(Ma1-22) Wurzelgesetze

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Wurzelgesetze.

Für ein optimales Verständnis helfen dir fünf ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Wurzelgesetze – Überblick

Wir wollen uns im folgenden anschauen, wie Wurzeln miteinander verrechnet werden können und welche Besonderheiten zu beachten sind. Diese Wurzelgesetze sind zum Beispiel bei der Zusammenfassung von Gleichungen notwendig, wenn in einer Gleichung mehrere Wurzeln vorkommen.

Zunächst noch einmal zur Wiederholung:

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Wurzeln addieren und subtrahieren

Wir wollen uns nun anschauen, wie wir Wurzeln addieren und subtrahieren können und welche Wurzelgesetze hier gelten:

$a \sqrt[n]{x} + b \sqrt[n]{x} = (a+b) \sqrt[n]{x}$ Addition von zwei Wurzeln

$a \sqrt[n]{x} - b \sqrt[n]{x} = (a-b) \sqrt[n]{x}$ Subtraktion von zwei Wurzeln

Die Voraussetzung hierfür ist, dass sowohl Wurzelgrad n sowie Radikand x (Term unter der Wurzel) für beide Brüche gleich sind. Dann können die Faktoren vor der Wurzel in einer Klammer zusammengefasst werden.

Beispiel: Addition und Subtraktion von Brüchen

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Addition und Subtraktion von Brüchen

$4\sqrt[3]{8} + 6\sqrt[3]{8} = (4+6)\sqrt[3]{8} = 10\sqrt[3]{8}$

$14\sqrt[4]{2} - 8\sqrt[4]{2} = (14-8)\sqrt[4]{2} = 6\sqrt[4]{2}$

$14b\sqrt[5]{x} + 5b\sqrt[5]{x} = (14b+5b)\sqrt[5]{x} = 19b \sqrt[5]{x}$

$\sqrt{x} + \sqrt{x} = (1 + 1)\sqrt{x} = 2 \sqrt{x}$

Wurzeln multiplizieren

Wir wollen uns nun anschauen, wie wir Wurzeln multiplizieren können und welche Wurzelgesetze hier gelten:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ Multiplikation von zwei Wurzeln

Werden zwei Wurzeln mit selbem Wurzelgrad n miteinander multipliziert, dann kann das Produkt der Radikanden unter einer Wurzel zusammengefasst werden. Die Voraussetzung ist hier, dass der Wurzelgrad für beide Wurzeln gleich sein muss.

Beispiel: Multiplikation von Brüchen

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Multiplikation von Brüchen

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{6 \cdot 5} = \sqrt{30}$

$\sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{7 \cdot 2} = \sqrt[4]{14}$

$\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x \cdot x} = \sqrt[3]{x^2}$

$\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{xy}$

Wurzeln dividieren

Wir wollen uns nun anschauen, wie wir Wurzeln dividieren können und welche Wurzelgesetze hier gelten:

$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ Division von zwei Wurzeln

Werden zwei Wurzeln mit selbem Wurzelgrad n dividert, dann kann der Quotient der Radikanden unter einer Wurzel zusammengefasst werden. Die Voraussetzung ist hier, dass der Wurzelgrad für beide Wurzeln gleich sein muss.

Beispiel: Division von Brüchen

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Division von Brüchen

$\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}}$

$\dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}} = \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

$\dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{\frac{x}{x}} = \sqrt[3]{1} = 1$

$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$

Wurzeln potenzieren

Wir wollen uns nun anschauen, wie wir Wurzeln potenzieren können und welche Wurzelgesetze hier gelten:

$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ Potenzieren einer Wurzel

Der Exponent m einer Wurzel wird nach dem Wurzelgesetz zum Exponenten des Radikanden.

Beispiel: Potenzieren von Brüchen

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Potenzieren von Brüchen

$(\sqrt[3]{64})^4 = \sqrt[3]{64^4} = 256$

$(\sqrt[4]{x})^3 = \sqrt[4]{x^3}$

Merk's dir!

Sind Wurzelgrad n und der Exponent des Radikanden gleich, so fällt die Wurzel weg und nur der Radikand bleibt bestehen:

$(\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = y^{\frac{2}{2}} = 5$

$(\sqrt[5]{y})^5 = \sqrt[5]{y^5} = y^{\frac{5}{5}} = y$

Wurzeln radizieren

Eine Wurzel radizieren ist nichts anderes als das Wurzelziehen von Wurzeln. Wir schauen uns nun also an, wie eine Wurzel aus einer Wurzel gezogen wird und welche Wurzelgesetze hier angewendet werden können:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$ Radizieren einer Wurzel

Wird eine Wurzel mit dem Grad m aus einer Wurzel mit dem Grad n gezogen, so wird das Produkt der Grade zum Grad einer Wurzel. Aus zwei Wurzeln wird also eine Wurzel, wobei das Produkt der Gerade zum Grad dieser Wurzel wird.

Beispiel: Radizieren von Brüchen

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Radizieren von Brüchen

$\sqrt{\sqrt[3]{5}}= \sqrt[2 \cdot 3]{5} = \sqrt[6]{5}$

$\sqrt[4]{\sqrt[5]{x}} = \sqrt[4 \cdot 5]{x} = \sqrt[20]{x}$

$\sqrt[3]{\sqrt{x^3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{x^3} = \sqrt[6]{x^3}$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt die Wurzelgesetze kennst, schauen wir uns in der folgenden Lerneinheit an, wie Wurzeln gleichnamig gemacht werden.

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