(Ma2-03) Mengenschreibweise

In dieser Kurslektion erklären wir dir einfach und ausführlich die Mengenschreibweise.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei ausführliche Videoclips und fünf anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mengenschreibweise – Definition

“Eine Menge ist die Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamteinheit. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.”

Innerhalb der Mengenlehre werden Mengen untersucht. Eine Menge ist die Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamteinheit. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.

Innerhalb der Mengenlehre unterscheiden wir die aufzählende und die beschreibende Mengenschreibweise.

Aufzählende Mengenschreibweise

Wir sprechen von einer aufzählenden Mengenschreibweise, wenn die Elemente einer Menge in geschweifte Klammern gesetzt werden und durch Kommata oder Semikolons getrennt werden:

M = {Element 1, Element 2, …}

M = {Element 1; Element 2; …}

Beispiele zur aufzählenden Mengenschreibweise

Schauen wir uns hierzu mal zwei Beispiele an.

Beispiel: Aufzählende Mengenschreibweise

Du sollst in aufzählender Mengenschreibweise die Menge aller Zahlen angeben, die durch 3 teilbar, größer als 5 und kleiner als 20 sind.

Für die aufzählende Mengenschreibweise wählst du die geschweiften Klammern. Du weißt, dass deine Zahlen größer als 5 und kleiner als 20 sein müssen und zusätzlich durch 3 teilbar:

M = {6, 9, 12, 15, 18}

Deine Menge beinhaltet 5 Elemente.

Beispiel: Aufzählende Mengenschreibweise

Du sollst in aufzählender Mengenschreibweise die Menge aller Zahlen angeben, die durch 5 teilbar, größer als -10 und kleiner als 40 sind.

Du weißt, dass deine Zahlen größer als -10 und kleiner als 40 sein müssen und zusätzlich durch 5 teilbar:

M = {-5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}

Deine Menge beinhaltet 9 Elemente.

Video: Aufzählende Mengenschreibweise

Im folgenden Video betrachten wir die aufzählende Mengenschreibweise.

Lernclip

Aufzählende Mengenschreibweise

Beschreibende Mengenschreibweise

Wir sprechen von einer beschreibenden Mengenschreibweise, wenn die Elemente einer Menge durch ihre charakterisierenden Eigenschaften beschrieben werden.

$M = \{ x | \text{x besitzt die Eigenschaften} \}$

Dabei kann die Eigenschaft als mathematische Formulierung oder als Text formuliert werden. Nach dem ersten x wird auch grundsätzlich noch die Zahlenmenge angegeben, in welcher x gültig ist. Also um Beispiel:

$M = \{x \in \mathbb{N} | \text{x ist durch zwei teilbar} \}$

Gelesen: x ist Element ( $\in$ ) aller natürlichen Zahlen ( $\mathbb{N}$ ), für die gilt: x ist durch zwei teilbar.

Schauen wir uns hierzu mal einige Beispiele an.

Beispiele zur beschreibenden Mengenschreibweise

Beispiel: Beschreibende Mengenschreibweise

Du sollst in beschreibender Mengenschreibweise die Menge aller natürlichen Zahlen angeben die größer als 8 und kleiner als 20 sind.

Wir betrachten hier die Menge aller natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ . Natürlich musst du hierfür die Zahlenmengen kennen (vorangegangene Lerneinheit). Die Menge aller natürlichen Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen. In unserem Beispiel zwischen 8 und 20:

$M = \{x \in \mathbb{N} | \text{x ist größer als 8 und kleiner als 20} \}$

Du kannst hier auch eine mathematische Formulierung wählen, indem du die Zeichen < und > verwendest:

$M = \{x \in \mathbb{N} | 8 < x < 20 \}$

Gelesen: x ist Element aller natürlichen Zahlen, für die gilt: x ist größer als 8 und kleiner als 20.

Beispiel: Beschreibende Mengenschreibweise

Du sollst in beschreibender Mengenschreibweise die Menge aller reellen Zahlen angeben die größer als -24,5 und kleiner als 20 sind.

Hast du eine Aufgabe mit rationalen und reellen Zahlen gegeben, so kannst du im Endeffekt nur die beschreibende Mengenschreibweise verwenden. Denn die rationalen und reellen Zahlen kannst du schlecht in einer geschweiften Klammer angeben. Alleine die Zahlen zwischen 0 und 1 kannst du nicht aufführen: 0; 0,0001; 0,0001; 0,05 …Denn bei den reellen und rationalen Zahlen werden auch die Dezimalzahlen zwischen den ganzen Zahlen berücksichtigt. Deswegen musst du hier die beschreibende Mengenschreibweise wählen:

$M = \{x \in \mathbb{R} | \text{x ist größer als -24,5 und kleiner als 20} \}$

oder

$M = \{x \in \mathbb{R} | -24,5 < x < 20 \}$

Video: Beschreibende Mengenschreibweise

Im folgenden Video betrachten wir die beschreibende Mengenschreibweise.

