(Ma1-23) Wurzeln gleichnamig machen

In dieser Lerneinheit wollen wir zeigen, wie Wurzeln gleichnamig gemacht werden.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Wurzeln gleichnamig machen – Übersicht

Zwei Wurzeln sind gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelgrad aufweisen.

So sind die beiden folgenden Wurzeln gleichnamig, weil sie denselben Wurzelgrad n = 3 aufweisen:

$\sqrt[3]{x}$ und $\sqrt[3]{y}$

Sind nun aber zwei Wurzeln gegeben, die nicht denselben Wurzelgrad aufweisen, so ist es möglich diese Wurzeln gleichnamig zu machen. Wir zeigen dir im Folgenden Schritt-für-Schritt, wie du Wurzeln gleichnamig machen kannst.

Vorgehensweise: Wurzeln gleichnamig machen

undefiniert

Vorgehensweise: Wurzeln gleichnamig machen

Wir suchen das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelgrade.
Das keinste gemeinsame Vielfache ist diejenige kleinste Zahl, durch die die Wurzelgrade teilbar sind.
Wir erweitern die Wurzelgrade.
Das Erweitern erfolgt mit Hilfe der Potenzdarstellung. Hier werden Zähler und Nenner des Exponenten mit derselben Zahl erweitert. Diese Zahl ergibt sich, indem das kleinste gemeinsame Vielfache durch den Wurzelgrad geteilt wird.

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Wurzeln gleichnamig machen

Gegeben seien die folgenden beiden Wurzeln:

$\sqrt{5}$ und $\sqrt[3]{6}$

Mache die beiden Wurzeln gleichnamig!

1. Wir suchen zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelgrade, also diejenige Zahl durch welche sowohl 2 als auch 3 teilbar sind. Häufig gelangt man zu dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, indem man die beiden Zahlen einfach miteinander multipliziert:

$2 \cdot 3 = 6$

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 6. Denn sowohl 2 als auch 3 ist durch 6 teilbar. Es ist außerdem die kleinste Zahl, durch die beiden Wurzelgrade teilbar sind.

2. Im zweiten Schritt wollen wir nun die beiden Wurzelgrade erweitern. Wir erweitern die Wurzel mit dem Grad 2 mit 3, die Wurzel mit dem Grad 3 mit 2. Zum Erweitern müssen wir sowohl den Wurzelgrad berücksichtigen, also auch den Exponenten des Radianten:

$\sqrt[2 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[6]{5^3}$ mit 3 erweitert

$\sqrt[3 \cdot 2]{6^2} = \sqrt[6]{6^2}$ mit 2 erweitert

Was genau haben wir gemacht?

Schauen wir uns dazu einfach mal die Potenzdarstellung der Wurzeln an:

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}}$

Wir haben nun einfach den Bruch im Exponenten erweitert, so wie wir es bereits von den Brüchen kennen:

$5^{\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^3}$

$6^{\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}} = \sqrt[3 \cdot 2]{6^2}$

Erweitern bedeutet, dass wir sowohl im Zähler als auch im Nenner denselben Wert multiplizieren. Bei der Potenzdarstellung ist dies sehr gut sichtbar. Die Aussage der Potenzen und damit der Wurzeln ändert sich dadurch nicht.

Warum erweitern wir überhaupt?

Gleichnamige Wurzeln können miteinander multiplizieren und dividieren werden, da dann die Wurzelgrade der beiden Wurzeln übereinstimmen. Damit hast du anstelle von zwei Wurzeln nur noch eine Wurzel gegeben.

Video: Wurzeln gleichnamig machen

In den folgenden beiden Videos zeigen wir dir, wie du Wurzeln gleichnamig machst.

Lernclip

Wurzeln gleichnamig machen

Beispiel: Wurzel gleichnamig machen

Schauen wir uns in den folgenden Beispielen mal an, wie Wurzeln gleichnamig gemacht werden.

Beispiel 1 : Wurzeln gleichnamig machen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Multiplikationsaufgabe:

$\sqrt[4]{6x} \cdot \sqrt[5]{2x^2}$

Führe die Multiplikation durch!

Lösung

Zwei Wurzeln können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn sie denselben Wurzelgrad aufweisen. Dazu müssen wir die beiden Wurzeln gleichnamig machen.

1. Wir suchen zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache. Also die kleinste Zahl, durch welche beiden Grade (4 und 5) teilbar sind:

$5 \cdot 4 = 20$

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 20. Es gibt keine kleinere Zahl durch welche beide Grade teilbar sind.

2. Als nächstes erweitern wir jeden Bruch mit dem Quotienten aus dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dem Wurzelgrad.

Erweitern mit: 20:4 =5

$\sqrt[4 \cdot 5]{6x^{1 \cdot 5}} = \sqrt[20]{6x^5}$

Erweitern mit: 20:5 =4

$\sqrt[5 \cdot 4]{2x^{2 \cdot 4}} = \sqrt[20]{2x^{8}}$

Nachdem beide Wurzeln denselben Grad aufweisen, können wir die Multiplikation durchführen:

$\sqrt[20]{6x^5} \cdot \sqrt[20]{2x^{8}} = \sqrt[20]{6x^5 \cdot 2x^{8}} = \sqrt[20]{12x^13}$

Beispiel 2: Wurzeln gleichnamig machen

Aufgabenstellung

Gegeben seien die folgenden beiden Wurzeln:

$\sqrt[8]{7}$ und $\sqrt[6]{5}$

Mache die beiden Wurzeln gleichnamig!

Lösung

Zunächst suchen wir wieder das kleinste gemeinsame Vielfache. Wir suchen also diejenige kleinste Zahl durch welche sowohl 6 als auch 8 teilbar ist. Das ist die 24.

Wir erweitern nun jeweils sie Wurzeln mit dem Quotienten aus Vielfachem und Wurzelgrad:

$\sqrt[8]{7}$ : Erweitern mit 24:8 = 3

$\sqrt[6]{5}$ : Erweitern mit 24:6 = 4

Wir erweitern nun also Wurzelgrad und Exponenten:

$\sqrt[8 \cdot 3]{7^{1 \cdot 3}} = \sqrt[24]{7^3}$

$\sqrt[6 \cdot 4]{5^{1 \cdot 4}} = \sqrt[24]{5^4}$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie du den Nenner eines Bruchs rational machst.

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