(Ma1-25) Logarithmus

Wir wollen uns in dieser Lerneinheit mit dem Logarithmus befassen.

Nachdem wir Potenzen mit $a^n$ kennengelernt haben sowie Wurzeln mit $a^(\frac{{n}{m}}) = \sqrt[m]{a^n}$ wollen wir uns nun Logarithmen anschauen.

Logarithmus zu einer beliebigen Basis

Beim Logarithmus sucht man den Exponenten x einer Potenz:

$a^x = b$

Gegeben ist also die Basis a sowie das Ergebnis, also der Potenzwert b. Gesucht wird der Exponent x.

Beispiel

$10^{x} = 100 \to x = 2$

$x = 2: 10 \cdot 10 = 100$

In dem obigen sehr einfachen Beispiel kannst du den Exponenten n direkt angeben, denn du weißt, dass 10 · 10 = 100 ergibt und damit der Exponent n = 2 ist. In den meisten Fällen in der Mathematik kannst du aber nicht direkt ablesen, welchen Wert der Exponent n annimmt. Deswegen wendest du den Logartihmus an, um den Exponenten zu berechnen:

$a^x = b \; \; \; \rightarrow x = log_a (b)$

In Worten: Der Exponent x ist gleich der Logarithmus von b zur Basis a. Beim Logarithmus werden die einzelnen Größen wie folgt bezeichnet:

$\boxed{x = log_a (b)}$

a = Basis

x = Logarithmus(-wert)

b = Numerus

Betrachten wir zur Anwendung des Logarithmus ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Logarithmus

Gegeben sei die folgende Potenz:

$2^x = 32$

Berechne den Logarithmus x!

Um den Logarithmus x berechnen, setzt du:

$x = log_2 (32)$

Wie oft musst du die 2 mit sich selbst multiplizieren, damit 32 resultiert? Dazu musst du die 2 genau 5-mal mit sich selbst multiplizieren. Der Logarithmuswert ist also:

$x = 5$

Rechenregeln für das Logarithmieren

Es gibt bestimmte Rechenregeln, die du bei Berechnungen mittels Logarithmus beachten musst. Schauen wir uns diese mal genauer an. Die folgenden Rechenregeln gelten immer dann, wenn Logarithmen mit derselben Basis gegeben ist.

Multiplizieren

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren:

$\boxed{log_a (b \cdot c) = log_a (b) + log_a (c)}$

$\boxed{log_a ( b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_n) = log_a (b_1) + log_a (b_2) + ... + log_a (b_n)}$

Dividieren

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner:

$\boxed{log_a (\dfrac{a}{b}) = log_a (b) - log_a (c)}$

Potenzieren

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Logarithmus der Basis und dem Exponenten:

$\boxed{log_a (b^c) = c \; log_a (b)}$

Radizieren

Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Produkt aus dem Logarithmus des Radikanten und dem Wurzelexponenten:

$\boxed{log_a \sqrt[m]{b^n} = \dfrac{n}{m} \cdot log_a (b)}$

Wir wollen uns im Weiteren aber nicht den Logarithmus einer beliebigen Basis anschauen, sondern den Logarithmus von zwei bestimmten Basen, denn diese findest du auch auf deinem Taschenrechner hinterlegt. Damit du also Aufgaben zum Logarithmus mit dem Taschenrechner lösen kannst, schauen wir uns im Folgenden den Zehnerlogarithmus und den natürlichen Logarithmus mal genauer an.

Zehnerlogarithmus und natürlicher Logarithmus

Der Zehnerlogarithmus hat die Basis a = 10 und wird auf dem Taschenrechner mit log angegeben.

Der natürliche Logarithmus hat die Basis a = e (eulersche Zahl e = 2,718281828…) und wird auf dem Taschenrechner mit ln angegeben.

Schauen wir uns nun nochmal an wie wir auflösen, wenn wir die Basis a verwenden und nicht 10 oder e:

$a^x = b \; \; \; \rightarrow x= log_a (b)$

Du kannst aus dieser Darstellung in den Zehnerlogarithmus bzw. natürlichen Logarithmus umwandeln, indem du die folgende Umrechnung vornimmst:

$\boxed{x = log_a (b) = \dfrac{log(b)}{log(a)} = \dfrac{ln(b)}{ln(a)}}$ Umrechnung

Es ist aber ebenfalls möglich eine Gleichung sofort mittels Zehnerlogarithmus bzw. natürlichen Logarithmus zu lösen:

$\boxed{a^x = b \; \; \; \rightarrow x log(a) = log(b)}$

$\boxed{a^x = b \; \; \; \rightarrow x ln(a) = ln(b)}$

Auflösen nach x ergibt dann:

$x = \dfrac{log(b)}{log(a)}$

$x = \dfrac{ln(b)}{ln(a)}$

Ob du nun den Zehnerlogarithmus oder den natürlichen Logarithmus zum Auflösen verwendest, ist unerheblich. Beide führen zum gleichen Ergebnis.

