h und stelle die Zuordnung grafisch dar!

b) Berechne den Proportionalitätsfaktor k.

Lösung

Lösung a)

Bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit, dann legt er pro Zeiteinheit eine gleichbleibende Wegstrecke zurück. Man spricht also von einem proportionalen Zusammenhang zwischen Zeit und Weg. Das Fahrzeug legt also alle 6h einen Weg von 420 km zurück.

Die Zeit t ist hierbei die Ausgangsgröße, welcher der Weg s zugeordnet wird.

In einer bestimmten Zeit t wird also ein bestimmter Weg s zurückgelegt.

Die Zuordnung lautet:

Zeit in h $\mapsto$ Weg in km

$6 h \mapsto 420 km$

Wertetabelle

Wir schreiben zunächst die Wertetabelle mit den Zeiten von 1h bis 8h auf (laut Aufgabenstellung) und die gegebenen Werte.

Von den gegebenen Werte (6h, 420 km) ausgehend, können wir nun zunächst die Anzahl der gefahrenen Kilometer nach 1 h berechnen. Um von 6h auf 1h zu gelangen, müssen wir durch 6 teilen. Da wir hier einen proportionalen Zusammenhang gegeben haben (konstante Geschwindigkeit), können wir nun auch die zugeordnete Größe durch 6 teilen. Wir erhalten also 70 km nach 1h.

Von diesem Wert aus können wir nun alle weiteren Werte berechnen. Um von 1h auf 2h zu gelangen, müssen wir mit 2 multiplizieren, dasselbe machen wir auch mit den Kilometern und erhalten dann nach 2h:

$1h \cdot 2 = 2h$

$70 km \cdot 2 = 140 km$

Koordinatensystem

Wir können als nächstes das Koordinatensystem aufstellen und die Zuordnung grafisch darstellen:

Nachdem du die Punkte in das Koordinatensystem eingetragen hast, kannst du diese – bei einer proportionalen Zuordnung – miteinander verbinden.

Lösung b)

Um den Proportionalitätsfaktor zu berechnen, kannst du ganz einfach den zugeordneten Wert durch den Ausgangswert teilen:

$k = \dfrac{zugeordneten Wert}{Ausgangswert}$

$k = \dfrac{420 km}{6 h} = 70 \dfrac{km}{h}$

Der Proportionaltätsfaktor ist derjenige zugeordnete Wert, der bei einer Einheit des Ausgangswerts gegeben ist.

Alle zugeordneten Werte (1/70), (2/140), (3/210), usw. haben denselben Proportionalitätsfaktor $k = 70 \dfrac{km}{h}$ . Der Proportionalitätsfaktor gibt an, wie viele Kilometer (70 km) das Fahrzeug pro Stunde (h) zurücklegt.

Beispiel 2: Volumen und Gewicht

Aufgabenstellung

Ein Würfel aus Holz mit einem Volumen von 30 cm³ besitzt eine Masse von 24 g.

a) Ergänze die Zuordnungstabelle von $V = 10 cm^3$ bis $V = 50 cm^3$ und stelle die Zuordnung grafisch dar!

b) Berechne den Proportionalitätsfaktor!

Lösung

Lösung a)

Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, weil die Masse [Gewicht] eines Körpers vom Volumen abhängt. Je größer das Volumen, desto größer ist die Masse dieses Körpers.

Wir stellen wieder die Wertetabelle auf, hierbei ist das Volumen die Ausgangsgröße und das Gewicht die zugeordnete Größe:

Zunächst wird wieder vom gegebenen Ausgangswert (V = 30 cm³) der erste Wert der Tabelle betrachtet (10 cm³). Diesen erhalten wir, indem der Ausgangswert durch 3 geteilt wird. Da es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung handelt, können wir auch den zugeordneten Wert (m = 24g) durch 3 teilen und erhalten dann den Wert von 8g. Es ist nun nicht schwer von diesen Werten ausgehend die anderen Werte zu berechnen.

Schauen wir uns das ganze grafisch an:

Lösung b)

Du berechnest den Proportionalitätsfaktor, indem zu den zugeordneten Wert durch den Ausgangswert teilst:

$k = \dfrac{24 g}{30 cm^3} = 0,8 \dfrac{g}{cm^3}$

Der Proportionalitätsfaktor liegt bei 0,8 g/cm³. Der Proportionalitätsfaktor gibt an, wie viel Gramm (0,8 g) der Körper pro Kubikzentimeter (cm³) zunimmt.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem wir das Thema Proportionale Zuordnungen behandelt haben, schauen wir uns in der folgenden Lerneinheit die antiproportionale Zuordnung an.

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