Lernclip

Beschreibende Mengenschreibweise

Darstellung von Mengen

Mengen können in einem Mengendiagramm (auch: Venn-Diagramm) dargestellt werden. Sie sind vor allem im späteren Vergleich von mehreren Mengen relevant. Grundsätzlich werden bei den Mengendiagrammen die Elemente einer Menge innerhalb eines Kreises oder einer Ellipse dargestellt:

In der obigen Grafik siehst du die beiden Mengen A und B und die Elemente dieser Mengen. Du kannst auf den ersten Blick erkennen, dass innerhalb der Menge A die Menge aller Elemente, die größer gleich 7 und kleiner gleich 49 sowie durch 7 teilbar sind, enthalten sind. In der Menge B finden sich alle Elemente, die größer gleich 12 und kleiner gleich 32 sowie durch 4 teilbar sind. Elemente die nicht zu diesen Mengen zählen sind außerhalb der Mengen abgebildet. Außerdem sind die gegebenen Elemente alle ganzzahlig und positiv. Damit sind hier nur natürliche Zahlen gegeben.

Es gilt also für die Menge A:

A = {7,14,21,28,35,42,49}

bzw.

$A = \{x \in \mathbb{N} | \; \text{x ist größer gleich 7 und kleiner gleich 49 und durch 7 teilbar} \}$

Für die Menge B gilt dann:

B = {12,16,20,24,28,32}

bzw.

$B = \{x \in \mathbb{N} | \; \text{x ist größer gleich 12 und kleiner gleich 32 und durch 4 teilbar} \}$

Du kannst natürlich auch mit größer als und kleiner als arbeiten, dann gilt:

$B = \{x \in \mathbb{N} | \; \text{x ist größer als 8 und kleiner als 36 und durch 4 teilbar} \}$

Da x größer als 8 ist und wir nur natürliche Zahlen betrachten, die durch 4 teilbar sind, startest du mit der nächst größeren Zahl, also der 16. Deine letzte Zahl ist kleiner als 36 und durch 4 teilbar. Also endet die Menge mit der nächst kleineren Zahl, die durch 4 teilbar ist, also der 32.

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Merk’s dir!

Möchtest du angeben, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht, so gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder das Element ist in der Menge $\in$ enthalten oder nicht $\notin$ .

Mächtigkeit einer Menge

Die Mächtigkeit einer Menge wird durch die Anzahl der Elemente bestimmt:

Merk’s dir!

Die Anzahl der Elemente einer Menge gibt die Mächtigkeit der Menge an.

Die Mächtigkeit einer Menge wird durch Betragsstriche angegeben:

M = |Anzahl Elemente|

Besitzen die beiden Mengen $A$ und $B$ die gleiche Mächtigkeit?

A = {x,y,z} | B = {5,10,15,20}

Die Menge A weist 3 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: A = |3|

Die Menge B weist 4 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: B = |4|

Die beiden Menge weisen nicht die gleiche Mächtigkeit auf.

Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen sind dann gleich, wenn die Elemente beider Mengen identisch sind.

Merk’s dir!

Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn alle Elemente aus A in B enthalten sind und umgekehrt.

Beispiel: Gleiche Mengen

A = {2,3,4,5,6,7} | B = {2,3,4,6,7}

Sind die beiden Mengen gleich?

Beide Mengen sind nicht gleich, da die Elemente aus A nicht alle in B enthalten sind (5). Man schreibt dann: $A \neq B$

Beispiel: Gleiche Mengen

A = {a,b,c,d,e} | B = {a,b,c,d,e}

Sind die beiden Mengen gleich?

Hier sind beiden Mengen gleich. Alle Elemente aus A sind in B enthalten und umgekehrt. Man schreibt dann: $A = B$

Mengenoperationen

Betrachtest du die Beziehung zwischen zwei Mengen so können wir die vier Möglichkeiten betrachten:

Teilmenge
Schnittmenge
Vereinigungsmenge
Differenzmenge

In den nachfolgenden Lerneinheiten wollen wir uns diese vier Möglichkeiten mal genauer anschauen.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir uns jetzt umfassen mit der Mengenschreibweise und der Mächtigkeit von Mengen befasst haben, behandeln wir in der folgenden Lerneinheit die Teilmenge.

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