Betrachten wir nun mal ein Beispiel dazu.

undefiniert

Beispiel: Umrechnen von Logarithmen

Gegeben sei die folgende Potenz mit unbekanntem Exponenten x:

$5^x = 2$

Berechne x!

Wir wollen hier nun x berechnen. Das ist uns nur mit dem Taschenrechner möglich. Dazu müssen wir aber den Zehnerlogarithmus oder den natürlichen Logarithmus anwenden. Wir schauen uns erstmal an, wie wir zunächst den Logarithmus zur gegebenen Basis 5 bilden und dann umrechnen:

$5^x = 2 \; \; \; \rigghtarrow x = log_5(2)$

Wir wollen diese Gleichung nun mittels Taschenrechner lösen. Das können wir machen, in dem wir umrechnen:

$x = log_5(2) = \dfrac{log(2)}{log(5)}$ Umrechnung in den Zehnerlogarithmus

$x = log_5(2) = \dfrac{ln(2)}{ln(5)}$ Umrechnung in den natürlichen Logarithmus

Die Umrechnung erfolgt für beide Logarithmen gleich und auch das Ergebnis (mittels Taschenrechner) ist natürlich gleich:

$x = 0,43$

Wir können die Auflösung auch direkt mit Zehner- bzw. natürlichem Logarithmus vornehmen:

$5^x = 2 \; \; \; \rightarrow x \; log(5) = log(2)$ Zehnerlogarithmus

$5^x = 2 \; \; \; \rightarrow x \; ln(5) = ln(2)$ natürlicher Logarithmus

Wir müssen jetzt noch nach x auflösen:

$x = \dfrac{log(2)}{log(5)} = 0,43$

$x = \dfrac{ln(2)}{ln(5)} = 0,43$

Das Ergebnis ist natürlich dasselbe. Du kannst hier also entweder zunächst den Logarithmus zur gegebenen Basis bilden und dann umrechnen oder du wendest sofort den Zehnerlogarithmus oder den natürlichen Logarithmus an.

Video: Logarithmus, Potenz- und Wurzelgesetze

Im folgenden Video zeigen wir dir, wie du eine gegebene Gleichung mittels Potenz- und Wurzelgesetze so umformst, dass du den Logarithmus anwenden kannst.

Lernclip

Logarithmus, Potenz- und Wurzelgesetze

Sonderfälle: Logarithmus

Du solltest einige Sonderfälle kennen, falls du die Aufgabe bekommst den Logarithmus ohne Taschenrechner oder mit Variablen anzuwenden. Denn dort finden sich häufig diese Sonderfälle, welche die Gleichungen vereinfachen:

Basis und Numerus gleich (a = b):

$log_a(a) = 1$

$log(10) = 10$

$ln \; e = 1$

$log_a(a^n) = n$

$log(10^n) = n$

$ln \; e^n = n$

Basis und Kehrwert Numerus:

$log_a(\frac{1}{a}) = -1$

Kehrwert:

$log_a(b) = \dfrac{1}{log_b(a)}$

$log_a(\frac{b}{c}) = -log(\frac{c}{b})$

Numerus gleich 1 (b = 1):

$log_a(1) = 0$

$log(1) = 0$

$ln(1) = 0$

Komplexere Beispiele zum Logarithmus

Wir wollen uns in den nächsten beiden Beispielen mal zwei komplexere Aufgaben zum Logarithmus anschauen. Du solltest hierfür in jedem Fall die Potenzgesetze kennen bzw. vor dir liegen haben.

Beispiel 1: Logarithmus und Potenzgesetze

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Aufgabe:

$2^{x+1} = 3 \cdot 3^x$

Löse nach x auf!

