[MA1] Vereinigungsmenge [Grundlagen, Erklärung, Videoclips, Aufgaben & Tipps]

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In dieser Lerneinheit behandeln wir die Vereinigung von Mengen, auch als Vereinigungsmenge bezeichnet.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Auch interessant! Alles zu Linearen Gleichungen findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme

Vereinigung von Mengen | Mengenvereinigung
Vereinigung von Mengen | Mengenvereinigung

 

Vereinigung von Mengen | Grundlagen

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen ist die Zusammenfassung aller Elemente, die in der Menge A oder in der Menge B oder in beiden enthalten sind.

Das Arbeiten mit Vereinigungsmengen ist ein wesentlicher Bestandteil der Mengenlehre in der Mathematik. 

Was ist eine Vereinigungsmenge?

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen enthält alle Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen vorkommen. Diese Operation hilft, alle Elemente zweier oder mehrerer Mengen zusammenzufassen.

 

Vereinigung von Mengen – Schreibweise

Das Zeichen für die Angabe der Vereinigungsmenge ist: \cup

Werden also die beiden Menge A und B miteinander vereinigt, so schreiben wir:

A \cup B        A vereinigt mit B

 

Wir können das ganze aber auch in beschreibender Mengenschreibweise wie folgt angeben:

A \cup B  = \{x | x \in A \vee x \in B \}

 

Gelesen: A vereinigt mit B ist gleich die Menge aller x für die gilt: x ist Element von A oder (\vee) Element von B (oder von beiden).

 

Merk’s dir!

Hier ist das \vee das logische ODER. Bei einem logischen Oder muss mindestens eine der Bedingungen erfüllt sein, damit der Ausdruck erfüllt wird. 

 

Wir vereinigen hier also zwei Mengen indem wir alle Elemente berücksichtigen die entweder in A oder in B oder in beiden vorkommen. 

 

In der nachfolgenden Grafik siehst du die Vereinigung von Mengen als Venn-Diagramm und darunter in beschreibenden Mengenschreibweise angegeben:

Venn-Diagramm | Vereinigungsmenge, Vereinigung von Mengen
Venn-Diagramm | Vereinigungsmenge, Vereinigung von Mengen

 

Bei der Vereinigung von Mengen, werden alle Elemente der Menge A und alle Elemente der Menge B und alle Elemente beider Mengen zu einer Menge zusammengefasst.  Das logische ODER bedeutet hier also, dass 

 

Video | Vereinigung von Mengen

Im folgenden Video zeigen wir dir anhand eines Beispiels, wie du die Vereinigungsmenge zweier Mengen bildest.

Lernclip: Vereinigung zweier Mengen

 

Schauen wir uns im folgenden mal einige Beispiele zur Vereinigung  von Mengen an.

Aufgaben zur Vereinigungsmenge

Aufgabe 1 : Vereinigung von Mengen

Aufgabenstellung

Gegeben seien die beiden Mengen A = {-4, -2, 0} und B = {-1, -2, 0, 8, 9 }.

Bestimme A \cup B!

Lösung

Die Vereinigung zweier Mengen A und B sind alle Elemente, die in der Menge A oder in der Menge B oder in beiden enthalten sind. Wir fassen also alle Elemente zu einer Gesamtmenge zusammen. Doppelt vorkommende Elemente werden nur einmal berücksichtigt:

A \cup B = \{-4, -2, -1, 0, 8, 9 \}

Die Vereinigung der beiden Mengen enthält sechs Elemente.

 

Aufgabe 2: Vereinigung von Mengen

Aufgabenstellung

Gegeben seien die beiden Mengen A = \{-3, -2\}  und B = \{x \in \mathbb{Z} | -1 \le x \le 4 \}.

Bestimme B \cup A!

