(Ma2-03) Mengenschreibweise

In dieser Lerneinheiten wollen wir uns mit der aufzählenden und beschreibenden Mengenschreibweise befassen.

 

 

Innerhalb der Mengenlehre werden Mengen untersucht. Eine Menge ist die Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamteinheit. Diese Objekte heißen Elemente der Menge. 

 

Innerhalb der Mengenlehre unterscheiden wir die aufzählende und die beschreibende Mengenschreibweise.

 

---

Aufzählende Mengenschreibweise

---

Wir sprechen von einer aufzählenden Mengenschreibweise, wenn die Elemente einer Menge in geschweifte Klammern gesetzt werden und durch Kommata oder Semikolons getrennt werden:

 

M = {Element 1, Element 2, …}

 

M = {Element 1; Element 2; …}

 

Schauen wir uns hierzu mal zwei Beispiele an.

 

Für die aufzählende Mengenschreibweise wählst du die geschweiften Klammern. Du weißt, dass deine Zahlen größer als 5 und kleiner als 20 sein müssen und zusätzlich durch 3 teilbar:

 

M = {6, 9, 12, 15, 18}

 

Deine Menge beinhaltet 5 Elemente.

 

 

Du weißt, dass deine Zahlen größer als -10 und kleiner als 40 sein müssen und zusätzlich durch 5 teilbar:

 

M = {-5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}

 

Deine Menge beinhaltet 9 Elemente.

 

Im folgenden Video betrachten wir die aufzählende Mengenschreibweise.

---

 

---

Beschreibende Mengenschreibweise

---

Wir sprechen von einer beschreibenden Mengenschreibweise, wenn die Elemente einer Menge durch ihre charakterisierenden Eigenschaften beschrieben werden.

 

 

Dabei kann die Eigenschaft als mathematische Formulierung oder als Text formuliert werden. Nach dem ersten x wird auch grundsätzlich noch die Zahlenmenge angegeben, in welcher x gültig ist. Also um Beispiel:

 

 

Gelesen: x ist Element () aller natürlichen Zahlen (), für die gilt:  x ist durch zwei teilbar.

 

Schauen wir uns hierzu mal einige Beispiele an.

 

Beispiele

 

Wir betrachten hier die Menge aller natürlichen Zahlen . Natürlich musst du hierfür die Zahlenmengen kennen (vorangegangene Lerneinheit). Die Menge aller natürlichen Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen. In unserem Beispiel zwischen 8 und 20:

 

 

Du kannst hier auch eine mathematische Formunlierung wählen, indem du die Zeichen < und > verwendest:

 

 

Gelesen: x ist Element aller natürlichen Zahlen, für die gilt: x ist größer als 8 und kleiner als 20.

 

 

Hast du eine Aufgabe mit rationalen und reellen Zahlen gegeben, so kannst du im Endeffekt nur die beschreibende Mengenschreibweise verwenden. Denn die rationalen und reellen Zahlen kannst du schlecht in einer geschweiften Klammer angeben. Alleine die Zahlen zwischen 0 und 1 kannst du nicht aufführen: 0; 0,0001; 0,0001; 0,05 …Denn bei den reellen und rationalen Zahlen werden auch die Dezimalzahlen zwischen den ganzen Zahlen berücksichtigt. Deswegen musst du hier die beschreibende Mengenschreibweise wählen:

 

 

oder

 

 

Im folgenden Video betrachten wir die beschreibende Mengenschreibweise.

---

 

---

Darstellung von Mengen

---

Mengen können in einem Mengendiagramm (auch: Venn-Diagramm) dargestellt werden. Sie sind vor allem im späteren Vergleich von mehreren Mengen relevant. Grundsätzlich werden bei den Mengendiagrammen die Elemente einer Menge innerhalb eines Kreises oder einer Ellipse dargestellt:

 

 

In der obigen Grafik siehst du die beiden Mengen A und B und die Elemente dieser Mengen. Du kannst auf den ersten Blick erkennen, dass innerhalb der Menge A die Menge aller Elemente größer gleich 7 und kleiner gleich 49 die durch 7 teilbar sind enthalten sind. In der Menge B finden sich alle Elemente größer gleich 12 und kleiner gleich 32, die durch 4 teilbar sind. Elemente die nicht zu diesen Mengen zählen sind außerhalb der Mengen abgebildet.

 

Es gilt also für die Menge A:

 

A = {7,14,21,28,35,42,49}

 

bzw.

 

A = {x | x ist größer gleich 7 und kleiner gleich 49 und durch 7 teilbar }

 

Für die Menge B gilt dann:

 

B = {12,16,20,24,28,32}

 

bzw.

 

B = {x | x ist größer gleich 12 und kleiner gleich 32 und durch 4 teilbar }

 

Du kannst natürlich auch mit größer als und kleiner als arbeiten, dann gilt:

 

B = {x | x ist größer als 8 und kleiner gleich 36 und durch 4 teilbar }

 

Möchtest du angegeben, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht, so gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder das Element ist in der Menge enthalten oder nicht .

 

Die Venn-Diagramme sind in den folgenden Lerneinheiten relevant, da wir dort mehrere Mengen miteinander vergleichen wollen.

 

---

Mächtigkeit einer Menge

---

Die Mächtigkeit einer Menge wird durch die Anzahl der Elemente bestimmt:

 

 

Die Mächtigkeit einer Menge wird durch Betragsstriche angegeben:

 

M = |Anzahl Elemente|

 

Besitzen die beiden Mengen $A$ und $B$ die gleiche Mächtigkeit?

 

A = {x,y,z} | B = {5,10,15,20}

 

Die Menge A weist 3 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: A = |3|

Die Menge B weist 4 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: B = |4|

Die beiden Menge weisen nicht die gleiche Mächtigkeit auf.

 

---

Gleichheit von Mengen

---

Zwei Mengen sind dann gleich, wenn die Elemente beider Mengen identisch sind.

 

 

Sind die beiden Mengen gleich?

 

A = {2,3,4,5,6,7} | B = {2,3,4,6,7}

 

Beide Mengen sind nicht gleich, da die Elemente aus A nicht alle in B enthalten sind (5). Man schreibt dann:

 

Sind die beiden Mengen gleich?

 

A = {a,b,c,d,e} | B = {a,b,c,d,e}

 

Hier sind beiden Mengen gleich. Alle Elemente aus A sind in B enthalten und umgekehrt. Man schreibt dann:

 

---

Mengenoperationen

---

Betrachtest du die Beziehung zwischen zwei Mengen so können wir die vier Möglichkeiten betrachten:

• Teilmenge 
• Schnittmenge
• Vereinigungsmenge
• Differenzmenge

In den nachfolgenden Lerneinheiten wollen wir uns diese vier Möglichkeiten mal genauer anschauen.

 

 

Übrigens….. Als “Mitglied unserer Technikermathe-Community” findest du unter jedem Kurstext zusätzlich einen Trainingsbereich mit vielen interaktiven Übungsaufgaben zur Wissensvertiefung, sowie eine umfangreiche Formelsammlung und Probeklausur am Ende eines jeden Kurses.

Dein Technikermathe.de-Team