Lösung

Hier müssen wir zunächst ein Potenzgesetz anwenden. Und zwar das Potenzgesetz der Multiplikation von zwei gleichen Basen. Wir haben auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens die Basis a = 3 gegeben. Bei gleichen Basen können wir die Exponenten miteinander addieren:

$3^1 \cdot 3^x = 3^{1+x} = 3^{x + 1}$

Wir haben nun also auf beiden Seiten der Gleichung die selben Exponenten gegeben:

$2^{x+1} = 3^{x+1}$

Als nächstes bringen wir die beiden Potenzen auf eine Seite, indem wir durch die rechte (oder linke) Potenz teilen:

$2^{x+1} = 3^{x+1}$ |: $3^{x+1}$

$\dfrac{2^{x+1}}{3^{x+1}} = 1$

Wichtig: Auf der rechten Seite bleibt dann eine 1 stehen.

Wir haben hier nun einen Bruch gegeben mit Potenzen mit gleichem Exponenten in Zähler und Nenner. Damit können wir den Zähler und den Nenner zusammenziehen (Potenzgesetz der Division):

$(\dfrac{2}{3})^{x+1} = 1$

Wir können im letzten Schritt den Logarithmus anwenden, um nach x aufzulösen. Dazu bilden wir zum Beispiel den Logarithmus zur gegebenen Basis. Der Logarithmus zur gegebenen Basis wird wie folgt bestimmt:

$a^x = b \; \; \rightarrow x = log_a(b)$

Für unser Beispiel ist die Basis a = 2/3, der Numerus b = 1 und der Logarithmuswert x = x+1:

$(\dfrac{2}{3})^{x+1} = 1 \; \; \; \rightarrow x+1 = log_{\frac{2}{3}} (1)$

Wir wissen aus den Sonderfällen, dass der Logarithmus von 1 jeder beliebigen Basis Null ist:

$log_{\frac{2}{3}} (1) = 0$

Demnach ergibt sich:

$x+1 = 0$

Wir können nun nach x auflösen:

$x+1 = 0$ | $-1$

$x = -1$

Setzen wir nun in die Ausgangsgleichung für x= -1 ein, so erhalten wir auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis:

$2^{-1 + 1} = 3 \cdot 3^{-1}$

$1 = 1$

Beispiel 2: Logarithmus und Potenzgesetze

Aufgabenstellung

Gegeben sei:

$2^x + 2^{x+2} = 4$

Berechne (mit Taschenrechner)!

Lösung

Bevor wir den Taschenrechner einsetzen können, müssen wir zunächst nach x auflösen. Dazu müssen wir wieder Potenzgesetze anwenden. Wir haben hier zwei Potenzen mit gleicher Basis aber unterschiedlichen Exponenten gegeben. Wir sollen beide Potenzen miteinander addieren. Bei der Addition von Potenzen müssen wir aber Basis und Exponent gleich haben, damit wir diese zusammenfassen können. Schauen wir uns also mal diese Potenz hier an:

$2^{x+2}$

Wir können in diesem Fall das folgende Potenzgesetz der Division anwenden:

$a^{n-m} = \dfrac{a^n}{a^m}$

Für unseren Fall gilt dann:

$2^{x+2} = \dfrac{2^x}{2^(-2)}$

Der Exponent muss im Nenner negativ sein, weil wir im linken Exponenten (x+2) und nicht (x-2) gegeben haben.

Es ergibt sich dann:

$2^x + \dfrac{2^x}{2^{-2}} = 4$

Als nächstes können wir 2^x ausklammern:

$2^x(1 + \dfrac{1}{2^{-2}}) = 4$

Für den Bruch mit negativen Exponenten können wir auch schreiben:

$2^x(1 + 2^2) = 4$

$2^x(5) = 4$

$5 \cdot 2^x = 4$

Als nächstes teilen wir durch die 5:

$2^x = \dfrac{4}{5}$

Wir haben nun die Darstellung gegeben, um den Logarithmus anwenden zu können. Wir wählen erst den zur Basis 2:

$x = log_2(\dfrac{4}{5})$

Da wir hier nicht ohne Taschenrechner auflösen können, müssen wir in den Zehnerlogarithmus oder natürlichen Logarithmus umwandeln (wir nehmen hier beliebig den natürlichen Logarithmus):

$x = \dfrac{ln(\dfrac{4}{5})}{ln(2)}$

Der Taschenrechner liefert das Ergebnis:

$x = \dfrac{ln(\dfrac{4}{5})}{ln(2)} = -0,3219$

Probe durchführen:

$2^{-0,3219} + 2^{-0,3219+2} = 4$

Beide Seite nehmen den Wert 4 an! Demnach ist die Gleichung hier erfüllt und das Ergebnis ist korrekt!

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit starten wir mit der Mengenlehre.

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