In dieser Kurslektion erklären wir dir einfach und ausführlich die Mengenschreibweise.
Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema. Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme: Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik
Lernclips | Mengenschreibweise
Video | Aufzählende Mengenschreibweise
Im folgenden Video betrachten wir die aufzählende Mengenschreibweise.
Video | Beschreibende Mengenschreibweise
Im folgenden Video betrachten wir die beschreibende Mengenschreibweise.
Mengenschreibweise – Definition
“Eine Menge ist die Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamteinheit. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.”
Innerhalb der Mengenlehre werden Mengen untersucht. Eine Menge ist die Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamteinheit. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.
Was ist Mengenschreibweise?
Mengenschreibweise ist die Art und Weise, wie Mengen in der Mathematik notiert werden. Mengen sind Sammlungen von verschiedenen Objekten oder Elementen, die als eine Einheit betrachtet werden.
Innerhalb der Mengenlehre unterscheiden wir die aufzählende und die beschreibende Mengenschreibweise.
Aufzählende Mengenschreibweise
Wir sprechen von einer aufzählenden Schreibweise, wenn die Elemente einer Menge in geschweifte Klammern gesetzt werden und durch Kommata oder Semikolons getrennt werden:
M = {Element 1, Element 2, …}
M = {Element 1; Element 2; …}
Beispiele zur aufzählenden Mengenschreibweise
Schauen wir uns hierzu mal zwei Beispiele an.
Du sollst in aufzählender Mengenschreibweise die Menge aller Zahlen angeben, die durch 3 teilbar, größer als 5 und kleiner als 20 sind.
Für die aufzählende Mengenschreibweise wählst du die geschweiften Klammern. Du weißt, dass deine Zahlen größer als 5 und kleiner als 20 sein müssen und zusätzlich durch 3 teilbar:
M = {6, 9, 12, 15, 18}
Deine Menge beinhaltet 5 Elemente.
Du sollst in aufzählender Mengenschreibweise die Menge aller Zahlen angeben, die durch 5 teilbar, größer als -10 und kleiner als 40 sind.
Du weißt, dass deine Zahlen größer als -10 und kleiner als 40 sein müssen und zusätzlich durch 5 teilbar:
M = {-5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}
Deine Menge beinhaltet 9 Elemente.
Beschreibende Mengenschreibweise
Wir sprechen von einer beschreibenden Schreibweise, wenn die Elemente einer Menge durch ihre charakterisierenden Eigenschaften beschrieben werden.
Dabei kann die Eigenschaft als mathematische Formulierung oder als Text formuliert werden. Nach dem ersten x wird auch grundsätzlich noch die Zahlenmenge angegeben, in welcher x gültig ist. Also um Beispiel:
Gelesen: x ist Element (
) aller natürlichen Zahlen (
), für die gilt: x ist durch zwei teilbar.
Schauen wir uns hierzu mal einige Beispiele an.
Beispiele zur beschreibenden Mengenschreibweise
Du sollst in beschreibender Schreibweise die Menge aller natürlichen Zahlen angeben die größer als 8 und kleiner als 20 sind.
Wir betrachten hier die Menge aller natürlichen Zahlen . Natürlich musst du hierfür die Zahlenmengen kennen (vorangegangene Lerneinheit). Die Menge aller natürlichen Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen. In unserem Beispiel zwischen 8 und 20:
Du kannst hier auch eine mathematische Formulierung wählen, indem du die Zeichen < und > verwendest:
Gelesen: x ist Element aller natürlichen Zahlen, für die gilt: x ist größer als 8 und kleiner als 20.
Du sollst in beschreibender Schreibweise die Menge aller reellen Zahlen angeben die größer als -24,5 und kleiner als 20 sind.
Hast du eine Aufgabe mit rationalen und reellen Zahlen gegeben, so kannst du im Endeffekt nur die beschreibende Mengenschreibweise verwenden. Denn die rationalen und reellen Zahlen kannst du schlecht in einer geschweiften Klammer angeben. Alleine die Zahlen zwischen 0 und 1 kannst du nicht aufführen: 0; 0,0001; 0,0001; 0,05 …Denn bei den reellen und rationalen Zahlen werden auch die Dezimalzahlen zwischen den ganzen Zahlen berücksichtigt. Deswegen musst du hier die beschreibende Mengenschreibweise wählen:
oder
Mengenschreibweise – Zusatzinformationen
Darstellung von Mengen
Mengen können in einem Mengendiagramm (auch: Venn-Diagramm) dargestellt werden. Sie sind vor allem im späteren Vergleich von mehreren Mengen relevant. Grundsätzlich werden bei den Mengendiagrammen die Elemente einer Menge innerhalb eines Kreises oder einer Ellipse dargestellt:
In der obigen Grafik siehst du die beiden Mengen A und B und die Elemente dieser Mengen. Du kannst auf den ersten Blick erkennen, dass innerhalb der Menge A die Menge aller Elemente, die größer gleich 7 und kleiner gleich 49 sowie durch 7 teilbar sind, enthalten sind. In der Menge B finden sich alle Elemente, die größer gleich 12 und kleiner gleich 32 sowie durch 4 teilbar sind. Elemente die nicht zu diesen Mengen zählen sind außerhalb der Mengen abgebildet. Außerdem sind die gegebenen Elemente alle ganzzahlig und positiv. Damit sind hier nur natürliche Zahlen gegeben.
