(Ma1-26) Eigenschaften von Mengen

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit betrachten wir einige Eigenschaften von Mengen.

 

Eigenschaften von Mengen

 

Nachdem wir gelernt haben, was die aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise ist, betrachten wir in dieser Lerneinheit einmal die unterschiedlichen Eigenschaften von Mengen.


Unterscheidung von Mengen


  • Eine Menge M die mindestens ein Elemente enthält wird als nicht leere Menge bezeichnet. Enthält eine Menge kein Element, so wird sie als leer bezeichnet.

    M = \{x \in \mathbb{R} | 1 + x^2 = 0 \}. Es gibt kein Element für x, welches die Gleichung erfüllt. Egal welche Zahl für x eingesetzt wird, die Gleichung nimmt niemals den Wert Null an. Damit handelt es sich hierbei um eine leere Menge.

 

  • Eine Menge die keine Elemente oder abzählbare Elemente enthält bezeichnen wir als endliche Menge. Eine Menge mit nicht abzählbaren Elementen (also unendlichen Elementen), bezeichnen wir als unendliche Menge.

    Die Menge M = { x \in \mathbb{N} | x + 5 < 12} ist endlich. Da hier die natürlichen Zahlen (positive ganze Zahlen) betrachtet werden die kleiner als 12 sind, ist die Menge abzählbar (einsetzen von x = 1 bis x = 6) : M = \{6, 7, 8, 9, 10, 11 \}.   Die MengeM =  \{ x \in \mathbb{N} | x + 5 > 12}hingegen ist unendlich, da hier keine Obergrenze angegeben ist. Alle natürlichen Zahlen größer als 12 werden hier berücksichtigt.</li> </ul>   <hr /> <h2><strong>Mächtigkeit von Mengen</strong></h2> <hr /> Die Mächtigkeit von Mengen wird durch die Anzahl der Elemente bestimmt:   [su_box title="Merk's dir!" box_color="#32bf32" title_color="#32bf32" radius="5"] [su_service title="Merk's dir!" icon="icon: info" icon_color="#32bf32"] Die Anzahl der Elemente einer Menge gibt die Mächtigkeit der Menge an. [/su_service] [/su_box]   Die Mächtigkeit einer Menge wird durch <strong>Betragsstriche</strong> angegeben:   <blockquote> M = |Anzahl Elemente| </blockquote>   <em>Besitzen die beiden Mengen <span id="MathJax-Element-27-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="box-sizing: inherit; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-weight: normal; font-size: 17.55px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>"><span id="MJXc-Node-169" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-170" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-171" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">A</span></span></span></span></span> und <span id="MathJax-Element-28-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="box-sizing: inherit; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-weight: normal; font-size: 17.55px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math>"><span id="MJXc-Node-172" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-173" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-174" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">B</span></span></span></span></span> die gleiche Mächtigkeit?</em>   <blockquote> A = {x,y,z} | B = {5,10,15,20} </blockquote>   Die Menge A weist 3 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: A = |3| Die Menge B weist 4 Elemente auf. Die Mächtigkeit beträgt: B = |4| Die beiden Menge weisen <strong>nicht</strong> die gleiche Mächtigkeit auf.   <hr /> <h2><strong>Gleichheit von Mengen</strong></h2> <hr /> Zwei Mengen sind dann <strong>gleich</strong>, wenn die Elemente beider Mengen identisch sind.   [su_box title="Merk's dir!" box_color="#32bf32" title_color="#32bf32" radius="5"] [su_service title="Merk's dir!" icon="icon: info" icon_color="#32bf32"] Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn alle Elemente aus A in B enthalten sind und umgekehrt. [/su_service] [/su_box]   <i>Sind die beiden Mengen gleich?</i>   <blockquote> A = {2,3,4,5,6,7} | B = {2,3,4,6,7} </blockquote>   Beide Mengen sind nicht gleich, da die Elemente aus A nicht alle in B enthalten sind (5). Man schreibt dann:A \neq B   <i>Sind die beiden Mengen gleich?