Lösung

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B sind alle Elemente, die in der Menge A oder in der Menge B oder in beiden enthalten sind. Die Menge B ist als beschreibende Mengenschreibweise angegeben. Da es sich hierbei um die ganzen Zahlen handelt, können wir diese auch in aufzählender Mengenschreibweise angeben:

B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4  \}

 

Wir können nun die Vereinigung der beiden Mengen bilden:

A \cup B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}

 

Aufgabe 3: Vereinigung von Mengen

Aufgabenstellung

Gegeben seien die beiden Mengen A = \{x \in \mathbb{R} | -1 \le x < 5 \} und B = \{x \in \mathbb{R} | -6 \le x \le 4 \}.

Bestimme A \cup B!

Lösung

Wir haben hier beide Mengen in beschreibender Mengenschreibweise angegeben. Für beide Mengen ist x Element der reellen Zahlen. Wir können dies Mengen nun nicht in aufzählender Mengenschreibweise angegeben, aber da sie den gleichen Zahlenbereich aufweisen miteinander vergleichen.

Menge A startet bei -1. Menge B startet bei -6.

Menge A endet bei <5. Menge B endet bei 4.

 

Wir müssen nun alle Zahlen miteinander vereinigen, also von -6 bis <5:

A \cup B = \{x \in \mathbb{R} | -6 \le x < 5\}

 

Die kleinste Zahl ist also die -6 (einschließlich), die größte Zahl die 5 (ausschließlich). Die beiden Zahlen sowie alle Zahlen dazwischen bilden die Vereinigungsmenge.

 

Aufgabe 4: Vereinigung von drei Mengen

Aufgabenstellung

Gegeben seien die drei Mengen A = {4,6,12}, B = {a, k, y, z} und C = {6, 7, a, b}

Bestimme A \cup B \cup C!

Lösung

In diesem Fall sollen wir drei Mengen miteinander vereinigen. Wir können hier nun zum Beispiel damit starten zunächst die Mengen A und B miteinander zu vereinigen und das Ergebnis dann mit C:

(A \cup B) \cup C

 

Wir vereinigen zunächst A und B:

A \cup B = \{4, 6, 12, a, k, y, z \}

 

Danach vereinigen wir das Ergebnis mit C:

(A \cup B) \cup C = \{4,6, 7, 12, a, b, k, y, z \}

 

Anwendung der Vereinigungsmenge

  • Datenbanken: In Datenbanken wird die Vereinigungsmenge verwendet, um Datensätze zu kombinieren, die in verschiedenen Tabellen oder Abfragen enthalten sind.
  • Mengenoperationen: Die Vereinigungsmenge wird häufig in der Mengenlehre und bei der Definition von Mengenoperationen verwendet.
  • Venn-Diagramme: Venn-Diagramme visualisieren die Vereinigungsmenge zwischen verschiedenen Mengen und zeigen die Elemente, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist eine Vereinigungsmenge?

Die Vereinigungsmenge ist die Menge aller Elemente, die in mindestens einer der betrachteten Mengen enthalten sind.

2. Wie berechnet man die Vereinigungsmenge?

Man kombiniert alle Elemente der beteiligten Mengen, wobei jedes Element nur einmal aufgeführt wird.

3. Was passiert, wenn eine der Mengen leer ist?

Wenn eine der Mengen leer ist, ist die Vereinigungsmenge gleich der nicht-leeren Menge.

4. Kann die Vereinigungsmenge mehrerer Mengen berechnet werden?

Ja, die Vereinigungsmenge mehrerer Mengen enthält alle Elemente, die in mindestens einer der betrachteten Mengen enthalten sind.

 

Zusammenfassung

Die Vereinigungsmenge zweier oder mehrerer Mengen enthält alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen vorkommen. Mit Eigenschaften wie Kommutativität und Assoziativität ist das Arbeiten mit Vereinigungsmengen in der Mathematik strukturiert und logisch. Diese Konzepte sind nicht nur theoretisch, sondern finden auch praktische Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Datenbanken und Mengenoperationen. Mit diesen Kenntnissen kannst du schnell und korrekt mit Vereinigungsmengen arbeiten.

 

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir die Differenz zweier Mengen (Differenzmenge).

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