(Ma1-30) Differenz von Mengen

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Differenz von Mengen, auch als Differenzmenge bezeichnet.

Definition: Differenz von Mengen

Die Differenzmenge der Menge $A$ und $B$ umfasst alle Elemente der Menge $A$ , welche nicht auch in der Menge $B$ enthalten sind. Im Gegensatz dazu umfasst die Differenzmenge $B$ und $A$ alle Elemente der Menge $B$ , welche nicht auch in der Menge $A$ enthalten sind.

Das Zeichen für die Angabe der Differenzmenge ist: $\backslash$

Wird also die Differenz aus der Menge A und B gebildet, so schreiben wir:

$A \backslash B$ A ohne B

$B \backslash A$ B ohne A

Wir können das ganze aber auch in beschreibender Mengenschreibweise wie folgt angeben:

$A \backslash B : = \{ x | x \in A \wedge x \notin B \}$

Gelesen: A ohne B ist definiert als: Die Menge aller x, die Element ( $\in$ ) der Menge A und ( $\wedge$ ) nicht Element ( $\notin$ ) der Menge B sind.

$B \backslash A : = \{ x | x \in B \wedge x \notin A \}$

Gelesen: B ohne A ist definiert als: Die Menge aller x, die Element ( $\in$ ) der Menge B UND ( $\wedge$ ) nicht Element ( $\notin$ ) der Menge A sind.

Merk's dir!

Hier ist das $\wedge$ das logische UND. Diese besagt, dass beide Aussagen erfüllt sein müssen, damit die gesamte Aussage erfüllt (wahr) ist.

In der nachfolgenden Grafik siehst du die Differenzmenge nochmal als Venn-Diagramm und darunter in beschreibenden Mengenschreibweise angegeben:

Bei der Differenzmenge A\B, werden alle Elemente der Mengen A ohne B zu einer neuen Menge zusammengefasst. Bei der Differenzmenge B\A, werden alle Elemente der Mengen B ohne A zu einer neuen Menge zusammengefasst.

Video: Differenz von Mengen

Im folgenden Video zeigen wir dir anhand eines Beispiels, wie du die Differenzmenge zweier Mengen bildest.

Lernclip

Differenz zweier Mengen

Schauen wir uns im folgenden mal einige Beispiele zur Differenz zweier Mengen an.

Beispiele zur Differenz von Mengen

Beispiel 1 : Differenzmenge

Aufgabenstellung

Gegeben seien die beiden Mengen A = {-4, -2, 0, 1, 2} und B = {-1, -2, 0, 2, 8, 9 }.

Bestimme $A \backslash B$ und $B \backslash A$ !

Lösung

Die Differenzmenge A\B enthält alle Elemente der Menge A ohne die Elemente der Menge B. Das bedeutet, dass diejenigen Elemente von B, die auch in A vorkommen, nicht berücksichtigt werden:

$A \backslash B = \{-4, 1 \}$

Die Differenz der beiden Mengen enthält zwei Elemente.

Die Differenzmenge B\A enthält alle Elemente der Menge B ohne die Elemente der Menge A. Das bedeutet, dass diejenigen Elemente von A, die auch in B vorkommen, nicht berücksichtigt werden:

$A \backslash B = \{-1, 8, 9 \}$

Die Differenz der beiden Mengen enthält drei Elemente.

Beispiel 2: Differenz von Mengen

Aufgabenstellung

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \{-3, -2\}$ und $B = \{x \in \mathbb{Z} | -5 \le x \le 2 \}$ .

Bestimme $B \backslash A$ !

Lösung

Die Differenzmenge B\A enthält alle Elemente der Menge B ohne die Elemente der Menge A. Das bedeutet, dass diejenigen Elemente von A, die auch in B vorkommen, nicht berücksichtigt werden. Die Menge B ist als beschreibende Mengenschreibweise angegeben. Da es sich hierbei um die ganzen Zahlen handelt, können wir diese auch in aufzählender Mengenschreibweise angeben:

$B = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 \}$

Wir können nun die Differenzmenge B\A bilden:

$B \backslash A = \{-5, -4, -1, 0, 1, 2 \}$

Beispiel 3: Differenzmenge

Aufgabenstellung

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \{x \in \mathbb{R} | -1 \le x < 5 \}$ und $B = \{x \in \mathbb{R} | -6 \le x \le 4 \}$ .

Bestimme $B \backslash A$ !

Lösung

Wir haben hier beide Mengen in beschreibender Mengenschreibweise angegeben. Für beide Mengen ist x Element der reellen Zahlen. Wir können dies Mengen nun nicht in aufzählender Mengenschreibweise angegeben, aber da sie den gleichen Zahlenbereich aufweisen miteinander vergleichen.

Wir bilden nun die Differenzmenge B\A, indem wir alle Elemente aus B ohne A berücksichtigen:

$B \backslash A = \{x \in \mathbb{R} | -6 \le x < -1 \}$

Wir können die reellen Zahlen von -6 bis kleiner -1 berücksichtigen, da die Menge A die zahlen von einschließlich -1 bis kleiner 5 berücksichtigt. Diese Zahlen dürfen wir also in der Differenzmenge nicht berücksichtigen.

Beispiel 4: Differenz von Mengen

Aufgabenstellung

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \{x \in \mathbb{R} | -1 \le x < 5 \}$ und $B = \{x \in \mathbb{R} | -6 \le x \le 10 \}$ .

Bestimme $B \backslash A$ !

Lösung

Wir bilden nun die Differenzmenge B\A, indem wir alle Elemente aus B ohne A berücksichtigen:

$B \backslash A = \{x \in \mathbb{R} | -6 \le x < -1 \wedge 5 \le x \le 10 \}$

Da die Menge A die Zahlen von einschließlich -1 bis kleiner 5 (nicht mehr enthalten) berücksichtigt, dürfen wir diese Zahlen nicht berücksichtigen.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der nachfolgenden Lerneinheit findest du die Probeklausur mit ausführlicher Lösung zu diesem Kurs.

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