Es gilt also für die Menge A:
A = {7,14,21,28,35,42,49}
bzw.
Für die Menge B gilt dann:
B = {12,16,20,24,28,32}
bzw.
Du kannst natürlich auch mit größer als und kleiner als arbeiten, dann gilt:
Da x größer als 8 ist und wir nur natürliche Zahlen betrachten, die durch 4 teilbar sind, startest du mit der nächst größeren Zahl, also der 16. Deine letzte Zahl ist kleiner als 36 und durch 4 teilbar. Also endet die Menge mit der nächst kleineren Zahl, die durch 4 teilbar ist, also der 32.
Möchtest du angeben, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht, so gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder das Element ist in der Menge enthalten oder nicht 
.
Mächtigkeit einer Menge
Die Mächtigkeit einer Menge wird durch die Anzahl der Elemente bestimmt:
Die Anzahl der Elemente einer Menge gibt die Mächtigkeit der Menge an.
Die Mächtigkeit einer Menge wird durch Betragsstriche angegeben:
M = |Anzahl Elemente|
Besitzen die beiden Mengen und die gleiche Mächtigkeit?
A = {x,y,z} | B = {5,10,15,20}
Die Menge A weist 3 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: A = |3|
Die Menge B weist 4 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: B = |4|
Die beiden Menge weisen nicht die gleiche Mächtigkeit auf.
Gleichheit von Mengen
Zwei Mengen sind dann gleich, wenn die Elemente beider Mengen identisch sind.
Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn alle Elemente aus A in B enthalten sind und umgekehrt.
A = {2,3,4,5,6,7} | B = {2,3,4,6,7}
Sind die beiden Mengen gleich?
Beide Mengen sind nicht gleich, da die Elemente aus A nicht alle in B enthalten sind (5). Man schreibt dann: 
A = {a,b,c,d,e} | B = {a,b,c,d,e}
Sind die beiden Mengen gleich?
Hier sind beiden Mengen gleich. Alle Elemente aus A sind in B enthalten und umgekehrt. Man schreibt dann: 
Mengenoperationen
Betrachtest du die Beziehung zwischen zwei Mengen so können wir die vier Möglichkeiten betrachten:
- Teilmenge
- Schnittmenge
- Vereinigungsmenge
- Differenzmenge
In den nachfolgenden Lerneinheiten wollen wir uns diese vier Möglichkeiten mal genauer anschauen.
Anwendung der Mengenschreibweise
- Mathematik: In der Mathematik wird diese Schreibweise verwendet, um mathematische Objekte präzise und klar zu definieren.
- Informatik: In der Informatik hilft die Schreibweise, Datenstrukturen und Algorithmen zu beschreiben.
- Statistik: In der Statistik wird die Schreibweise verwendet, um Stichprobenräume und Ereignisse darzustellen.
Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)
1. Was ist Mengenschreibweise?
Mengenschreibweise ist die Methode, um Mengen in der Mathematik darzustellen und zu beschreiben.
2. Welche Arten der Mengenschreibweise gibt es?
Es gibt aufzählende Mengenschreibweise, beschreibende Mengenschreibweise und Intervallschreibweise.
3. Wie funktioniert die aufzählende Mengenschreibweise?
Bei der aufzählenden Mengenschreibweise werden alle Elemente der Menge explizit aufgezählt und von geschweiften Klammern eingeschlossen.
4. Wie funktioniert die beschreibende Mengenschreibweise?
Bei der beschreibenden Mengenschreibweise wird eine Eigenschaft angegeben, die alle Elemente der Menge erfüllen müssen.
5. Was ist die Intervallschreibweise?
Die Intervallschreibweise wird verwendet, um Mengen von Zahlen darzustellen, die in einem bestimmten Intervall liegen.
Zusammenfassung
Diese Schreibweise ist eine grundlegende Methode, um Mengen präzise zu definieren und darzustellen. Mit verschiedenen Arten wie aufzählender, beschreibender und Intervallschreibweise bietet die Mengenschreibweise eine vielseitige und prägnante Möglichkeit, mathematische Konzepte zu beschreiben.
Diese Konzepte sind nicht nur theoretisch, sondern finden auch praktische Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Mathematik, Informatik und Statistik. Mit diesen Kenntnissen kannst du schnell und korrekt mit Mengenschreibweise arbeiten.
Nachdem wir uns jetzt umfassen mit der Mengenschreibweise und der Mächtigkeit von Mengen befasst haben, behandeln wir in der folgenden Lerneinheit die Teilmenge.
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