[MA1] Eigenschaften von Mengen [Grundlagen, Erklärung, Videoclips, Aufgaben & Tipps]

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Inhaltsverzeichnis:

In dieser Lerneinheit betrachten wir einige Eigenschaften von Mengen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Auch interessant! Alles zu Linearen Gleichungen findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme

 

Mengen – Grundlagen

 

Eigenschaften von Mengen - Grundlagen
Eigenschaften von Mengen – Grundlagen

 

Nachdem wir gelernt haben, was die aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise ist, betrachten wir in dieser Lerneinheit einmal die unterschiedlichen Eigenschaften von Mengen.

Das Arbeiten mit Mengen ist ein grundlegender Teil der Mathematik, insbesondere in der Mengenlehre und Algebra.

Was sind Mengen?

Eine Menge ist eine Sammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die als Elemente der Menge bezeichnet werden. Mengen können alles enthalten: Zahlen, Buchstaben, Objekte oder sogar andere Mengen. 

 

Eigenschaften von Mengen – Unterscheidung von Mengen

  • Eine Menge M die mindestens ein Elemente enthält wird als nicht leere Menge bezeichnet. Enthält eine Menge kein Element, so wird sie als leer bezeichnet.

    M = \{x \in \mathbb{R} | 1 + x^2 = 0 \}. Es gibt kein Element für x, welches die Gleichung erfüllt. Egal welche Zahl für x eingesetzt wird, die Gleichung nimmt niemals den Wert Null an. Damit handelt es sich hierbei um eine leere Menge.

 

  • Eine Menge die keine Elemente oder abzählbare Elemente enthält bezeichnen wir als endliche Menge. Eine Menge mit nicht abzählbaren Elementen (also unendlichen Elementen), bezeichnen wir als unendliche Menge.

    Die Menge M = \{ x \in \mathbb{N} | x + 5 < 12 \} ist endlich. Da hier die natürlichen Zahlen (positive ganze Zahlen) betrachtet werden die kleiner als 12 sind, ist die Menge abzählbar (einsetzen von x = 1 bis x = 6) : M = \{6, 7, 8, 9, 10, 11 \}.

    Die Menge M =  \{ x \in \mathbb{N} | x + 5 > 12 \} hingegen ist unendlich, da hier keine Obergrenze angegeben ist. Alle natürlichen Zahlen größer als 12 werden hier berücksichtigt.

 

Eigenschaften vom Mengen – Mächtigkeit von Mengen

Die Mächtigkeit von Mengen wird durch die Anzahl der Elemente bestimmt:

Merk’s dir!

Die Anzahl der Elemente einer Menge gibt die Mächtigkeit der Menge an.

 

Die Mächtigkeit einer Menge wird durch Betragsstriche angegeben:

M = |Anzahl Elemente|

 

Besitzen die beiden Mengen  und  die gleiche Mächtigkeit?

A = {x,y,z} | B = {5,10,15,20}

 

Die Menge A weist 3 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: A = |3|

Die Menge B weist 4 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: B = |4|

Die beiden Menge weisen nicht die gleiche Mächtigkeit auf.

 

Eigenschaften von Mengen – Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen sind dann gleich, wenn die Elemente beider Mengen identisch sind.

Merk’s dir!

Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn alle Elemente aus A in B enthalten sind und umgekehrt.

 

Sind die beiden Mengen gleich?

A = {2,3,4,5,6,7} | B = {2,3,4,6,7}

 

Beide Mengen sind nicht gleich, da die Elemente aus A nicht alle in B enthalten sind. Man schreibt dann: A \neq B

 

Sind die beiden Mengen gleich?

A = {a,b,c,d,e} | B = {a,b,c,d,e}

 

Hier sind beiden Mengen gleich. Alle Elemente aus A sind in B enthalten und umgekehrt. Man schreibt dann: A = B

 

Man schreibt auch:

Gleiche Mengen

A = B \leftrightarrow ( A \subseteq B \wedge B \subseteq A)

 

Gelesen: Die Menge A ist gleich der Menge B, wenn A Teilmenge (\subseteq) der Menge B ist und (\wedge) B Teilmenge (\subseteq) der Menge A.

 

Unvergleichbare Mengen

Zwei Mengen sind unvergleichbar, wenn keine Menge ein Element der anderen Menge enthält. 

 

Merk’s dir!