</i>   <blockquote> A = {a,b,c,d,e} | B = {a,b,c,d,e} </blockquote>   Hier sind beiden Mengen gleich. Alle Elemente aus A sind in B enthalten und umgekehrt. Man schreibt dann:A = B   Man schreibt auch:   <blockquote> A = B \rightleftarrow ( A \subseteq B \wedge B \subseteq A)     <strong>Gleiche Mengen</strong> </blockquote>   <strong>Gelesen:</strong> Die Menge A ist <strong>gleich</strong> der Menge B, <strong>wenn</strong> A Teilmenge (\subseteq) der Menge B ist und (\wedge) B Teilmenge (\subseteq) der Menge A.   <hr /> <h2><strong>Unvergleichbare Mengen</strong></h2> <hr /> Zwei Mengen sind unvergleichbar, wenn keine Menge ein Element der anderen Menge enthält.    [su_box title="Merk's dir!" box_color="#32bf32" title_color="#32bf32" radius="5"] [su_service title="Merk's dir!" icon="icon: info" icon_color="#32bf32"] Zwei Mengen A und B sind unvergleichbar, wenn alle Elemente aus A nicht in B enthalten sind und umgekehrt. [/su_service] [/su_box]   <i>Sind die beiden Mengen unvergleichbar?</i>   <blockquote> A = {2,3,4,5} | B = {1,6,7,8} </blockquote>   Beide Mengen sind unvergleichbar, da die Elemente aus A nicht in B enthalten sind und umgekehrt.   Man schreibt auch:   <blockquote> A \neq B \leftrightarrow (A \not \subseteq B \wedge B \not \subseteq A)     <strong>Unvergleichbare Mengen</strong> </blockquote>   <strong>Gelesen:</strong> Die Menge A ist <strong>nicht</strong> <strong>gleich</strong> (\neq) der Menge B, <strong>wenn</strong> A nicht Teilmenge (\not \subseteq) der Menge B ist und (\wedge) B nicht Teilmenge (\not \subseteq) der Menge A.   <hr /> <h2><strong>Darstellung von Mengen</strong></h2> <hr /> Mengen können in einem <strong>Mengendiagramm</strong> (auch: Venn-Diagramm) dargestellt werden. Sie sind vor allem im späteren Vergleich von mehreren Mengen relevant. Grundsätzlich werden bei den Mengendiagrammen die Elemente einer Menge innerhalb eines <em>Kreises</em> oder einer <em>Ellipse</em> dargestellt:   <a href="https://technikermathe.de/unit/ma2-03-mengenlehre/venn-diagramm/" rel="attachment wp-att-15204"><img class="aligncenter size-full wp-image-15204" src="https://technikermathe.de/wp-content/uploads/2020/10/venn-diagramm.jpg" alt="Venn Diagramm, Mengenlehre" width="1280" height="720" /></a>   In der obigen Grafik siehst du die beiden <strong>Mengen A</strong> und <strong>B</strong> und die Elemente dieser Mengen. Du kannst auf den ersten Blick erkennen, dass innerhalb der Menge A die Menge aller Elemente größer gleich 7 und kleiner gleich 49 die durch 7 teilbar sind enthalten sind. In der Menge B finden sich alle Elemente größer gleich 12 und kleiner gleich 32, die durch 4 teilbar sind. Elemente die nicht zu diesen Mengen zählen sind außerhalb der Mengen abgebildet.   Es gilt also für die <strong>Menge A</strong>:   <blockquote> A = {7,14,21,28,35,42,49}   </blockquote> bzw.   <blockquote> A = {x | x ist größer gleich 7 und kleiner gleich 49 und durch 7 teilbar } </blockquote>   Für die <strong>Menge B</strong> gilt dann:   <blockquote> B = {12,16,20,24,28,32}   </blockquote> bzw.   <blockquote> B = {x | x ist größer gleich 12 und kleiner gleich 32 und durch 4 teilbar } </blockquote>   Du kannst natürlich auch mit größer als und kleiner als arbeiten, dann gilt:   <blockquote> B = {x | x ist größer als 8 und kleiner gleich 36 und durch 4 teilbar } </blockquote>   Möchtest du angegeben, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht, so gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder das Element ist in der Menge\inenthalten oder nicht\notin$.

     

    Die Venn-Diagramme sind in den folgenden Lerneinheiten relevant, da wir dort mehrere Mengen miteinander vergleichen wollen.

     


    Mengenoperationen


    Betrachtest du die Beziehung zwischen zwei Mengen so können wir die vier Möglichkeiten betrachten:

    • Teilmenge 
    • Schnittmenge
    • Vereinigungsmenge
    • Differenzmenge

    In den nachfolgenden Lerneinheiten wollen wir uns diese vier Mengenoperationen mal genauer anschauen.

     

    wie gehts weiter

    Wie geht's weiter?

    In der folgenden Lerneinheit behandeln wir die Teilmenge.

     

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