Zwei Mengen A und B sind unvergleichbar, wenn alle Elemente aus A nicht in B enthalten sind und umgekehrt.

 

Sind die beiden Mengen unvergleichbar?

A = {2,3,4,5} | B = {1,6,7,8}

 

Beide Mengen sind unvergleichbar, da kein Elemente aus A auch in B enthalten ist und umgekehrt.

Man schreibt auch:

Unvergleichbare Mengen

A \neq B \leftrightarrow (A \not \subseteq B \wedge B \not \subseteq A)

 

Gelesen: Die Menge A ist nicht gleich (\neq) der Menge B, wenn A nicht Teilmenge (\not \subseteq) der Menge B ist und (\wedge) B nicht Teilmenge (\not \subseteq) der Menge A.

 

Darstellung von Mengen | Mengendiagramm, Venn-Diagramm

Mengen können in einem Mengendiagramm (auch: Venn-Diagramm) dargestellt werden. Sie sind vor allem im späteren Vergleich von mehreren Mengen relevant. Grundsätzlich werden bei den Mengendiagrammen die Elemente einer Menge innerhalb eines Kreises oder einer Ellipse dargestellt:

Eigenschaften von Mengen - Venn-Diagramm
Eigenschaften von Mengen – Venn-Diagramm

 

In der obigen Grafik siehst du die beiden Mengen A und B und die Elemente dieser Mengen. Du kannst auf den ersten Blick erkennen, dass innerhalb der Menge A die Menge aller Elemente, die größer gleich 7 und kleiner gleich 49 sowie durch 7 teilbar sind, enthalten sind. In der Menge B finden sich alle Elemente, die größer gleich 12 und kleiner gleich 32 sowie durch 4 teilbar sind. Elemente die nicht zu diesen Mengen zählen sind außerhalb der Mengen abgebildet. Außerdem sind die gegebenen Elemente alle ganzzahlig und positiv. Damit sind hier nur natürliche Zahlen gegeben.

Es gilt also für die Menge A:

A = {7,14,21,28,35,42,49}

bzw.

A = \{x \in \mathbb{N} | \; \text{x ist größer gleich 7 und kleiner gleich 49 und durch 7 teilbar} \}

 

Für die Menge B gilt dann:

B = {12,16,20,24,28,32}

bzw.

B = \{x \in \mathbb{N}  | \; \text{x ist größer gleich 12 und kleiner gleich 32 und durch 4 teilbar} \}

 

Du kannst natürlich auch mit größer als und kleiner als arbeiten, dann gilt:

B = \{x \in \mathbb{N} | \; \text{x ist größer als 8 und kleiner als 36 und durch 4 teilbar}  \}

 

Da x größer als 8 ist und wir nur natürliche Zahlen betrachten, die durch 4 teilbar sind, startest du mit der nächst größeren Zahl, also der 16. Deine letzte Zahl ist kleiner als 36 und durch 4 teilbar. Also endet die Menge mit der nächst kleineren Zahl, die durch 4 teilbar ist, also der 32.

 

Merk’s dir!

Möchtest du angeben, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht, so gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder das Element ist in der Menge \in enthalten oder nicht \notin.

 

Mengenoperationen

Betrachtest du die Beziehung zwischen zwei Mengen so können wir die vier Möglichkeiten betrachten:

  • Teilmenge 
  • Schnittmenge
  • Vereinigungsmenge
  • Differenzmenge

 

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist eine Menge?

Eine Menge ist eine Sammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die als Elemente der Menge bezeichnet werden.

2. Wie bildet man die Vereinigungsmenge zweier Mengen?

Die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente, die in einer der beiden Mengen enthalten sind.

3. Was ist die Schnittmenge?

Die Schnittmenge enthält alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

4. Was ist die Differenzmenge?

Die Differenzmenge enthält alle Elemente, die in der ersten Menge, aber nicht in der zweiten Menge enthalten sind.

 

Zusammenfassung

Das Rechnen mit Mengen umfasst grundlegende Operationen wie Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Differenzmenge und Komplementmenge. Diese Operationen helfen, die Beziehungen zwischen verschiedenen Mengen zu verstehen und komplexe mathematische Probleme zu lösen. Mit diesen Kenntnissen kannst du schnell und korrekt mit Mengen arbeiten.

 

Was kommt als Nächstes?

In den nachfolgenden Lerneinheiten wollen wir uns diese vier Mengenoperationen mal genauer anschauen.

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